X.-Физическая-кинетика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 5

Написав также 111 г з, где г среднее расстояние между молекулами, найдем, что (3.11) Поскольку в газе 7» 11, то длина пробега 1» г. Отношение т 11ги называют временем свободного пробега. Для грубой оценки интеграла столкновений можно положить (3.12) Написав в числителе разность 1 — 1в, мы тем самым учли, что интеграл столкновений обращается в нуль для равновесной функции распределения. Знак минус в (3.12) выражает тот факт, что ') Это понятие было впервые введено Клаузиусом (Л. С1аивгиа 1858). Функция иг, а с нею и сечение йт, определенное согласно (2.2), содержат в себе б-функционные множители, выражающие законы сохранения импульса и энергии, в силу которых переменные р1, р', р1 (при заданном р) в действительности не независимы.

Но после того, как интеграл столкновений выражен в виде (3.9), можно считать, что эти б-функции уже устранены соответствующим интегрированием; тогда дв будет обычным сечением рассеяния, зависящим (при заданном и „,) только от угла рассеяния. Для качественного рассмотрения кинетических явлений в газе используется грубая оценка интеграла столкновений с помощью понятия длины свободного пробега 1 — некоторого среднего расстояния, проходимого молекулой между двумя последовательными столкновениями ).

Эта величина имеет, конечно, лишь качественный характер; самое ее определение зависит от того, какое именно кинетическое явление в газе рассматривается. Длина свободного пробега может быть выражена через сечение столкновений с и плотность числа молекул в газе 1"гг. Пусть молекула в своем движении прошла 1 см; на этом пути она столкнулась с молекулами, находящимися в обьееие в (об"ьем цилиндра с площадью сечения с и длиной 1 см); в этом обьеме имеется сггг молекул.

Ясно поэтому, что 26 КИИЕ"1'ИЧЕОКАЯ ТЕОРИЯ 1'АЗОВ 1'Л 1 столкновения являются механизмом установления статистичь ского равновесия, т. е. стремятся уменьш1лть отклонение функции распределения от равновесной. В этом смысле величина т играет роль времени релаксации для установления равновесия в каждом элел1енте обьема газа. й 4. Н-теорема Предоставленный самому себе гэз, как и всякая зал1кнутая макроскопическая систел1а, стремится перейти в равновесное состояние. Соответственно эволюция неравновесной функции распределения согласно кинетическому уравнению должна сопровождаться возрастанием энтропии газа.

Покажем, что это действительно так. Как известно, энтропия идеального газа, находящегося в неравновесном макроскопическом состоянии, описывающемся функцией распределения 1, равна 5 = / 1п — ' Л" дГ у (4.1) (см. Ъ', 6 40). Дифференцируя это выражение яо времени, пишем (4.2) Поскольку установление статистического равновесия в газе осуществляется столкновениями молекул, то возрастание энтропии должно быть связано именно со столкновительной частью изменения функции распределения. Изменение же этой функции, связанное со свободным движением молекул, не может изменить энтропии газа.

Действительно, эта часть изменения функции распределения дается (для газа во внешнем поле с1'(г)) первыми двумя членами в правой части уравнения д~ — = — х17/ — в' — + Бг У. д~ йЕ ар Их вклад в производнук1 11О/111 равен Но интеграл по сй' от члена с производной д/дг преобразуется согласно теореме Гаусса в интеграл по поверхности; при интегрировании по всему объему газа он обращается в нуль, поскольку за г1ределами занимаемого газом об"ьема / = О. Аналогичныки образом, член с производной д/др при интегрировании по дэр л твогемл 27 преобразуется в интеграл по бесконечно удалснной поверхности в импульсном пространстве и тоже обращается в нуль.

Таким образом, для изменения энтропии остается — = — ) 1п 7' Я$ 7' с1Г сЛ'. (4.3) Этот интеграл можно преобразовать с помощью приема, который мы сформулируем (имея в виду также и дальнейшие применения) в общем виде для интеграла ~'~(Г) 31 У 1Г, где ~р(Г) любая функция величин Г. Представив интеграл столкновений в виде (3.6), пишем )' ~р(Г) В1 ~ дГ = )' ~рш(Г, Г,; Г', Г', ) ~'Д 04Гв — ) ~рсс(Г', Г'; Г, Г с ) ОрХ' Г, где для краткости обозначено д"Г = с1Гс1Гс с1Г'дГ'и Поскольку интегрирование производится здесь по всем переменным Г, Гм Г', Г'„то можно, не меняя интеграла, произвести любое переобозначение переменных. Взаимно переобозпачив Г, Г1 и Г', Г' во втором интеграле., полу чим )' ~р(Г) ВС У с1Г = 1с'( р — ~р') и~(Г, Г П Г', Г' ) У'У'с14Г.

Переобозначив теперь Г, Г' ~-> Гм Г1, взяв полусумму получающихся таким образом интегралов и учтя очевидную симметрисо функции ш по отношению к двум сталкивающимся частицам, получим формулу преобразования 1" ~р(Г) Б17 с1Г = — ) (~р + д — ~р' — Яю~'~с14Г, (44) 2 В частности, интеграл ) Яс 7 с1Г = О; представив здесь Вс 7 в виде (3.7), получим ) Я~ с' дГ = / и~Ц'~1 — 1"21) с14Г = О. (4.5) В применении к интегралу (4.3) формула (4.4) дает — — а'~'~,'1п 'Й'ГЛ'= — ш'7" ~~х1пхд ГсЛг, с1с 2,/ 2,/ где обозначено х = ~'Д/Я~и Вычтя из этого выражения половину равного нулю интеграла (4.5), перепишем его в виде — = — ) ш'Ос(х1пх — х+ 1) сГ'ГсЛГ.

(4.6) НС 2 1'Л 1 КИНЕ"1'ИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ Функция в скобках в подынтегральном выражении нсотрицательна при всех ю > О1 она равна нулю при ю = 1 и возрастает по обе стороны от этой точки. По определению положительны также и множители и', у', г1 под знаком интеграла. Таким образом, мы прихсдим к требуемому результату — >О, (4.7) й выражающему собой закон возрастания энтропии (знак равенства имеет место в равновесии) ). Обратим внимание на то, что в силу неотрицательности подьштегрального выражения в (4.6) (а тем самым и в (4.3)) положителен не только весь интеграл (4.3) по дГ д1г, но и интсграл только по 11Г. Другими словами, столкновения приводят к возрастанию энтропии в каждом элементе объема газа. Это, конечно, не значит, что энтропия вообп!е возрастает в каждом элементе обьеыа, так как она может переноситься из одного участка в другой за счет свободного движения молекул.

й 5. Переход к макроскопическим уравнениям Кинетическое уравнение Больцмана дает микроскопическое описание эволюции состояния газа. Покажем, каким образом производится переход от кинетического уравнения к обычным уравнениям гидродинамики, осуществляющим менее детальное, макроскопическое описание этой эволюции.

Такое описание применимо в условиях, когда макроскопические свойства газа (его температура, плотность, скорость и т. и.) достаточно медленно меняются вдоль его объема: расстояния Т,на которых происходит сущсстВснное изменение этих сВойств, доллкны бьггь Вслики по сравнению с длиной свободного пробега молекул 1. Х1ы уже упоминали, что интеграл 5!(1,г) = 1' у" (1, г, Г) ЙГ (5.1) есть плотность распределения молекул газа в пространстве; произведение р — пл1Лг есть соответственно массовая плотность газа. Скорость макроскопического движения газа обозначим через ьг (в отличие от микроскопических скоростей молекул и); она определяется как среднее значение У = зг = — 1 и 1 дГ.

(5.2) Х' ) Доказательство закона возрастания энтропии с помощью кинетического уравнения было дано Больцманом и явилось первым микроскопическим обоснованием этого закона. В применении к газам этот закон часто называют П-теоремой (по обозначению — Н, использованному Больцманом для энтропии). ПИРЕХОД К МАКРОСКОПИЧИСКИМ УРАИИИИИИМ 29 (5.5) (5 7) Столкновения не меняют ни числа сталкивающихся частиц, ни их суммарных энергии и иьшульса. Ясно поэтому, что столкновительпая часть изменения функции распределения пе может привести к изменению также и макроскопических величин в каждом элементе обьема газа его плотности, внутренней энергии и макроскопической скорости Ъ'. Действительно, столкновитсльные части изменения полных числа, энергии и импульса молекул в единице объема газа даются равными нулю интегралами 1 81~ Р1Г = О, / е 81~ Р1Г = О, ) р81~ЙГ = О.

(5.3) В этих равенствах легко убедиться, применив к интегралам преобразование (4.4) соответственно с ~р = 1, е или р (первый интеграл обращается в нуль тождественно, а второй и третий в силу сохранения энергии и импульса при столкновениях). Напишем теперь кинетическое уравнение — 1+ (п„~) = Я~ (5.4) и проинтегрируем его по ПГ, предварительно умножив на гп, рд или е.

Во всех трех случаях правая часть уравнения обратится в нуль и мы получим следующие уравнения: — р + с11Р рЪ' = О, дл д~ (5.6) дхз — 7Р'к+ йтс1 = О. д д1 Первое из них есть обычное гидродинамическое уравнение вепрерывности, выражающее собой сохранение массы газа. Второе уравнение выражает сохранение импульса; тепзор П„й определен как Ппд = ) ти,„ид) пГ (5. 8) и представляет собой тензор плотности потока импульса: его компонента П„л есть а-я компонента импульса, переносимого молекулами в 1 с через единичную площадку, перпендикулярную оси хА.