X.-Физическая-кинетика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 9

Полезно проследить за тем, каким образом это происходит. Нагюмиим, что в общей формулировке принципа Оисагера 1см. "гг, 3 120) фигурирует набор величин ю„характеризующих иеравиовесность системы, и набор «термодинамически сопряженных» с ними величин Х, = — дЯ/дха 1Я энтропия системы). Процесс релаксации слабо неравновесной системы описывается уравнениями, определяющими скорости изменения величин ка в виде лииеииых Ф) икг)ии величии Ха. 19.1) Иа Я~~ 7аЬХЬ~ Ь где уаь кинетические коэффициенты.

Согласно принципу Опсагера, если к и хь одинаково ведут себя при обращении времени, то 7аЬ = 7Ьа. 19.2) При этом скорость изменения энтропии дается квадратичной формой 19.3) Хосва =,~ ~аьХаХь. а,Ь КИИЕ'ТИЧЕСКЛЯ ТЕОРИЯ РАЗОИ 1'Л 1 Х='~ 8.(Г)Х. а (9.4) и длЯ фУнкций 8 а полУчаютсЯ УРавнениЯ вида =1(8 ) Величинами Оа являются компоненты вектора ТфГ) срТ)р (9.5) в случае теплопроводности, или тензора — Т [теаед — бад~ в случае вязкости (ср. (6.19)). Решения уравнений (9.5) должны удовлетворять дополнительным усдювиям Х1ойадГ = 01 ) 108 ЕЫГ = 01 ) ХОДарйГ = О. Первым из этих выражений часто бывает удобным пользоваться для установления соответствия между величинами ха и Ха. В случае теплопроводности в качестве «скоростей» лр, рассматриваем компоненты д' вектора диссипативного теплового потока (в каждой заданной точке среды); индекс а совпадает при этом с векторным индексом о. Соответствующими величинами Х, будут тогда производные Т едТ,1дх„(ср.

1Х, ~ 88) . Роль уравнений (9.1) играют равенства 11' = — х~ддТ/дхд, так что кинетическими коэффициентами уаь являются величины Т»г,„д. 2 Согласно принципу Онсагера должно быть»«ад = »рд„. Аналогичным образом, в случае вязкости в качестве величин ха рассматриваем компоненты тензора вязкого потока импульса О„'~, а соответствующими Ха являются — Ь~ д(Т (индексу и отвечает при этом пара тензорных индексов О(»). Роль уравнения (9.1) играют соотношения О' д —— 11 д ~К,я, а кинетическими коэффициентами являются величины ТТ1„д.„х.

Согласно принципу Онсагера должно быть и д ~ = О р д. В рассмотренных в предыдущих параграфах задачах о теплопроводности и вязкости газов указанная симметрия тензоров »г 11 и и д и возникала автоматически уже как следствие изотропии среды, безотносительно к решению кинетического уравнения. Покажем, однако, что эта симметрия возникла бы и в результате решения кинетического уравнения, безотносительно к изотропии газа. Схема решения задач о теплопроводности и вязкости в ш1або неоднородном газе состояла в том, что поправка к равновесной функции распределения ищется в виде сил1мв"РРия кинети 1еских кОВФФицивнтОВ С учетом этих условий кинетические коэффициенты у д могут быть записаны в виде интегралов Р'З.ь = - 1 1о7- 8ь ~Г (9.6) Доказательство симлиетрии у,ь = ОЪ„сводится, таким образом, к доказательству равенства интегралов ~ 1о1,„8ь 4Г =,~ 1о7ьв, и'.

(9.7) Оно основано па свойстве «самосопряженности» линеаризованного оператора 7, к которому можно прийти следующим образом. Рассмотрим интеграл 1 Ы7ЬЙ дТ = 1 Ы ~ д(4 + 1(', — Ф вЂ” 4 ) 4'Г1 где у»(Г), 1д(Г) любые две функции переменных Г. Поскольку интегрирование производится по всем переменным Г, Гм ГЛ, Гм можно, не меняя интеграла, произвести любое их переобозначепие (как это делалось уже в ~ 4). Произведем переобозначение Г, Г' +-» Гм Г»» а затем в каждом из двух получающихся таким образом форм интеграла --.

еще переобозна»ение Г, Г» +» Г', Г1. Взяв сумму всех четырех выражений, имеем ,( ЬФ(Ф) 1(Г = =-ХХВХВ1( 'Ы+М вЂ” (Ч'+4)П(Ф'+Ф() — (Ф+ФМ~'Г (9.8) (обозначения ю и и»' из (3.5)). Рассмотрим теперь такой же интеграл, в котором функции ф(Г) и 1»»(Г) заменены соответственно па 1»»(Г ) ну»(Г ) (не меняя при этом переменных в н1 и 1Н~!). Произведя в этом интеграле переобозначсние Г, Гю,, .

— + Г, Г1,... т т и воспользовавлпись принципом детального равновесия (2.3), получим ) ~,фт7(~Р»г) 17Г = = 4,/ 1о~ш ~и~(1(1 + Ф») — ю'(Ф'+ ~») [(1р'+ 1р',) — (1р + 1р»)) а»~Г (9.9) (учтено также, что (о(Г ) = (о(Г)). Раскрыв в (9.8) и (9.9) квадратные скобки и сравнив их почленно, убедимся, что оба интеграла равны друг другу. При сравнении надо учесть соотношение унитарности (2.9), в силу которого имеем, например, ,) ХВЬ»п1(Ф+ ~»)(1»»+ Ф») Л~~Г =,( Уело»ЛИ'(Ф+ Ф1)(1р+ '»»») 4~Г КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ 1'Л 1 (соотношение (2.9) применено здесь к интегрированию по переменным Г', Г~, от которых в подынтегрвльном выражении зависят только и и и1'). Таким образом, приходим к равенству ) Д д7(~) 1Г = ) 7в~ 7(~ ) 1Г. (9.10) Отметим, что если принцип детального равновесия справедлив в своей простейшей форме (2.8), ш = ш', то соотношение (9.10) сводится к бу.квальной самосопряженности оператора 1: ,'1'ЫТЬЙ 'Г =,)'1оФТМ 1Г, (9.11) где в обоих интегралах фигурируют функции 1д и 111 одних и тех же переменных Г (это сразу очевидно при и = ш' из выражения (9 8И Ви1вращаясь к кинетическим коэффициентам, произведем в первом интеграле (9.7) пореобозначение à — > Гт и учтем, что Т,.1Г ) = ~Т,.(Г) (9.12) (верхний1 знак относится к случаю вязкости, нижний теплопроводности).

Воспользуемся теперь соотг1ошениями (9.5) и (9.10). При этом в (9.10) можно производить интегрирование по Г вместо Г, значение интеграла от этого, очевидно, не изменится. Имеем У = 7в (1+ Х), 81 У = Ы(;С), — 1п 7о 817' пà — — ( 1о 1п (1 + х ) 7(,с) пГ > О.

имеем 1 1оа ь1 „ОГ = + 1 1о41(8,) 11Г~ = =+~ь8„718,) 1Г = ~~~о8г~,,(Г) к'. Теперь достаточно переобозначить в правой части равенства Гт — > Г, и с учетом (9.12) мы получим требуемый результат (9.7). Кинетические коэффициенты должны удовлетворять также и условиям., следующим из закона возрастания энтропии; в частности, должны быть 1толожителы1ы «диагональные» коэффициенты уя,. Поскольку кинетическое уравнение обеспечивает возрастание энтропии, то естественно, что при вычистении с его помощью к1лнети 1еских коэффициентов эти условия удовлетворяются автоматически.

Возрастание энтропии выражается неравенством — ) 1п 1' 81 7" дГ > 0 (см. З 4). Подставив сюда 11а 11еивлнжвниоя Решение Первый интеграл обращается в нуль тождественно, а во втором пишем, ввиду малости т, 1п (1+ у(Т) — у7Т и находим — ХУоХ1(Х) «Р > О. (9.13) Этим неравенством и обеспечиваются необходимые свойства кинетических коэффициентов. В частности, при г = 3„оно выражает собой положительность у„. й 10. Приближенное решение кинетического уравнения Ввиду сложности закона взаимодействия молекул (в особенности многоатомных), определяющего функцию го в интеграле столкновений, уравнение Больцмапа по существу пе может быть даже записано для конкретных газов в точном виде. Но и при простых предположениях о характере молекулярного взаимодействия сложность математической структуры кинетического уравнения делает, вообще говоря, невозможным нахождение его решения в точном аналитическом виде; это относится даже к линеаризованному уравнению.

В связи с этим в кинетической теории газов приобретают особое значение достаточно эффективные методы приближенного решения уравнения Больцмапа. Изложим здесь идею такого метода в примене1нии к одноатомному газу (о. С11артап, 1916). Рассмотрим сначала задачу о теплопроводности. Для одно- атомного газа теплоемкость ср — — 5/2 и линсаризованное уравнение (7.3) принимает вид — зг(- — ро ) = 1(д) (10.1) (где Д = гп,1(2Т)); линейный интегральный оператор 7(и) определяется формулой 7(К) =,Ц11отвуо1($ + К вЂ” $ — $1) д р111гг (10.2) (соответствующей интегралу столкновений (3.9)), а равновесная функция распределения ) 1) (10.3) Эффективный метод приближенного решения уравнения (10.1) основан на разложении искомых функций по полной системе взаимно ортогопальпых функций, в качестве которых особым удобством обладают так называемые полиномы Сонина 1~ ) Функция распределения везде предполагается определенной по отношению к импульсному пространству.

Это но мешает, однако, тому, что опа может быть выражена, по соображениям удобства, через скорость ч = р7тг1. 1'Л 1 кине'1'ичвекля теОРия газов (Р. Влггпегг, 1935). Эти функции определяются формулой ') о'„(х) = — Р.'х ™ — е 'х" (10.4) а! лгх' причем г — произвольное, а з — целое положительное число или нуль.

В частности, Оо 1 Вл( ) +1 (10.5) Свойство ортогональвости этих полиномов при заданном индексе г и различных индексах ги ( х ) В л ( х ) ~ х ( ) ~ ~ ( 1 0 б ) о Ищем решение уравнения (10.1) в виде разложения К( ) ~~ а 1~3,120 )' (10.7) Опустив в разложении член с я = О, мы тем самым автоматически удовлетворяем условию (7.4) (интеграл обращается в нуль в силу ортогональпости полиномов с а = 0 и з ч- .0). Выражение в скобках в левой части (10.1) есть полипом В~~ ()Зо~), так что уравнение приниалает вид чВз)(2(ли ) = — ~ А Х(чч'з)2)' (10.8) Умножив его с обеих сторон на чД(11)Вз1 флл~) и проинтегрировав по дзр, получим систему алгебраических уравнений „'г ал,АЕ = — 'блл, 1= 1,2,..., (10.9) причем ал.

= — — / УочВз)21(чВз72М р = (чВз12 чВз!2) (10'10) ое ~г где введены обозначения (Р,с) = ) 7МЫ Ъ вЂ” чл ЬМи(С)г)зрг1з Ма Ь(Р) = й(ч') + Р(чл) — Р(ч) — й(ч~ ), ') Они отличаются лишь нормировкой и индексированием от обобщенных нолиномов Лагерра: о,'(х) = Ь'„~.,(х).

( — з)' (у+ а)! 1!а ««Ринг»ижкинок Ркшеник зс = — — ) 1аЯ ! (Де )т«84 р и в результате находим зс = — А1. (10.12) В простоте правой части уравнений (10.9) и выражения (10.12) проявляется преимущество разложения по полиномам Сонина. Ход вычислений для задачи о вязкости вполне аналогичен.

Ищем решение уравнения (8.6) в виде 8од = г (»нона — — и бой) г~~ В»В-'72(!«е ). з — — а Подстановка в (8.6) с пош!едующим умножением этого уравнения па 1а(е)Вб72(!ти ) (»гона — — а б~а) 3 и интегрированием по с1 р приводит к системе уравнений ~,Ь!. В' = бб!а 1= 0 1 2 ..; (10.14) а=а (10.13) де »»а )( о Д З о«») б««2» ( «» Д д ой) 5««2(' Для коэффициента вязкости из (8.9) получается й = — !г«Ва.

1 (10.16) ! Приближенное решение бесконечной системы уравнений (10.9) или (10.14) достигается сохранением в разложениях (10.7) или (10.13) лишь нескольких первых членов, т, е, искусственным обрывом системы. Сходимость процесса приближения при увеличении числа членов оказывается чрезвычайно быстрой: уже сохранение всего одного члена приводит, вообще говоря, к точности 1 — 2 о«те в значении зс или т! ').

) Сходимость оказывается, однако, несколько хуже в задачах о диффузии и в особенности о термодиффузии. Уравнение с 1 = 0 (10.9) отсутствует, поскольку аав = 0 в силу сохранения импульса: 1л(зтБз ) = «з(з«) = О. К!Изффициент 3/2 теплопроводности вычисляется подстановкой (10.7) в интеграл (7.7). Ввиду условия (7.4) этот интеграл (с е = тег/2) можно представить в виде 50 1'Л 1 КИИЕ'ГИЧЕСКЛЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ Покажем, что приближенное решение линеаризованного кинетического уравнения для одноатомных газов, осуществляемое описанным способом, приводит к значениям кинетических коэффициентов, заведомо меныпим, чем дало бы точное решение этого уравнения. Запишем кинетическое уравнение в символическом виде 1(а) =7 (10.17) (где функции 8 и А .