II.-Теория-поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 93

Мы не будем, однако, входить здесь в зги детали: для поставленной цели можно извлекать закон преобразования структурных констант прямо из равенств (116.22) ) Параметр а пробегает все положительные значения. Соответствующие типы представляют собой фактически однопараметрические семейства различных групп, их об*ьединение в сводные типы ЪЧ и УП имеет условный характер. 515 з 116 ОДНОРОДНЫЕ ПРОО'ГРАНОТВА Аналогичным образом пространство постоянной отрицательной кривизны содержится как частный случай в типе Ъ'. Действительно, положив Чаь = даьььЛ и вычислив Р(а)(ь) по (116.24) с С~з = — С62 = 1, 1юлучим Р(а)(Ь) 25аь~ РОЗ 2Л (азь что и отвечает постоянной отрицательной кривизне. Наконец, покажем, каким образом уравнения Эйнштейна для мира с однородным пространством сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих только функции времени.

Для этого пространственные компоненты 4-векторов и 4-тензоров надо разложить по тройке реперных векторов данного пространства: .~7(а)(Ь) = Ла)16(а)е(Ь)ь 176(а) = Чоае(а)~ н н еа а 6 а (а) а (а) причем все эти величины являются уже функциями только от 6; функциями времени являются также и скалярные величины— плотность энергии 6 и давление р материи. Уравнения Эйнштейна в синхронной системе выражаются, согласно (97.11) †(97.13), через трехмерные тензоры зе е и Р и. Для первого имеем просто е(а)(ъ) Чаь1 м(а) ЧасЧ (Ь) (116.23) (точка означает дифференцирование по г). Компоненты же Р(айь) можно выРазить чеРез величины т)аь и стРУктУР- ные константы группы с помощью (98.14). После замены трехиндексовых Л ь = С 1 на двухиндексовые С Ь и ряда преобразований') получим Р(Ь) = — ~2СЫСаз + С~~Са4 + СЫС4а — С"6(С~а + СНЬ)+ + ф(С"6)з — 2С4ь С4(Д.

(116.24) Здесь, в соответствии с общим правилом, Ь сь сьЬ Са = ЧасС ь СВЬ = ЧасЧЫС Отметим также, что тождества Бианки для трехмерного тензора Р д в однородном пространстве принимают вид (П6.25) ) В которых используются формулы Еьг щ с д Е д,ьль,чые = Че ь„, е Ме = Ь дь — Ь бь. 516 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ.

Х!У Окончательные выражения для реперных составляющих 4-тензора Риччи '); 1 . (а1 1 (Ь) (а) ~0 — 9 зг(а~ 4 "( ~зг(Ь) п(а) — зс(Ь) (С са оаС 1(с)~ (116.26) Подчеркнем, что для составления уравнений Эйнштейна нет, таким образом, необходимости в использовании явных выражений для реперных векторов как функций координат. 8 117. Плоская анизотропная модель Адекватность изотропной модели для описания поздних этапов эволюции Вселенной сама по себе не дает оснований ожидать, что она столь же пригодна и для описания ранних стадий эволюции, — вблизи особой точки по времени. Этот вопрос будет детально обсужден в 8 119, а в этом и следующем параграфах будут предварительно рассмотрены решения уравнений Эйнштейна, тоже обладающие особой точкой по времени, но принципиально отличных (от фридмановской особенности) типов.

Будем искать решение, в котором все компоненты метрического тензора являются, при надлежащем выборе системы отсчета, функциями лишь одной переменной — времени х = 1') . Такой вопрос рассматривался уже в 8 109, где, однако, был рассмотрен только случай, когда определитель ~да,~~ = О. Теперь же будем считать этот определитель отличным от нуля. Как было показано в 8 109, в таком случае можно, без ограничения общности, положить все ио = О.

Преобразованием переменной 1, согласно,,Я00с(ь -+ с(1, можно затем обратить д00 в единицу, так что мы получим синхронную систему отсчета, в которой 300 = 1~ Юоо = О, Йкд = — 7ад(Г). (117.1) Теперь мы можем воспользоваться уравнениями Эйнштейна в виде (97.11)-(97.13). Поскольку величины 7 д, а с ними И КОМПОНЕНТЫ ТРЕХМЕРНОГО тЕНЗОРа Згал = Уа,з НЕ ЗаВИСЯт От кооРДинат х'", то 1ьп = О. По той же пРичине Рад = О, и в ) Ковариантные производные Я~~1.„входящие в В~„, преобразуются с помощью формулы, приведенной в примеч. на с.

396. з) В 8 117, 118 для упрощения записи формул полагаем с = 1. 517 1 117 ПЛОСКАЯ АННЗОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ результате уравнения гравитационного поля в пустоте сводятся к следующей системе: Аг + -АТ~~АТ,~ — — О, 2 — ( 5 а)' =О. А77 (117.2) (117.3) Из (117.3) следует, что ГфАт'~ = 2Л'~, (117.4) где Л постоянные величины. Упрощая по индексам а и,9, Р получим А/т откуда видно, что 7 = сопе1 12.

Без ограничения общности можно положить сопв$ = 1 (это достигается просто изменением масштаба координат х ); тогда Л = 1. Подстановка (117.4) в уравнение (117.2) дает теперь соотношение (117.5) (117. 6) Совокупность коэффициентов Л~ можно рассматривать как матрицу некоторой линейной подстановки. Путем соответствующего линейного преобразования координат яг,х2,хз (или,что эквивалентно, величин я1Я, я2е, язЯ) можно, вообще говоря, привести эту матрицу к диагональному виду.

Обозначим ее главные значения через р1, р2, рз и будем считать, что все они вещественны и различны (о других случаях — см. ниже); единичные векторы в соответствующих главных направлениях пусть будут и~1), п(2), п12) . Тогда решение уравнений (117.6) можно представить в виде = ~~"~ПО)п~ ~ + 7~"гп1~)п~2~ + ~2~зпР~п~ ~ (117 7) 7аЛ = Па П11 а Л Па ~Я (постоянные коэффициенты при степенях 1 можно обратить в единицу путем соответствующего выбора масштаба координат). Наконец, выбрав направления векторов п1Ц, п121, п12) в качестве связывающее между собой постоянные Ла.

Далее, опустив в (117.4) индекс р, перепишем эти равенства в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений Дла 7 Я: 518 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. Хгг окончательного направления осей 1назовем их т, у, з), приведем метрику к виду 1 2 12 12рг 1 2 12рг 1 2 12рг 1 2 1117.8) 1Е. Казнег, 1922). Здесь р1, рз, рз — любые три числа, удовлетво- ряющие двум соотношениям: Р1+Р2+Рз =1, Р1+Р2+Рз — — 1 1117.9) 1периое следует из — д = 12, а второе получается затем из 1117.5)). Три числа р1, рз, РЗ не могут, очевидно, иметь одинаковые значения. Равенство двух из них имеет место в тройках значений 10,0, 1) и 1 — 1/3, 2/3, 2113).

Во всех других случаях числа р1, рз, рз различны, причем одно из них отрицательно, а два других положительны. Если расположить их в порядке Р1 ( Р2 ( рз, то их значения будут лежать в интервалах — — (р1 (О, 0(рз ( — — (рз (1. (11710) Таким образом, метрика 1117.8) соответствует плоскому однородному,но анизотропному пространству, все объемы в котором растут 1с увеличением времени)пропорционально 1,причем линейные расстояния вдоль двух осей (у, з) увеличиваются, а вдоль одной 1х) убывают.

Момент Ф = 0 является особой точкой решения; метрика имеет в ней особенность, не устранимую никаким преобразованием системы отсчета, причем инварианты тензора четырехмерной кривизны обращаются в бесконечность. Исключением является лишь случай р1 = рз = О, Рз = 1; при этих значениях мы имеем дело просто с плоским пространством-временем: преобразованием ззЬЕ = г„', 1СЬЕ = т метрика 1117.8) приводится к галилеевой') . Метрика 1117.8) является точным решением уравнений Эйнштейна для пустого пространства.

Но вблизи особой точки, при ') Решение типа 1117.8) существует и в том случае, когда переменная в ием является пространственной; при этом надо только соответствующим образом изменить знаки, например: 1 г грг 1 г 1 г гг, 1 г ггг,1 г В этом случае, однако, существуют также и решения другого вида, возникающие, когда матрица Л11 в ураннениях 1117.6) имеет комплексные или совпадающие главные значения 1см. задачи 1 и 2). В случае временной переменной 1 эти решения оказываются невозможными в силу того, что определитель 8 в них не удовлетворял бы необходимому условию 8 < О.

Дадим также ссылку на статью, в которой найден ряд точных решений уравнений Эйнштейна в пустоте родственных типов, зависящих от большего числа переменных: В. К. Наггггопо Р11ув. Рею 1959. ЛГ. 116. Р. 1285. 519 1 117 ПЛОСКАЯ АНИЗОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ малых 6, она остается приближенным (с точностью до членов главного порядка по 1/6) решением уравнений и при наличии равномерно распределенной в пространстве материи. Скорость и ход изменения плотности материи определяются при этом просто уравнениями ее движения в заданном гравитационном поле, а обратное влияние материи на поле оказывается пренебрежимым.

Плотность материи стремится к бесконечности при 1 — з 0 в соответствии с физическим характером особенности (см. задачу 3). Задачи 1. Найти решение уравнений (117.6), соответствующее случаю, когда матрица Л имеет одно вещественное (рз) и два комплексных (рьг = р х л х зр") главных значения. Р е ш си и е. В этом случае переменная хэ, от которой зависят все величины, должна иметь пространственный характер; обозначим ее как х о = х.