II.-Теория-поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 92

Однородность означает одинаковость метрических свойств во всех точках пространства. Точное определение этого понятия связано с рассмотрением совокупности преобразований координат, которые совмещают пространство само с собой, т.е.

оставляют его метрику неизменной: если до преобразования элемент 509 2 116 ОднОРОлнын нРООтРАнстнА длины Ц2 (,1 2 3)д нд Д то после преобразования тот же элемент ц12 ( и г2 ~3) 1 ~а ~ 63 с той же функциональной зависимостью 1„13 от новых координат. Пространство однородно, если оно допускает совокупность преобразований (или, как говорят, группу двиэкений), позволяющих совместить любую заданную его точку с любой другой точкой. В силу трехмерности пространства очевидно, что для этого различные преобразования группы должны определяться значениями трех независимых параметров.

Так, в евклидовом пространстве однородность выражается инвариантностью метрики по отноп1епию к параллельным переносам (трансляциям) декартовой системы координат. Каждая трансляция определяется тремя параметрами — компонентами вектора смещения начала координат. Все эти преобразования оставляют инвариантными три независимых дифференциала (дх, ну, НН), из которых и строится элемент длины. В общем случае неевклидова однородного пространства преобразования его группы движений тоже оставляют инвариант- ными три независимые линейные дифференциальные формы, не сводящиеся, однако, к полным дифференциалам каких-либо координатных функций. Напишем эти формы в виде е~~~ Йх~, (116.1) где латинский индекс (а) нумерует три независимых реперных вектора (функции координат). С помощью форм (116.1) инвариантная по отношению к данной группе движений пространственная метрика строится как д1 = 21,ь(е~'~ дх )(е~~ ~ Йхд), (116.2) т.

е. метрический тензор Ъ*в =%Ье,„' еЙ, (116.3) где симметРичные по индексам а, Ь коэффициенты 21„ь — -фУнкции времени. Таким образом, мы приходим к «триадному» представлению пространственной метрики с помощью тройки реперных векторов; к этому представлению применимы все полученные в 398 формулы. При этом выбор реперных векторов диктуется свойствами симметрии пространства и, вообще говоря, эти векторы не оРтогональны (так что матРиЦа 11 ь не Диагональна). 510 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. Х1Р Как и в 398, наряду с тройкой векторов е„введем тройку взаимных с ними векторов е...

для которых (а)' (116.4) В трехмерном случае связь между теми и другими векторами может быть представлена в явном виде как е(ц = — [е(2)е(3)], е(2) = -[е(3)е(1)], е(3) = -[е(1)е(2)], (116.5) где П = ]Е(а)] = (Е(1) [Е(2)Е(3)]), а е(а) и е(а) надо понимать как декартовы векторы с компонентами соответственно е и е„. Определитель метрического а (а) (а) тензора (116.3) "1' = Г)П (116.6) где Г) — определитель матрицы т),ь. Инвариантность дифференциальных форм (116.1) означает, что Е(а)(Х) СЬ~ = Е( )(Х ) 11Хо, (116. 7) причем е в обеих частях равенства одни и те же функции (а) соответственно от старых и новых координат. Умножив это равенство на ед (х'), заменив Г(х1л = (дх1л/дх ) и сравнив коэф(а) фИЦИЕНтЫ ПРИ ОДИНаКОВЫХ ДИффЕРЕНЦИаЛаХ Г(Хо, ПОЛУЧИМ д м = е (х')е( )(х). (116.8) Эти равенства представляют собой систему дифференциальных уравнений, определяющих функции х'Р(х) по заданным реперным векторам') .

Для того чтобы быть интегрируемыми, уравнения (116.8) должны тождественно удовлетворять условиям д~х'в д~х'в дх"дх' дхтдх ) Для преобразований вида х'в = хв + бв, где бв — малые величины, из (116.8) получаются уравнения д в де'1, дб (116.8а) дх. '" дх ' Три линейно-независимых решения этих уравнений б (Ь = 1,2,3) опре- деляют бесконечно малые преобразования группы движений пространства. Векторы б называют векторами Киллинга (ср. примеч. на с. 366). 511 1 ые ОДНОРОДНЫЕ ПРОН'ГРАНОТВА Вычислив производные, получим б [ Х) 66 б [ !)1 (Ь)[ ) (а)[ ) де~ [х'), дебрь [х') н [де~,'~[х) де~ ~[х)1 =е [х) дх" дхх Умножив обе части равенства на еа) ) [х)ез~, [х)е~д [х') и перенеся дифференцирования с одних множителей на другие с учетом [116.4), получим в левой части: у), Гдеы~ [х') б, део~ [х') б, 1 е, [х) [ „е~,)[х ) — м е~б)[х )~ = ( -"- "/~,™, =С . дхЕ дх / (а) (Ь) аЬ' [116.9) Постоянные С',ь называются структурными константами группы.

Умножив на е1 ), можно переписать [116.9) в виде [116.10) Это и есть искомые условия однородности пространства. Выражение в левой части равенства 1116.9) совпадает с определением величин Л',ь [98.10), которые, таким образом, оказываются постоянными. По своему определению структурные константы антисимметричны по нижним индексам: СаЬ= — СМ. [116.11) Еще одно условие для них можно получить, заметив, что равен- ство [116.10) эквивалентно правилу коммутации [Х, ХЬ):— Х ХЬ вЂ” ХЬХЕ = С',ЬХ, [116.12) а в правой такое же выражение как функцию от х. Поскольку х и х' произвольны, то эти выражения должны сводиться к постоянным: 512 Релятивистская кОсмОлОГия ГЛ.

Х1Р для линейных дифференциальных операторов ') а д Х =е1) (116.13) Тогда упомянутое соотношение возникнет из тождества [[Ха1 Хь!Хс) + [[Х61 Хс)Ха) [[Хс~ Хс) ХЬ) = О (так называемое тождество Якоби) и имеет вид С сьС сУ+С ЬсС аУ+С саС 61 =О. Н У 11 У 11 (116.14) Определенное преимущество перед трехиндексовыми константами С' ь представляют двухиндексовые величины, получающиеся путем дуального преобразования с Ыс С аЬ = еаьсС (116.15) где е ьс = е ' единичный антисимметричный символ (причем е122 = +1). Правила коммутации (116.12) с помощью таких констант запишутся в виде ес ХХ,=Се Х~.

(116.16) Свойство (116.11) уже учтено в определении (116.15), а свойст- во (116.14) примет вид еьслС С' = О. (116.17) Укажем также, что определение [116.9) для величин С'ь можно представить в векторном виде Саь = — 1е1а) го1 е16) (116.18) где снова векторные операции производятся так, как если бы координаты х были декартовыми. Выбор трех реперных векторов в дифференциальных формах (116.1) (а с ними и операторов Х ), разумеется, не однозначен. Они могут быть подвергнуты любому линейному преобра- 1) В математической теории так называемых непрерывных групп (или групп Ли) операторы, удовлетворяющие условиям вида (116.12), называют генерагпорами группы.

Во избежание недоразумений при сравнении с другими изложениями отметим, однако, что систематическая теория непрерывных групп строится обычно, исходя из генераторов, определенных по векторам Киллинга1 Х, = б~,~д/дя . 513 з ые ОДНОРОДНЫЕ НРОО'ГРАНОТНА зованию с постоянными коэффициентами; е(а) "1ае(ь) ь [116. 19) По отношению к таким преобразованиям величины и ь и С'ь ведут себя как тензоры. Условия [116.17) единственные, которым должны удовлетворять структурные константы Саь. Но среди допускаемых этими условиями наборов констант есть эквивалентные в том смысле, что различие связано лишь с преобразованиями [116.19).

Вопрос о классификации однородных пространств сводится к определению всех неэквивалентных наборов структурных констант. Это можно сделать, воспользовавшись «тензорными» свойствами величин С Ь, следующим простым способом [С. С. Ве)ьг, 1962). Несимметричный «тензор» С Ь можно разложить на симметричную и антисимметричную части.

Первую обозначим через иаь, а вторую выразим через дуальный ей «вектор» а,: СаЬ иаЬ, еаьса а,. [116. 20) Подстановка этого выражения в [116.17) приводит к условию и' аь = О. [116.21) [Хп Хг) = — аХг + пзХз [Хг Хз) = пьХп [116.22) [Хз, Хг) = пгХг + аХз. После этого остается еще свобода в изменении знака операторов Ха и в произвольных их масштабных преобразованиях [умножению на постоянные). Это позволяет одновременно изменить знак всех пм пг, пз, а также сделать величину а положительной [если она отлична от нуля). Можно также обратить все структурные константы в х1, если по крайней мере одна из величин а, пг, из равна нулю.

Если же все эти три величины Преобразованиями [116.19) симметричный «тензор» паь может быть приведен к диагональному виду; пусть пы иг, пз— его главные значения. Равенство [116.21) показывает, что «векторэ аь [если он существует) лежит в одном из главных наПраВЛЕНИй «тЕНЗОра» Паь,— В тОМ, КОтОрОЕ ОтВЕЧаЕт НуЛЕВОМу главному значению. Не уменьшая общности, можно поэтому положить аь = [а,О,О). Тогда [116.21) сводится к ап1 = О, т.е. одна из величин а или п1 должна быть нулем.

Правила же коммутации [116.16) примут вид 514 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. ХГУ отличны от нуля, то маспггабные преобразования оставляют инвариантным отношение а (пзпз ') . Таким образом, мы приходим к следующему перечислению возможных типов однородных пространств; в первом столбце схемы римской цифрой указан номер, которым принято обозначать типы по классификации Бианки (ь. Вгппсйг, 1918) '): Тип 1 — евклидово пространство; все компоненты пространственного тензора кривизны (см, ниже формулу (116.24)) обращаются в нуль. Помимо тривиального случая галилеевой метрики, сюда относится зависящая от времени метрика, которая будет рассмотрена в следующем параграфе. Тип 1Х содержит в себе как частный случай пространство постоянной положительной кривизны.

Оно получается, если в элементе длины (116.2) положить г) ь = б,ь/4Л, где Л вЂ” положительная постоянная. Действительно, вычисление по (116.24) с С11 = С22 = СЗЗ = 1 (структурные константы типа 1Х) дает Р)аиь) = (1/2)баб и затем Рая = Р<а)<д)е еч = 2Л"1ал~ <,) <ь) что как раз и соответствует указанному пространству (ср.

(111.3)). ') Строго говоря, для соблюдения «тензорныхь свойств С ~ надо было бы ввести в определение (116.16) множитель 11н (ср. сказанное в 883 о том, как должен быть определен антисимметричный единичный тензор по отношению к произвольным преобразованиям координат).