II.-Теория-поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 95

Дальнейшая эволюция метрики приведет аналогичным образом к возрастанию возмущения, выражающе- гося членами Ь~ в уравнениях (118.7), следующей смене казне- ровских показателей, и т. д. Правило смены показателей (118.15) удобно представить с помощью параметризации (118.12): если Р~ = РГ(п), Р = Рт(11), Ри = Рз(п) то р1 — — рз(и — 1), р' = р1 (и — 1), р'„= рз(и — 1). (118.16) Остается положительным больший из двух положительных показателей. 1 118 колнвотнльный гкжим пгивлижнния к осовой точки 525 В процессе смен кззнеровских эпох лежит ключ к пониманию характера эволюции метрики при приближении к особой точке.

Последовательные смены (118.16) с перебросом отрицательного показателя степени (р1) меж,лу направлениями 1 и гп продолжаются до тех пор, пока не исчерпается целая часть начального значения и и не станет и < 1. Значение и < 1 преобразуется в и ) 1 согласно (118.13); в этот момент отрицателен показатель р~ или р, а р„становится меньшим из двух положительных чисел (р = ро).

Следующая серия смен будет уже перебрасывать отрицательный показатель между направлениями и и 1 или между п и пь При произвольном (иррациональном) начальном значении и процесс смен продолжается неограниченно. Прн ТОЧНОМ РЕШЕНИИ ураВНЕНИй ПОКаЗатЕЛИ р1, ро., рэ тЕряЮт, конечно, свой буквальный смысл. Отметим, что вносимая этим обстоятельством некоторая «размытость» в определении этих чисел (а с ними и параметра и), хотя она и мала, лишает смысла рассмотрение как-либо выделенных (например, рациональных) значений и.

Именно поэтому реальным смыслом обладают лишь те закономерности, которые свойственны общему случаю произвольных иррациональных значений и. Таким образом, процесс эволюции модели в направлении к особой точке складывается из последовательных серий колебаний, в течение каждой из которых расстояния вдоль двух пространственных осей осциллируют, а вдоль третьей — монотонно убывают; объем убывает по закону, близкому к 1. При переходе от одной серии к следующей направление, вдоль которого происходит монотонное убывание расстояний, переходит с одной оси на другую.

Порядок этих переходов приобретает асимптотически характер случайного процесса. Такой же характер приобретает и порядок чередования длин последовательных серий колебаний (т. е. чисел сменяющихся в каждой серии «казнеровских эпох») ') . ') Если «начальное» значение параметра и есть ио = ко + хо (где лов целое число, а зо < Ц, то длина первой серии колебаний будет ьо, а начальное значение и для следующей серии будет иг = 1/хо = 1о1 + лг н т.д.

Отсюда легко заключить,что длины последовательных серий даются элементами ко, ям ям... разложения ио а бесконечную (при иррациональном ио) непрерывную дробь 1 ио = Йо+ 1 лг+ 1 ко+ йг-»... Чередование значений дальних элементов такого разложения подчинено статистическим закономерностям. 526 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. Х1Р Последовательные серии колебаний сгущаются по мере приближения к особой точке. Между любым конечным моментом мирового времени 1 и моментом 1 = О заключено бесконечное множество колебаний. Естественной переменной для описания временного хода этой эволюции оказывается не само время 1, а его логарифм, 1п1, по которому весь процесс приближения к особой точке растянут до — со.

В изложенном решении мы с самого начала несколько упростили задачу, предположив матрицу т),аф в (116.3) диагональной. Включение в метрику недиагональных компонент Г) ь не меняет описанного колебательного характера эволюции метрики и закона (118.16) смен показателей р1, р, р„чередующихся казнеровских эпох. Оно приводит, однако, к появлению дополнительного свойства: смена показателей сопровождается также и изменением направлений осей, к которым эти показатели относятся'). 9 119.

Особенность по времени в общем космологическом решении уравнений Эйнштейна Уже было отмечено, что адекватность модели Фридмана для описания современного состояния Вселенной сама по себе еще не дает оснований ожидать, что она столь же пригодна и для описания ранних стадий эволюции мира. В этой связи возникает прежде всего вопрос о том, в какой степени существование особой точки по времени вообще является обязательным свойством космологических моделей, и не связано ли оно со специфическими упрощающими предположениями (в первую очередь с симметрией), лежащими в их основе.

Подчеркнем, что, говоря об особой точке, мы имеем в виду физическую особенность-- обращение в бесконечность плотности материи и инвариантов тензора четырехмерной кривизны. Независимость от специфических предположений означала бы, что наличие особенности присуще не только частным, но и общему решению уравнений Эйнштейна.

Критерием общности является число содержащихся в решении нфизически произвольных» функций. В общем решении число таких функций должно быть достаточным для произвольного задания начальных ') Об этой и о других деталях поведения однородных космологических моделей рассматриваемого типа см. В. А.

Белинский, Е.М.Лифшиц, И. М. Халатников(( УФН. 1970. Т. 102. С. 463; Абт. 1п РЬуа. 1970. У. 19. Р. 626; ЖЭТФ. 1971. Т. 60. С. 1969. 527 119 ОООвеннООТЬ в ОН1цем Решении эйнп1тейнл условий в какой-либо выбранный момент времени (4 для пустого пространства, 8 для пространства, заполненного материей,-- см. 3 95) ') . Нахождение общего решения в точном виде для всего пространства в течение всего времени, разумеется, невозможно. Но для решения поставленного вопроса в этом нет необходимости: достаточно исследовать вид решения вблизи особенности.

Особенность, которую имеет решение Фридмана, характерна тем, что обращение в нуль пространственных расстояний происходит по одинаковому закону во всех направлениях. Такой тип особенности не является достаточно общим: он свойствен классу решений, содержащему лишь три произвольные функции координат (см. задачу к 3 113). Отметим также, что эти решения существуют только для пространства, заполненного материей.

Особенность же колебательного типа, рассмотренная в предыдущем параграфе, имеет общий характер — существует решение уравнений Эйнштейна с такой особенностью, содержащее всю требуемую совокупность произвольных функций. Мы обрисуем здесь кратко способ построения такого решения, не вникая в детали вычислений') .

Как и в однородной модели 13118), режим приближения к особой точке в общем решении складывается из чередующихся серий сменяющих друг друга «казнеровских эпоха. В течение каждой такой эпохи главные (по 1/1) члены в пространственном метрическом тензоре (в синхронной системе отсчета) имеют вид (118.1) с функциями времени а, 5, с из (118.10), но векторы 1, пз, и являются теперь произвольными (а не вполне определенными, как в однородной модели) функциями пространственных координат.

Такими же функциями (а не просто числами) являются ТЕПЕРЬ ПОКаЗатЕЛИ Р1, Рш, Р„, ПО-ПРЕЖНЕМУ СВЯЗаННЫЕ ДРУГ С ДРУ- гом соотношениями (118.11). Построенная таким образом метрика удовлетворяет уравнениям ЛΠ—— 0 и гь = О для поля в пустоте 0 6 ) Сразу же подчеркнем, однако, что для системы нелинейных дифференциальных уравнений, которую представляют собой уравнения Эйнштейна, понятие общего решения неоднозначно. В принципе может существовать более чем один общий интеграл, каждый из которых охватывает собой не все многообразие мыслимых начальных условий, а лишь его конечную часть.

Существование общего решения с особенностью не исключает позтому наличия также и других Общих решений, не обладающих особенностью. Например, нет оснований сомневаться в существовании общего решения без особенности, описывающего устойчивое изолированное тело с не слишком большой массой. ) Их можно найти в статье: Б. А. Белинский Е. М. Лифшигь И. М. Халатников// ЖЭТФ. 1972.

Т. 62. С. 1606; Аб». 1п РЬуз. 1982. Ч. 31. Р. 639. 528 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. Х!Ч (в их главных членах) в течение некоторого конечного интервала времени. Уравнения же ЛО = 0 приводят к трем соотношениям (не содержащим времени), которые должны быть наложены на содержащиеся в у л произвольные функции пространственных координат. Эти соотношения связывают между собой 10 различных функций: по три компоненты трех векторов 1, гп, и и одна функция в показателях степеней времени (какая-либо из трех функций рп р, р„, связанных двумя условиями (118.11)). При определении числа физически произвольных функций надо учесть также, что синхронная система отсчета допускает еще произвольные преобразования трех пространственных координат, не затрагивающие времени.

Поэтому метрика содержит всего 10 — 3 — 3 = 4 произвольные функции-- именно столько, сколько должно быть в общем решении для поля в пустоте. Смена одной казнеровской эпохи на другую происходит (как и в однородной модели) благодаря наличию в трех из шести УРавнений 1ьо = 0 членов, котоРые пРи Уменьшении 1 РастУт Р быстрее других, играя, таким образом, роль возмущения, разрушающего казнеровский режим. Эти уравнения в общем случае имеют вид, отличающийся от уравнений (118.14) лишь зависящим от пространственных координат множителем (1го1 1/Цгпп]) в их правых частях (подразумевается, что из трех показателей рп р, р„отрицателен р1) ') .

Поскольку, однако, уравнения (118.14) составляют систему обыкновенных дифференциальных уравнений по отношению ко времени, это отличие никак не сказывается на их решении и на следующем из этого решения законе смены казнеровских показателей (118.16), а тем самым — на всех дальнейших следствиях, изложенных в О 118') . Степень общности решения не уменьшается при введении материи: материя «вписывается» в метрику со всеми вносимыми ею 4 новыми координатными функциями, необходимыми для задания начальных распределений ее плотности и трех компонент скорости.

Тензор энергии-импульса материи Т, привносит в уравнения поля члены, оказывающиеся более высокого порядка по 1/1, чем главные члены (в точности аналогично тому, как это было показано в задаче 3 к 3117 для плоской однородной модели). ') Для однородной модели зтот множитель совпадает с квадратом структурной константы С~~ и по определению постоянен. ) Если наложить на проиЗвольныЕ функции в решЕнии дополнительноЕ условие 1го«1 = О, то колебания исчезнут и казнеровский режим будет продолжаться до самой точки 1 = О. Такое решение, однако, содержит на одну произвольную функцию меньше, чем требуется в общем случае.

529 119 ОООБеннООТЬ в ОБ1цем Решении эйнп1тейнА Таким образом, существование особой точки по времени является весьма общим свойством решений уравнений Эйнштейна, причем режим приближения к особой точке имеет в общем случае колебательный характер') . Подчеркнем, что этот характер не связан с наличием материи (а потому и с ее уравнением состояния) и свойствен уже самому по себе пустому пространству-времени.