X.-Физическая-кинетика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 11

диФФузия леГкОГО Глзх В тяжелом С другой стороны, это изменение должно быть равно полной производной Гю времени Г(зр — = Г(~р зГ" У~ = Г(зр — п соя д. Ж дт Приравняв оба выражения, получим искомое кинетическое урав- нение в виде псояд — = Хзп ) Р(р,о)Ц(р,д',х) — ~(р,д,х)1Г)о' = В1('.

(11.1) дх Отметим, что правая часть этого уравнения обращается в нуль для любой функции )', пе зависящей от направления р, а не только для максвелловской функции 1я, как это имеет место для уравнения Больцмана. Это обстоятельство связано с предположением о неизменности величины импульса при рассеянии легких частиц на тяжелых: очевидно, что такие столкновения оставляют стационарным любое распределение легких частиц по энергиям. Фактически уравнение (11.1) отвечает лишь нулевому приближению по малой величине т1/тя, и уже в следующем приближении появляется релаксация по энергии. Если градиенты концентрации и температу.ры пе слишком велики (величины мало меняются на расстояниях порядка длины свободного пробега), то можно искать )' в виде суммы ,)' =,10 (р, х ) + 61 (р, О, х ), где 6) -- малая поправка к локально-равновесной функции распределения 1я, линейная по градиентам с и Т. В свою очередь ищем 6)' в виде д ) = соя 0.

я(р, х), (11. 2) где я функция только от р и х. При подстановке в (11.1) в левой части уравнения достаточно оставить только член с (я; в интеграле же столкновений член с А выпадает: 'О$ ) = Дняо ) Р(р,ст)(сояд' — сояд) 1ГО', независящая от углов функция я вынесена из-под знака интеграла. Этот интеграл можно упростить. Выберем в качестве полярной оси для отсчета углов направление импульса р. Пусть 1р и 1р' -- азимуты направлений оси х и импульса р' относитольно полярной оси. Тогда соя О' = соя д соя Гт + я1п О я1п Гт соя(1р — 1р'). Элемент телесных углов до' = я1пГЕГ(ГУГ(1р', поскольку Гт — полярный угол для импульса р'. Интеграл от члена с соя (у — 1р') диФФузия леГкОГО Глзк В тяжклом термодиффузии называют произведение Ют = РИт; см. 171, 8 58) ).

Таким образом, находим (11.10) 1ст = ст — 1п д (е/аг) 0т т (11.11) При диффузионном равновесии в неравномерно нагретом газе устанавливается такое распределение концентраций, при котором диффузионный поток 1 = О. Приравняв постоянной выражение, стоящее в фигурных скобках в (11.8), получим т с = сопа1. И-г) (11.12) Предполагая сечение пг не зависящим от скорости и заметив, что (е) (т)п11) ~1, найдем, что при диффузионном равновесии в смеси с малой концентрацией легкого газа последняя пропорпиональна зГТ; другими словами, легкий газ концентрируется в местах с большей температурой. По порядку величины коэффициент диффузии 17 П, (11.13) откуда и следует (11.13) "). ') Явление термоднффузии было предсказано Знскогом (1911) именно для рассматриваемой здесь модели Газовой смеси. ) Диффузия, теплопроводность и вязкость осугдестквяются одним и тем же механизмом непосредственным молекулярным переносом.

Теплопроводность можно рассматривать как «диффузию эпергиигз а вязкость — как «диффузию импульсам Поэтому ьгожно утверждать, что коэффициент диффузии Р, температуропроводиость у = »ГД1»'ср) и кинематическая вязкость и = г17'(№и) имеют один и тот же порядок величины, откуда и получаются формулы (7.10) для теплопроводности и (8.11) для вязкости.

где 11 средняя тепловая скорость молекул легкого газа, а 1 11(117гт) — — длина свободного пробега. Напомним известный элементарный вывод этой формулы. Число молекул газа 1, проходящих слева направо в 1 с через единичную площадку., перпендикулярную оси х, равно по порядку величины произведению %110 причем плотность %1 должна быть взята на расстоянии 1 влево от площадки, т. е. в тех местах, откуда молекулы достигают:эту площадку уже без столкновений. Аналогичныл« образом определяется чишю молекул, пересекающих ту же площадку справа налево, а разность обоих чисел дает диффузионный поток: г ХГ(х — 1)е — 1111'1х+ 1)е — 111 «1№ пх 1'Л 1 КИНЕ"1'ИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ й 12.

Диффузия тяжелого газа в легком Рассмотрим теперь обратный предельный <лучай, когда мала концентрация тяжелого газа в смеси. В этом случае коэффициент диффузии можно вычислить косвенным способом, пе прибегая к помощи кинетического уравнения. Именно, определим так называемую подвижность частиц тяжелого газа, предполагая его находящимся во внешнем поле. Подвижность же 6 связана с коэффициентом диффузии этих же частиц известным соотношением Эйнштейна (12.1) Р = 67" (см. У1, ~ 59). Подвижность есть, по определению, коэффициент пропорциональности между средней скоростью ЪГ, приобретаемой частицей газа во внешнем поле, и действующей на частицу со стороны поля силой Г: Ъ' = Ы.

(12.2) Скорость же 1Г определяется в данном случае из условия взаимной компенсации силы Г и силы сопротивления 1Г, испытываемой движущейся тяжелой частицей со стороны легких 1столкновениями тяжелых частиц друг с другом можно пренебречь ввиду их относительной редкости). Функция распределения легких частиц является при этом максвелловской; 1де Ги1 масса легкой частицы.

Рассмотрим какую-нибудь одну определенную тяжелую частицу; пусть ее скорость есть Ъ . Перейдем теперь к системе координат, движущейся вместе с этой частицей, и пусть ч обозначает скорости легких частиц в этой новой системе. Функция распределения легких частиц в этой системе координат есть 7о(ъ + ~Г) (ср. с (6.9)).

Предполагая скорость е" малой, можем написать (12.3) Искомую силу сопротивления 1Г можно вычислить как полный импульс, передаваемый тяжелой частице легкими, которые сталкиваются с нею в единицу времени. Тяжелая частица остается при столкновении неподвижной. Легкая же частица приносит с собой импульс тчч; после столкновения, при котором ее импульс поворачивается на угол с1, она уносит с собой импульс, равный в среднем т1тгсова. Поэтому импульс, передаваемый при таком столкновении тяжелой частице, равен в среднем т~ъ (1 — сов с1). Умножая его на плотность потока легких частиц 1 12 диФФузия тяже!!ого 1"Азл В лкгком со скоростью тг и на сечение сггг такого столкновения и интегри- руя, получим полный передаваемый тяжелой частице импульс: Г„= тг ( )е(ч + 21)пуп! 11 р, где опять введено обозначение (11.4). При подстановке сюда те(!с+ ьг) в виде (12.3) первый член обращается в нуль (интегри- рованиел! по направлениям скорости у), так что остается с!г = — — ' (' ~дЯ(гггтг)тс11пг с21ЗР, или, усредняя по направлениям тг, 1„= — — ' 'зг ) уе(е)с сиз сср = — 121 — ' гг(сгсез), зт зт где угловые скобки снова обозначают усреднение по обычному максвелловскому распределению.

Наконец, имея в виду, что в рассматриваемом случае Лгг » Хз, пишем Х1 Х = Р(Т, так что Г. = — — '(сгсп' )Ъ'. зт Приравняв нулю сумму силы сопротивления Г, и внешней силы Г, получим согласно (12.2) подвижность Ь, а затем и искотиый коэффициент диффузии сг — ЬТ— зтэ (12.4) тгР(о,гз)' Что касается термодиффузии, то для ее вычисления в рассматриваемом случае необходимо было бы знать функции> распределения частиц легкого газа при наличии в нем градиента температуры.

Поэтому коэффициент термодиффузии не может быть вычислен здесь в общем виде. По порядку величины В еСгХсг, где 22,/Т~т~ снова (как и в (11.13)) средняя тепловая скорость молекул .легкого газа. Таким образом, порядок величины коэффициента диффузии в обоих случаях одинаков: т' г и пРт1~ 11'2 ' Задача Определить коэффициент диффузии в смеси двух плов (легкого и тяжолого), рассматривая их чаСтицы как твердые упругио шарики диаметров 111 и 112. Р е ш е н и е. Сечение сто!!Кновений гсо = х(11! + 112) гсвг!(16к), откуда транспортное сечение ог = к(о! е 112)~гг4 (в данном случае совпадает с полным сечением о). Коэффициент диффузии имеет вид 1т212 (111 + г12)1Ргг! г 60 1'Л 1 КИНЕ"1'ИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОН где т1 — масса легкой частицы, а А — численный коэффициент.

В случае малой концентрации легкого гк1а вычигчение по (11.10) дает А= — ( — ) =0,68. При малой же концентрации тяжелого газа 1124) дает А = = О, 6. 3 2ъ'2х Обратим внимание на близость значений А в обоих предельных случаях. й 13. Кинетические явления в газе во внешнем поле Вращательные степени свободы молекул создают тот механизм, через который внешнее магнитное или электрическое поле может оказывать влияние на кинетические явления в газе Характер этого влияния одинаков в магнитном и электрическом случаях; будем говорить сначана о газе в магнитном поле.

Врагцаюгцаяся молекула обладает, вообще говоря, магнитным моментом, среднее (в квантовомеханическом смысле) значение которого обозначим через 14. Магнитное поле будем предполагать ограниченным по величине настолько, что произведение )АВ мало по сравнению с интервалами тонкой структуры люлекулярных уровней 2). Тогда можно пренебречь влиянием поля на состояние молекулы, так что магнитный момент вычисляется по ее невозмущенному состоянию.

При не слишком низких температурах (которые мы и рассматриваем) величина рВ будет мала также и по сравнению с Т; это позволяет пренебречь влиянием поля па равновесную функцию распределения молекул газа. Магнитный момент направлен вдоль вра1цательного момента молекулы М; напишем его в виде (13.1) Классическому вращению молекулы отвечают большие вращательные квантовые числа; при этом можно пренебречь в М различием между полным (включающим спин) и вращательным моментами.