X.-Физическая-кинетика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 10

векторы в задаче о теплопроводности и тензоры второго ранга в задаче о вязкости). По функции 8 соответствующий кинетический коэффициент определяется как величина, пропорциональная интегралу — ! У 7(а) эзр (10.18) (см. 2 9). Приближенная же функция я удовлетворяет не самому уравнению (10.17), а лишь интегральному соотношению ) 7о81(8) 1'р = ~1о7.8 йр (10.19) (как это очевидно из способа опреде.пения коэффициентов в разложениях 8). Высказанное вьппе утверждение непосредственно следует из «вариационного принципа», согласно которому решение уравнения (10.17) осуществляет максимум функционала (10.18) в классе функций, удовлетворяющих условию (10.19). В справедливости этого принципа легко убедиться, рассмотрев интеграл - У ~ (8 - )7(8 - ) ~з; где 8 решение уравнения (10.17), а 1р любая пробная функция, удовлегвориющая лишь условию (10.19).

По общему свойству (9.13) оператора 1 этот интеграл положителен. Раскрыв в нем скобки, пишем —,) У81Ы) + Ф(р) — ФЫ) — 8|М) <1зр. Поскольку для одноатомного газа принцип детального равновесия справедлив в форме (2.8), то оператор У обладает свойством самосопряженности (9.11) ).

Поэтому интегралы от двух последних членов в фигурной скобке равны друг другу. Подставив затем 1(8) = А, имеем — 3 ЬЬ1(8) + ФМ вЂ” 2Ф(а)) 11зр = = — 3,1о(8 1(8) + ~р1( р) — 2Л~р) Ур > О. ) Подчеркнем, что вариационный привпип в сформулированном виде связан с этим обстоятельством и не имеет места при соблюдении принципа детального равновесия лишь в его наиболее общем виде (2.3). 1 го пгиьлижиннОя Решение Наконец, преобразовав интеграл от последнего члена с помощью условия (10.19), находим -3Хоа1М) йзр) -3Ы1М )ар, что и требовалось доказать.

Упомянем о случае, представляющем интерес с формальной точки зрения, хотя он и не имеет прямого физического смысла. Это газ из частиц, взаимодействую|цих по закону бг = е»1'г ). Этот случай характерен тем, что сечение столкновений таких частиц 1определснное по классической механике) обратно пропорционально их относительной скорости по „, а потому фигурирующее в интеграле столкновений произведение по,„е1ег оказывается зависящим только от угла рассеяния г), но нс от и В этом свойстве легко убедиться уже из соображений размерности. Действительно, сечение зависит всего от трех параметров; постоянной гт, массы частиц т и скорости и,„. Из этих величин нельзя сосгавить безразмерной комбинации и всего одну комбинацию с размерностью площади: по,г„(ет/т)112; ей и должно быть пропорционально сечение.

Это свойство сечения приводит к существенному упрощению структуры интеграла столкновений, в результате чего оказывается возможным найти точные решения линеаризованных кинетических уравнений задач о теплопроводности и вязкости. Оказывается., что они даются просто первыми членами разложений (10.7) и (10.13) 2).

Задачи ) 1. Найти теплопроводность одноатоленого газа, сохранив в разложении (10.7) лишь первый член. Р е ш е н и е. При одном члене разложения уравнения (10.9) сводятся к 15 равенству Ае = — ап. Для вычисления интеграла (10.10) с 1 = е = 1 вводим 4 вместо ч, чп ч, ч, скорость центра инерции и относительные скорости двух атомов: У = -1»+ч~) = — 1» +ч,), ч„.„„= ч — чп ч„„= ч — ч„ 1 1 ! 2 2 е' + п, = 2'»' + -е„"„„е1 р анре = те 4 1« 4 е, „. 2 Простое вычисление дает Ь1»Б 1«) = Я~3» ч) = Я~1»' „')ч' „— (Ъч,,„)ч«). ш ) Кинетические свойства такой газовой модели впервые рассматривались Максвеллом (18бб), Подробное изложение теории этого случая — см. 9 38 — 40 статьи Л.

Вальдмапа в сборнике «Терьгодинамика газов», Москва, 1970 (перевод из Нап«1ЬисЬ «1ег Рпуе1к, В«1. ХП, 1958). г) Формулы (1) йб) были получены '1епмепвм и Эпскогвм. 52 КИИЕ'1'ИЧПОКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ 1'Л 1 Возведя это выражение в квадрат н усреднив его по направлениям Ъ', по- лучим После выполнения интегрирования по 4к)Р~ Л' и по направлениям ч, „Гпо- следнее сводится к умножению на 4 г) получим окончательно 1Д1 ап = — ( — ) / / ехр ( — — "") ог,„,з1пе 0 — 1)с, „1)0; П) о е коэффициент теплопроводности 75 х= 1бип 12) 2. То же лля вязкости одноатомного газа.

Р е ш е н и е. Аналогичным обрезом имеем 51п 11 = 4Ьоо 5 Ва = —., Ьее ' В интеграле П0.15) при 1 = э = 0 находим 1 1 1 А (е сз — — о 5 З/1 = -1ер,„е„,,в — с„„„с, „з). 3 ) 2 Квадрат этого выражения есть 1 ° Š— С,,„ Э1П О, 2 4тх (3) 15 Для одноатомного газа теплоемкость ср —— 5/2. Поэтому отношение кине- '1 х матической вязкости и = — к температуропроводности у = — 1так Х1Л А1с„ называемое число Прандтзя) в рассматриваемом приближении оказывается равным <4) у 3 вне зависимости от закона взаимодействии атомов 3.

В том же приближении найти теплопроводность и вязкость одноатомного газа, рассматривая атомы как твердые упругие шарики диаметра ф Р е ш е н и е. Сеченио рассеяния шарика на шарике эквивалентно рассеянию точечной частицы на непроницаеъюй сфере радиуса 11; поэтому ') Для газа с законом взаимодействия частиц П = О/гэ формулы 11) — Г4) являются точными и приводят к следующим зна 1ениям: ггпт Пэ рг = 3,04Т1упо) 1, 0 = 0,81Т) — ) После интегрирования по 141)г и по направлениям тр „оказывается, что Ьоо = а11, так что диФФузия леГкОГО Глох В тяжелом сечение Г1о = (Г112) «до.

Вычисление интеграла (Ц приводит к результатам ') 75 ГТ 0' 66 ГТ бйугхбг)) и Г Ч т' (5) угпТ = О, 18 О 16»гх Нв ' Е12 (6) й 11. Диффузия легкого газа в тяжелом ) Для характеристики быстроты сходимости последовательных приближений укажем, что при учете второго и третьего членов в разложениях 110.7) и (10.13) выражения (5) и (6) умножаются соответственно на (1 -Ь + О, 015+ О, 001) и (1+ 0, 023+ 0,002). е) Кинетическая теория такой газовой модели была впервые развита Лоренцем '1Н.А. Ног«ив, 1905).

Явление диффузии в смеси двух газов мы изучим для некоторых частных случаев., допускающих сравнительно далеко идущее теоретическое исследование. Обозначим плотности чиста частиц двух компонент смеси через Х1 и 11Г2 и определим концентрацию смеси как с = Х1 /Х, где Х = %1 + %2. Полная плотность числа частиц связана с давлением и температурой согласно Тзг = Р!Т. Давление газа постоянно по его объему; концентрация же и температура пусть меняются вдоль оси х (допуская изменение температуры, мы тем самым включаем в рассмотрение также и термодиффузию).

Рассмотрим диффузию в смеси газов, из которых один («тяжелый») состоит из молекул с массой, большой по сравнению с массой частиц другого («легкого») газа. Легкий газ будем считать одноатомным. Поскольку средняя тепловая энергия поступательного движения всех частиц (при заданной температуре) одинакова, то средняя скорость тяжелых молекул мала по сравнению со скоростью легких и их можно рассматривать приближенно как неподвижные. При столкновении легкой частицы с тяжелой последнюю можно считать остающейся неподвижной; скорость же легкой частицы меняет направление, оставаясь неизменной по своей абсолютной величине. В этом параграфе рассмотрим случай, когда концентрация легкого газа в смеси мала (пусть это будет газ 1). Тогда столкновения его атомов друг с другом относительно редки и можно считать, что легкие частицы сталкиваются только с тяжелыми ).

В общем случае произвольной гаювой смеси для функции распределения частиц каждой из компонент смеси должно быть составлено свое кинетическое уравнение, в правую часть кото- 54 КИИЕ"1'ИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОН 1'Л 1 рого входит сумма интегралов столкновений частиц данной компоненты с частицами ее же и других компонент. В рассматриваемом частном случае, однако, целесообразно произвести вывод упрощенного кинетического уравнения заново. Искомое уравнение должно определять функцию распределения частиц легкого газа; обозначим ее через ~(р, х).

В сделанных предположениях столкновения легких частиц с тяжелыми не меняют распределения последних, и в задаче о диффузии это распределение можно считать заданным. Пусть О -- угол между направлением импульса легкой частицы р = т1ч и осью т. В силу симметрии условий задачи очевидно, что функция распределения будет зависеть (помимо переменных р и х) только от угла О.

Обозначим через йг = г (р, а) 1АО сечение столкновений, в результате которых легкая частица, имевшая импульс р, приобретает импульс р' = ттг', направленный в элементе телесных углов 1АО; а есть угол между векторами р и р' (абсолютные величины которых одинаковы). Вероятность частице испытать такое столкновение па единице пути есть Хз 111т, где Хз плотность числа тяжелых частиц. Вероятность же, отнесенная к единице времени, получается умножением еще па скорость частицы: 1"1'з11 Йт. Рассмотрим частицы, находящиеся в заданной единице объема и обладающие импульсом в заданном интервале абсолютных значений Ор, направленным в элементе телесных углов 1то.

Число таких частиц есть у пзр = ~(р.,д, т)р~ дрдо. Из них в единицу времени в резульгате столкновений приобретет импульс р', направленный в 14о', ~(р,д,п1)р Йрг4о. НЗИР(р,ст) 0о' частиц. Всего, с11едователы1о, изменит направление импульса пвр ) Хвн~(р, О, х)Р(р, с1) 0о' частиц. Наоборот, из числа частиц в пзр' = р'з Ор'Оо' приобретет скорость, направленную в ПО, ~(р',О', х)р' Йр'до' МЗИГ(р', се) Оо частиц. Поскольку р' = р, то для полного числа частиц, приобретающих в результате столкновений скорость в 1Г р, имеем пзр ) У~и~(р, 0', х)Р(р, гт) 14о'. Таким образом, изменение числа частиц в элементе пзр равно разности ьс'р Лги ) Г(р,се)~~(р,д',т) — у(р,д,т))1зо'.