X.-Физическая-кинетика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 6

Наконец, (5.7) есть уравнение сохранения энергии, вектор с1 определен как с1= / еууоГ (5.9) и представляет собой плотность потока энергии в газе. Для приведения (5.6) и (5.7) к виду обычных гидродинамических уравнений надо, однако, еще выразить П А и с1 через макроскопические величины.

Мы уже упоминали, что макроскопическое описание газа предполагает достаточную малость градиентов его макроскопических характеристик. В таком случае в Зо 1'Л 1 КИИЕ"1'ИЧЕОКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОН первом приближении можно считать, что в каждом отдельном участке газа успевает установиться тепловое равновесие, между тем как весь газ в целом не находится в равновесии.

Друтими словами, в каждом элементе обьема функция распределения 1' принимается локально-равновесной совпадающей с равновесной функцией Д с теми плотностью, температурой и макроскопической скоростью, которые имеются в данном элементе. Такое приближение означает пренебрежение всеми диссипативными процессами в газе вязкостью и теплопроводностью. Естественно, что уравнения (5.6), (5.7) сводятся при этом к уравнениям гидродинамики идеальной жидкости. Убедимся в этом. Равновесное распределение в участке газа, движущемся как целое со скоростью Ъ', отличается от равновесного распределения в неподвижном газе лишь преобразованием Галилея; перейдя в систему отсчета К1, движущуюся вместе с газом, мы получим обычное распределение Больцмана.

Скорости м' молекул в этой системе связаны с их скоростями в исходной системе К посредством м = тг + е'. Пишем П, д = п1М(и „ЕГ1 ) = тпМ((Ъ'„+и~ )(Ъя+ ня)) = тМ(ЪГ ЪВ+ (Н~О11Ч)); члены Ъ"„и~д и Ъди„' обращаются в нуль при усреднении по направлениям ТР, поскольку все направления скорости молекулы в системе К равновероятны. По этой же причине ( 1 1) 1( 12)5 (5.10) средний же квадрат тепловой скорости (НГ ) = ЗТ7т, где Т температура газа. Наконец, заметив, что М1 есть давление газа Р,получим П Я = РЪ и ЪГЗ + 5 Я Р, (5. 11) т.

с. известное выражение для тензора потока импульса в идеальной жидкости; уравнение (5.6) с этим тензором эквивалентно гидродинамическому уравнению Эйлера (см. У1, ~ 7). Для преобразования интеграла (5.9) замечаем, что энергия молекулы е в системе отсчета К связана с ее энергией е в системе К посредством е = е + тг1Хтг + — птЪ' . 1 1 г 2 Подставив это выражение и з1 = ч'+ Ъ' в с1 = Гт' етГ1 получим (при усреднении произведения Г'(Мч') использовано (5.10)). Но №' есть термодинамическая внутренняя энергия газа, отнесен- пигиход к млкиоскопичиским милвииииим ная к единице объема; сумма же ХР+ Р есть тепловая функция И того же количества газа.

Таким образом, с1 = Ъ' (Р + И') (5.12) в согласии с известным выражением потока энергии в гидродинамике идеальной жидкости (см. У1, ~ 6). Наконец, остановимся на законе сохранения момента импульса в кинетическом уравнении. Строгий закон сохранения должен иметь место лишь для полного момента газа, складывающегося из орбитального момента молекул в их поступательном движении и их собственных вращательных моментов М; плотность поляого момента дается суммой двух интегралов Дгр)/'дГ + / М/НГ. (5.13) Но эти два члена имеют различный порядок величины. Орбитальный момент относительного движения двух молекул, находящихся на среднем расстоянии г друг от друга, порядка величины птг; собственный же момент молекулы М тЫ, т. е.

мвл по сравнению с орбитальным моментом (поскольку всегда д « и). Естественно поэтому, что кинетическое уравнение Больцмана, отвечающее первому неисчезающему приближению по малой величине 4~г, пе может учесть малых изменений орбитального момента, связанных с обменом между двумя частями полного момента (5.13). С этим связано то обстоятельство, что уравнение Больцмапа сохраняет полный орбитальный момент газа: из равенства / рЯ11 дГ = О, выражающего сохранение импульса, автоматически следует, что и Дгр] Б1~ИГ = ~г / рЯ1~дГ~ = О. (5.14) Происхождение этого свойства очевидно; поскольку в уравнении Больцмана столкновения рассматриваются как происходящие в одной точке, то вместе с суммой импульсов сталкивающихся молекул сохраняется также и сумма их орбитальных моментов.

Чтобы получить уравнение, описывающее изменение орбитального момента, надо было бы учесть члены следующего порядка по Й(г, связанные с тем, что в момент соударения молекулы находятся на конечном расстоянии друг от друга. В то же время, однако., самый процесс обмеяа моментом между поступательными и вращательными степенями свободы может быть описан в рамках уравнения Больцмана соотношением вида ~~ =/'МБ1/ 1Г, (5.15) где М -" плотность собственного момента вращения молекул. Поскольку при столкновении молекул сумма их собственных моментов не обязана сохраняться, интеграл в правой части (5.15), 1'Л 1 КИНЕ"1'ИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ вообще говоря, отличен от нуля и определяет скорость изменения величины лг.

Если в газе каким-либо искусственныл1 способом создана отличная от нуля плотность моментеч то его дальнейгпая релаксация будет определяться уравнением (5.15). 9 6. Кинетическое уравнение для слабо неоднородного газа Для того чтобы включить в рассмотрение диссипативные процессы (теплопроводность и вязкость) в слабо неоднородном газе, надо обратиться к следующему (после рассмотренного в предыдущем параграфе) приближению. Вместо того чтобы считать функцию распределения в каждом участке газа просто локально-равновесной функцией (о, учтем теперь также и небольшое отличие 7" от уо, т. е.

напишем 7" в виде Х = Уо+ йХ йУ = — — '7С(Г) = — Хо7С (6.1) де Т где д1 малая поправка (бТ « А). Последнюю целесообразно представлять в написанном здесь виде, вынеся из нее множитель — дуо/де; для распределения Больцмана эта производная отличается лишь множителем 1)Т от самой функции То. Поправка о)' должна в принципе определяться путем решения линеаризованного по отношению к ней кинетического у.равнения ). Помимо самого кинетического уравнения, функция 7С должна удовлетворять еще и определенным дополнительным условиям.

Дело в том, что (о есть равновесная функция распределения, отвечающая заданным (в рассматриваемом элементе обьема) плотностям числа частиц, энергии и импульса газа, т. е. заданным значениям интегралов ~ Уо (Г, 3' Уо УГ, 3'Ио (Г (6.2) Неравновеспая функция распределения (6.1) должна приводить к тем же значениям этих величин, т. е.

интегралы с 1 и 1о должны быть одинаковыми. Это значит, другими шювами, что функция 7С должна удовлетворять условиям ) Д7~11Г = О, ) 7отег(Г = О, ) (97Срс(Г = О. (6.3) Подчеркнем, что само понятие температуры в неравновесном газе становится определенным лишь в результате приписывания интегралам (6.2) определенных значений. Это понятие имеет ') Такой метод рошопия кинетического уравнения принадлежит Эискогу (11. ЕИЗЬоя, 1917). УРАИНННИИ ДХ!Я СДАЬО НЕОДНОРОДНОГО ГАЗА безусловный характер лишь в полностью равновесном состоянии газа в целом; для определения же температуры в неравновесном газе требуется дополнительное условие, каковым и служит задание указанных значений.

Преобразуем, прежде всего, интеграл столкновений в кинетическом уравнении (3.8). При подстановке в него функций в виде (6.Ц члены, не содержащие малой поправки у, взаимно сокращаются, поскольку равновесная функция распределения обращает интеграл столкновений в нуль. Члены первого порядка дают (6.4) где 1(у) обозначает линейный интеградьный оператор 1(М =,) 'А!(Х'+ Х! — Х вЂ” Х!) ~Г! 4Г'Г~Р! (6 5) Здесь использовано равенство 1о1в! = 1в1в!, множитель 1о может быть вынесен из-под знака интеграла, поскольку по !1Г не производится интегрирования. Обратим внимание на то, что интеграл (6.5) тождественно обращается в нуль для функций Х = сопвС, Х = сопвС е, Х = рбмк (6.6) (где бЪ" постоянный вектор); обращение в нуль для второй и третьей из этих функций связано с сохранением энергии и импульса в каждом столкновении.

Будучи независимыми от времени и координат, функции (6.6) удовлетворяют, следовательно, и всему кинетическому уравнению. Эти решения имеют простое происхождение. Кинетическому уравнению тождественно удовлетворяет равновесная функция распределения с любыл!и (постоянными) плотностью частиц и температурой. Поэтому ему автоматически удовлетворяет и малая поправка дХ = Ю бл = Уо~ дХ Х' возникающая при изменении плотности на о11!': отсюда возникает первое из решений (6.6). Аналогичным образом удовлетворяет уравнению и добавка 61" = 1" !1Т, вт возникающая в результате изменения Т на малую постоянную величину !1Т.

Производная же д/в/дТ складывается из члена вида сонями 1о (происходящего от дифференцирования нормировочного множи1елЯ в 1о) и из члена, пРопоРционального с1в: отсюда и возникает второе из решений (6.6). Третье же из этих решений 2 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том Х 34 КИИЕ"1'ИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОН 1'Л 1 Ь=ехр( ) Е6.7) где р -- химический потенциал газа. Распределение же в движущемся газе отличается от (6.7) (как уже было отмечено в 3 5) лишь галилеевским преобразованием скорости. Для того чтобы написать эту функцию в явном виде, выделим из полной энергии молекулы еЕГ) кинетическую энергию ее поступательного движения: ЕЕГ) = — + сен; (6.8) вну.тренпяя энергия е,„включает в себя энергию вращения молекулы и колебательную энергию.