А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды, страница 10

Частица, находящаяся в момент ! в точке х, имеет скорость о(х, (), и потому ее координата в момент !+А будет х+оА, так как ее бесконечно малый вектор перемещения за время г(( будет ог(й Таким образом, в каждый момент времени ! для исследования движения всей средгя за малый интервал Ж можно принять метод Лагранжа, если х считать начальной координатой частицы (в момент !), а и'(х, !) =ог(г принять в качестве вектора перемещения этой частицы. Отсюда происходит совпадение теории малых деформаций по методу Лагранжа и теории бесконечно малых деформаций, т. е. скоростей деформаций в эйлеровом пространстве. Движение среды в эйлеровом пространстве может оказаться стационарным, т.

с. поле параметров движения (скорость, плотность, ...) — Не зависящим от времени. Таковы случаи установившегося обтекания тел газом, жидкостью, твердой средой. При этом все частицы, проходящие через точку х, будут описывать одну и ту же неизменную траекторию (называемую линией тока), и потому поток вещества будет образовывать поле «застывших» в эйлеровом пространстве линий тока. Оба метода изучения движения сплошной среды являются вполне строгимн и адекватными.

Если, следуя метод) Лагранжа, мы нашли вектор перемещения физических частиц и(х, !), а значит и х(х, () =х+и(х, (), то поле вектора скорости в эйлеровом пространстве о(х, 1) найдем по формулам (5.7), (5.8) и (5,5) Пользуясь обратной функцией вида (5 5), найдем поле и других параметров движения в функции от х п 1, т. с.

построим нх в эйлеровом пространстве. Если же, напротив, нам известно движение среды в эйлеровом пространстве, в частности, известно поле вектора о(х, !), то можно, хотя и не так просто, найти вектор перемещения физической частицы как функцию времени и ее начальной координаты х. Для этого заметим, что в эйлеровом пространстве вдоль неизвестной нам траектории движения какой-нибудь частицы, т.

е. на липни х = — х (г), х = сопз(, за время г(! координата частицы изменяется на величину й, равную бесконечно малому перемещению ос((, и потому — = — о (х, г). (5.!0) Лагронжево и валерово предетовленое движения о) Так как вектор о(х, !):предполагается известным, то (5.10) представляет собой одно обыкновенное дифференциальное уравнение относительно вектора х, иначе говоря, три скалярных уравнения — = пг(хт хв хв () (> =- 1 2, 3).

»> (5.10') Этн уравнения имеют три интеграла, зависящих от трех произволь- ных постоянных: хе= 1>(С>, Се, Св, !) (> = 1, 2, 5) (5.12) причем о>=с' (х', х', х', Г), где ! — постоянно. Сравнивая (5.10) и (5.12), видим, что линии тока совпадают с траекториями частил только в том случае, если движение ' является установившимся (т. е, вектор скорости и в эйлеровом пространстве не зависит от >) Если определено поле скалярной или векторной величины т в эйлеровом пространстве, т.е. Г=Г(х, >), то частная производная дбр(х, 0 даст скорость измененияК в фиксированной геометрической точке пространства х. Скорость же изв>ененняК для физической частицьц в момент Г находящейся в точке х, определяется, подобна (5.9), субстанционально>1 (нндивидуальной, полной) производной по времени н потому, удовлетворяя начальным условиям 1 1в' (5.11) пайдем выражения постоянных С' через х', х-', х', т.

е. придем к решению в виде !5.4). А это значит, что мы найдем движение среды в лагранжевых координатах. Возникающие при этом трудности связаны с интегрированием системы (5,10). Если в эйлеровом пространстве дано поле вектора скорости о(х, >), то в каждый момент. времеви ! можно построить линии тока. Линия тока в момент ! есть «траектория вектора скорости» о(х, >), проходящая через какую-нибудь точку х,.

Пусть х=х(й)— уравнение линии тока в параметрическом виде (Х вЂ” параметр). По определению, вектор (х — "х д> на липин тока колинеарен дя вектору о(х, !), т. е. уравнение линии тока имеет вид 60 кинемлтикл и внутаегп!ие пхпгяжанг!я И5г дУ(х, 0 дК(х, 0 дх д! д! где " " определяется из (5.10), т. е. Н~У дУ (х !) + — ( — Г) дК(х !) д5 + ! дУ д! д! дх !Н дх' В случае установившегося движения имеем дгг дх! 0 'гг ! д д! д! ж дх! Второе слагаемое в (5.13) называют коквективной производной. Ближайшей нашей задачей является изучение кинематики бесконечно малой частицы сплошной среды, 1'пкую частицу можно выбрать при Г=)„в окрестности физической точки с координатным вектором х=сопз1.

Эта окрестность может быть взята, например в виде прямоугольного параллелепипеда, ограниченного плоскостями х'=С! х!=С!-,'-г(С! (! =1, 2, 3), (5.14) где С', х)С! — некоторые константы. В результате движения всех точек среды по закону (5.4) ортогональныс физические плоскости (5.14) превратятся в три семейства поверхностей, вообще говоря, пе ортогональных. Но, по условию существования производных от х по х в окрестности точки х=сопз1 с точностью до (х)С!)х, эти поверхности можно заменить касательными к пим плоскостями.

Следователы!о, наша частица в момент Г станет с точностью до малых высшего порядка косоугольным параллелепипедом. Преобразование йараллелепипеда из прямоугольного в косоугольный требует задания девяти параметров: шести, связанных с чистой деформацией (три удлинения ребер и три изменения углов между ними) и трех, связанных с поворотом его как абсолютно твердого тела.

Формы частицы прп 1=!а и Г>1, могут очень сильно отличаться, и метод Лагранжа основан на изучении всей эволюции преобразования формь! частиц. Поэтому' основными кипематическими объектами в методе Лагранжа являются так называемые тензор конечной деформации и тензор относительного перемещения (дисторсни) окрестности любой физической точки на конечном интервале времени 1 — 1м В методе Эйлера рассматривается бесконечно малое изменение во времени формы той (заранее неизвестной) частицы, кото- Лагранигево и эйвепово предегиггление движении рая в момент г занимает фиксированный в пространстве х объем, например параллелепипед, ограниченный~плоскостями хг = сопз(, хг+ г(х' == сопз(.

(5.15) 3а время Ж он также становится косоугольным, по искажения являюзся бесконечно малыми и потому они сравнительно просто вырая;аются через вектор скорости п(х, Г); основными кинематическими объектами становятся так называемые тензоры скорости деформации и скорости относительного перемещения. Отсюда понятно, что все кпнематические соотношения метода Эйлера формально получаются из соответствующих соотношений метода Лагранжа, сели интервал времени ( — Го стремить к нулю. Учитывая еще, что физические свойства среды в термодинамике и в опытах определяются для фиксированной массы, кинематика и динамика среды ниже будет изложена в лаграпжсвых координатах; необ: одимые соотношения для использования часто более удобного метода Эйлера будут получены как предельные.

й 6. ДЕФОРМАЦИЯ ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ СПЛОШНОИ СРЕДЫ Деформацию сплошной среды будем считать известной (по определению), если для любой фиксированной ее точки с начальной коордипатон х=сопз1 (называсмой физической, или материальной, точкой) в любой момент вРсмепн ()Го известна дефоРмацпя всех бесконечно малых физических элементов, взятых в окрестности этой точки. Такими элементами могут быть бесконечно ь алые отрезки линий (волокна), площадки поверхностей, объемы с различными формами ограничивающих поверхностей, состоящие нз одних и тех же материальных точек прн любом й Из геометрисскнх соображений ясно, что деформация окрестности точки х будет вполне определена, если известна деформация любого бесконечно малого всктора — волокна е(х=$, взятого в точке х.

В некоторой неподвижной точке 0 евклидова прострапствз наблюдателя нами выбран неподвижный ортонормнрованный репер е; (г=1, 2, 3), в котором прн э=го радиус-вектор х=х'е; с его лекартовымн координатами х'=сопз1 регистрирует физическую зочку. Радиус-вектор х=х'ее=сонэ( с декартовыми координатамн х' определяет неподвижную точку пространства наблюдателя (эйлсрова пространства), через которую с течением времени 1 проходят различные физические точки. Квадрат длины фиксиросанного физического волокна е(х=~ при 1=Го раасн 1гл. м. 62 кинемхтикА и ВнутРенние ИАНРяжения 3 (йх)' =- е, е,йхгйх!' = днахгйх!' =- 1)" (йх!)' (6.1) ! и, следовательно, начальный л!егричеекий тензор ь!з=е!е! лагран- жевой системы координат х' равен тензору би Кронекера й!!! — - бсэ (6.2» Квадрат длины любого малого элемента ах пространства наблюдателя имеет такое же выражение: йх ы р = х (х+ $, 1) — х (х, Г) = — ", Р = — йх! - =" $; (6.4) дх! дх' дх причем бесконечно малые высшего порядка 0(аз) отброшены.

Как видим, в выражение (6.4) входят три вектора з! = — (1 = 1, 2, 3) дх! (6.5) з (ах)' = й!!йх'гух!' =- ~~~(ах')'. (6.3) ! Ио для каждого г можно найти среди точек х и векторов-отрезков ах в ннх такие, что в точке х будет находиться интересующая нас фиксированная физическая точка х, а ах=р будет представлять деформированный в момент Г вектор-отрезок $=йх. Для этого необходимо использовать соответствие между текущими и начальными координатами одних и тех же физических точек, которое устанавливает закон движения сплошной среды (5.4) для различных моментов времени и Формально закон движения 'среды В евклндовом пространстве (5.4), (5.5) представляет взаимооднозначпос непрерывно днфференцируемое точечное преобразование множества точек, заключенного в объеме Уь и ограниченного поверхностью Хь (Уь — начальный объем, Хь — граница среды) в множество точек х, заключенного в объеме У с границей Х; время ! является параметром, преобразованием.