X.-Физическая-кинетика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 7

Заменив м на тг — Ъ', получим распределение Больцмана в движущемся газе: Ео = ехр (й ") ехр ( — '" ) . (6.9) В слабо неоднородном газе ~о зависит от координат и времени, причем эта зависимость возникает через посредство меняющихся вдоль газа (и со временем) его макроскопических характеристик скорости еГ, температуры Т и давления Р (а с ними и р).

Поскольку градиенты этих величин предполагаются малыми, в левой части кинетического уравнения достаточно Ев рассматриваемом приближении) подставить А вместо Е. Вычисления можно несколько упростить, учтя очевидную независимость интересующих нас в конечном счете кинетических коэффициентов от скорости Ъг. Поэтому достаточно рас- возникает как выражение галилеевского принципа относительности: равновесная функция распределения должна удовлетворять кинетическому уравнению также и после перехода к любой другой инерциальной системе отсчета. При переходе к системе, движущейся относительно первоначальной с малой постоянной скоростью 11'11, скорости молекул м заменяются па 11 + Л1, так что функция распределения получает приращение Т1 О1Н НТтг Уо иттг дТ Т чему и отвечает третье из решений Е6.6).

«Паразитные» решения Еб.б) исключаются наложением трех условий Е6.3). Преобразование левой части кинетического уравнения произведем сразу в общем виде, охватывающем как зада 1у о теплопроводности, так и задачу о вязкости. Друтими словами, допускаем существование градиентов всех макроскопнческих характеристик газа, в тозл числе его макроскопической скорости Аг. Равновесная функция распределения в неподвижном (Ъ' = 0) газе есть распределение Больцмана, которое напишем в виде 35 УРАВНКПР1В ДЛЯ СДАНО 11ЕОДНОРОДНОГО ГЛЗЛ смотреть какую-либо одну точку в газе и выбрать в качестве таковой ту, в которой скорость Ъ (но,конечно,не ее производные) равна пулю. Продифференцировав выражение (6.9) по времени и положив затем Ъ' = О, получим Согласно известным термодинамическим формулам имеем ( — ) = — в, ( — ) = —, Го =и1 — Тв, где ш, а и 1/Аà — тепловая функция, энтропия и объем, отнесен- ные к одной частице гаоа.

Поэтому Т дно В(Г) — В1 дТ 1 дР дь' — + — — + тм —. 1'о д1 Т д1 1"1' дГ дФ (6.10) Аналогичным образом найдем — чЧЯ = 1г'11Т+ — чЧР+ тпоед1ГОВ1 (6.11) Хо Т Х где для краткости введено обозначение в последнем члене в (6.11) произведена тождественная замена — = — - тУР = — — тУ11. (6.13) д1 о %ГВ В той же точке из уравнения непрерывности имеем дАГ/Ю = — М Г11ьч Ъ", или 1 дХ 1дР 1дТ вЂ” — = — — — — — = — Г11Р тг Х до Р дГ Т д1 (6.14) Левая часть кинетического уравнения получается сложением выражений (6.10), (6.11).

При этом все производные по времени от макроскопических величин могут быть выражены через их пространственные градиенты согласно гидродинамическим уравнениям идеальной (т. е. Нсвязкой и нетеплопроводящей) среды; учет диссипативных членов здесь привел бы к величинам высшего порядка малости. В точке, в которой Р' = О, уравнение Эйлера дает 1'Л 1 КИНЕ"1'ИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 1'АЗОВ (использовано уравнение состояния идеального газа Х = Р)Т).

Наконец, уравнение сохранения энтропии, дв/ду+Ъг117в = О, дает дэ/д1 = О, или —" — — — — = 01 (6.15) где использованы термодинамические формулы (ср теплоемкость1 тоже отнесенная к одной молекуле); вторая из этих формул относится к идеальному газу. Из равенств (6.14), (6.15) находим — — = — — йу Ъ", — — = — — '" с)1Ъ Ъ' 16.16) Тд~ с, Рд~ с, (учтено, что для идеального газа с, — са = Ц. Простое вычисление приводит теперь к результату — +иЪ'Ха = дУе дг = — о 1' зггг)Т+ т11опдЬ~ е + " с)гплЪГ~ .

(6.17) Т', Т Подчеркнем, что до сих пор не делалось никаких специфических предположений о характере температурной зависимости термо- динамических величин; использовалось лишь общее уравнение состояния идеального газа. Для газа же с классическим враще- нием молекул и невозбужденными колебаниями теплоемкость не зависит от температуры и тепловая функция ) ш = срТ. (6.18) Тогда поспедний член в (6.17) упрощается; приравняв (6.17) и (6.4), напишем окончательно кинетическое уравнение в виде е(Г) — с„Т зттуТ+ )П1гв Не — д„д — ) )Г 11 = 1()1). (6.19) е(Г)1 с, В следую1цих двух параграфах это уравнение будет рассмотрено более подробно в применении к задачам о теплопроводности и вязкости. Напомним, что уже из закона возрастания энтропии следует, что градиент давления (в отсутствие градиентов температуры и скорости) не приводит к возникновению диссипативных про- цессов (ср.

Ъ'1, ~ 49). В кинетическом уравнении это требование удовлетворяется автоматически и проявляется в выпадении гра- диента давления из левой части (6.19). ) Предполагается, что энергия молекулы е(Г) отсчитывается от ее наименьшего значения; соответственно этому опускается и независящая от температуры адпитивная постоянная в ш. 37 твплОПРОВОднос'гь глзл 3 7. Теплопроводность газа дТ Ч~ = мод — ~ код = — — Т,/ Уоепаад дГ.

(7 5) 1 Для вычисления коэффициента теплопроводности газа надо решать кинетическое уравнение с градиентом температуры. Со- хранив в (6.19) лишь первый член в левой части, имеем '(1 ) 'Рту~;7Т вЂ” г(, ) (7.1) т решение этого уравнения надо искать в виде Х = атут, (7.2) где вектор а .- функция только от величин Г. Действительно, при подстановке в (7.Ц в обеих частях равенства получаем мно- житель у'Т.

Поскольку уравнение должно иметь место при про- извольных значениях вектора ЧТ, должны быть равными коэф- фициенты при гУТ в обеих частях равенства, так что мы полу- чаем для а уравнение у() " =1(а), (7.3) Т уже не содержащее уТ (а тем самым и явной зависимости от координат). Функция Х должна еще удовлетворять условиям (6.3).

С функцией х в виде (7.2) первые два из этих условий удовле- творяются автоматически; это очевидно уже из того, что урав- нение (7.3) не содержит никаких векторных параметров, вдоль которых могли бы быть направлены постоянные векторы ин- тегралы ) 7ва а1Г и ) Тога дГ. Третье же накладывает на решение уравнения (7.3) дополнительное условие ) ТоуайГ = О. (7.4) Если кинетическое уравнение решено и функция Х извест- на, то можно определить коэффициент теплопроводности, вы- числяя поток энергии, точнее его диссипативную часть, не связанную просто с конвективным переносом энергии (эту часть потока энергии будем обозначать символом с1').

Но в отсутствие макроскопического движения в газе с1 совпадает с полным по- током энергии с1, даваемым интегралом (5.9). При 7' = 7в этот интеграл исчезает тождественно за счет интегрирования по на- правлениям ъ. Поэтому при подстановке 1" (6.1) остается ч=1 Г~Бх 1Г =-'1Б (а~т)аГ, Т Т или, в компонентах, КИИЕ'ГИЧЕСКЬЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ 1'Л 1 Ввиду изотропии равновесного газа какие-либо избранные направления в нем отсутствуют и тензор эс я ъюжет выражаться лишь через единичный тензор о л, т. е. сводится к скаляру: и= эг /3. этол = бор, Таким образом, поток энергии (7.6) с1 = — эгЯТ, где скалярный коэффициент тегглопроводиосгпи = — —,) Ь Каг.

1 зт. (7. 7) Положительность этой величины (поток с1 должен быть направлен противоположно градиенту температуры) автоматически обеспечивается кинетическим уравнением (см. 9 9). В одноатомных газах скорость и единственный вектор, от которого зависит функция я; ясно поэтому, что эта функция должна иметь вид К = — а(и). (7.8) В многоатомных газах функция н зависит уже от двух векторов скорости тг и момента М. Если симметрия молекул не допускает существования стереоизомерии, то интеграл столкновений, а с ним и уравнение (7.3) инвариантны по отношению к инверсии; такой же инвариантностью должно обладать и его решение у. Другими словами, 1г = дтьгТ должно быть истинным скаляром, а поскольку градиент ьТ есть истинный вектор, то таким же вектором должна быть и функция я.

Так, для двух- атомного газа, где векторами и и М исчерпыван1тся величины Г, функция ц(Г) имеет вид и = тгя1 + М(тгМ)89 + (нМ)81, (7.9) гДе Ям 89, Яз — скалЯРные фУнкЦии от скалЯРных аРгУментов н1, Мг, (чМ)9; это наиболее общий вид истинного вектора, который может быть построен из истинного же вектора ч и псевдовектора М '). Если же вещество представляет собой стереоизомер, то инвариантность по отношению к инверсии отсутствует: как уже отмечалось в 9 2, в таком случае инверсия «превращаета газ, по существу, в другое вещество. Соответственно функция 1г сможет содержать также и псевдоскалярные члены, т. е, функция ив псевдовекторные члены (например, член вида дяМ).