II.-Теория-поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 91

Если мы имеем возмущение в участке пространства с размерами 1, то в его разложение войдут в основном волны с длинами Л = = 2яа(п 1. Ограничиваясь возмущениями в областях с размерами 1 « а, мы тем самым предполагаем число п достаточно большим (и )> 2я). Гравитационные возмущения можно разделить на три типа. Эта классификация сводится к определению возможных типов 504 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ.

ХГУ плоских волн, в виде которых может быть представлен симметричный тензор боя. Таким образом, получим следующую классификацию: 1. С помощью скалярной функции ГГ1 е1пг (115.9) можно составить вектор Р = пЯ и тензоры') ЯД = — д'~Я, Р~ = (-бг —, )Я. (115.10) ОО ВЕ1ВГ (115.11) вп = О, можно составить тензор (пРБ + и БР) соответствующего же скаляра не существует, поскольку пВ = О. Этим волнам отвечают возмущения, в которых наряду с гравитационным полем испытывает изменение скорость, но не плотность материи; их можно назвать вращательными возмущениями. З.Поперечная тензорная волна С"~ = д "~е'"', ~~пэ = О. (115.12) С ее помощью нельзя составить ни вектора, ни скаляра.

Этим волнам отвечают возмущения гравитационного поля, при которых материя остается неподвижной и однородно распределенной в пространстве. Другими словами, это гравитационные волны в изотропном мире. Наиболее интересны возмущения первого типа. Полагаем Ь~ = Л111)РО + д111)Я~~~, 6 = дЯ. (115.13) Из (115.7) получим для относительного изменения плотности (115.14) ) Мы пишем верхние и нижние индексы у компоненг обычного декартового вектора п лишь для сохранения единообразия обозначений.

Таким плоским волнам отвечают возмущения, в которых наряду с гравитационным полем испытывают изменения также скорость и плотность материи, т. е. Мы имеем дело с возмущениями, сопровождающимися возникновением сгущений или разрежений материи. Возмущение Ьо выражается при этом через тензоры сь'о и Р, возмущение скорости через вектор Р, а возмущение плот- Р ности — через скаляр ьг'.

2. С помощью поперечной векторной волны 115 ГРАВИТАЦИОННАЯ РОТОЙ 1ИВООТЬ ИВОТРОННОГО МИРА 505 Уравнения, определяющие функции Л и 11, получаются подстановкой (115.13) в (115.6): Л" + 2 — Л" — — (Л+ д) = О, а 3 (115. 15) да+ р' — (2+ 3 ~) + — (Л+ 11)(1+ 3 р) = О. Эти уравнения имеют прежде всего следующие два частных интеграла, соответствующие тем фиктивным изменениям мет- рики, которые могут быть исключены преобразованием системы отсчета: (115.16) (115.17) Л = — 11 = сопв5, 2 1Ф и 2 1Ф За л=- р=п а / а а (первый из них получается из (115.8) выбором Д = О, 1а аа Р„, втоРой выбоРом Д = Я, уа аа 0). На ранних стадиях расширения мира, когда материя описывается уравнением состояния р = е/3, имеем а — а171, 71 « 1 (как в открытой, так и в закрытой моделях).

Уравнения (115.15) принимают вид 2 з зп' Ли+ — Л' — — (Л+д) = О, ри+ — 11'+ — (Л+11) = О. (115.18) и 3 Ч 3 Исследование этих уравнений удобно производить раздельно для двух предельных случаев в зависимости от взаимного соотноупения между двумя болыпими величинами п и 1/О. Предположим сначала, что число п не слишком велико (или и достаточно мало), так что п71 « 1. С той точностью, с которой справедливы уравнения (115.18), находим из них в данном случае: 2п~ П 2) Д = — — С11+ Сф — — 1'), з 6 зс, (1 и' 2) 17 Л.Д. Ландау и В.М.

Лифшиц. Том П где С1, С2 — - постоянные; отсюда исключены решения вида (115.16) и (115.17) (в данном случае это--решение, в котором Л = — 11 = сопз$ и в котором Л+11 1/71~). Вычислив также 55/е, согласно (115.14) и (112.15), получим следующие выражения для возмущений метрики и плотности: зс, (115.19) — = — (С171+С2112)Я при р = —, 11 « —. И 9 3 и 506 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ.

ХГУ Постоянные С1, С2 должны удовлетворять определенным условиям, выражающим малость возмущения в момент Г)9 его возникновения: должно быть Ь « 1 (откуда Л « 1, )1 « 1) Ф и бе/е « 1. В применении к (115.19) эти условия приводят к неравенствам С1 « Г)е, С2 « 1. В выражениях (115.19) имеются члены, возрастающие в расширяющемся мире как различные степени радиуса а = а11).

Однако это возрастание не приводит к тому, чтобы возмущение могло стать большим: если применить формулы (115.19) по порядку величины при Г) 11'и, то мы увидим, что 1в силу полученных вы1пе неравенств для С1, С2) возмущения остаются малыми даже на верхнем пределе действия этих формул. Пусть теперь число п настолько велико, что пт)» 1. Решая уравнения 1115.18) при этом условии, найдем, что главные члены в Л и )А равны'): Л = — — = сопэ$ —,е'""1 ~ 1 2 в~ Отсюда находим для возмущений метрики и плотности: ЕЕ С~,юч,1 8 е 9 (115.20) где С комплексная постоянная, удовлетворяющая условию ~С~ << 1. Наличие периодического множителя в этих выражениях вполне естественно. При больших п мы имеем дело с возмущением, пространственная периодичность которого определяется болыпим волновым вектором 1с = п(а.

Такие возмущения должны распространяться как звуковые волны со скоростью 11р с 11(е/с') ъ'3 Соответственно временная часть фазы определяется, как полагается в геометрической акустике, болыпим интегралом )')си 111 = пу)у 48. Амплитуда относительного изменения плот- ) Предзкспоненциальный множитель 111Ч~ первый член разложения по степеням 1(пж Для его определения в данном случае надо рассматривать одновременно два первых члена разложения (что допускается точностью уравнений (118.18)). 115 ГРАВитАЦиОннАЯ Ротой 1иВООть изОтРОпнОГО миРА 507 Лл+ 4Л' — — (Л+)А) = О, 1тл+ ~17'+ —,(Л+1А) = О.

3 ч 3 Решение этих уравнений: Л+1А = 2С1, Л вЂ” 1А = 2п~( +, ). Вычислив также 55/е (с помощью (115.14) и (112.12)), находим 2 гС, д) 2Н~С7 ( (1л) р и«-, 1 Я~~) при — (( 7) (( 1, 1 (115.21) НР = С1(Рд бе /Сгнило~ Сзп з / Мы видим, что ое/е содержит член, возрастающий пропорпионально а') . Однако если п7) « 1, то бе/е не становится все же большим даже при 7) 1,1п в силу условия С1 « 1. Если же 7)п » » 1, то при 7) 1 относительное изменение плотности становится порядка С1н, между тем как малость начального возмущения 2 ') Легко цроверитгч что (при р = е73) пп Ь/Л, где Ь п,7174я/с~, Естественно, что характерная длина ь, определяющая поведение возмущений с длиной волны Л (( а, составляется лишь из «гидродинамических» величин — плотности материи Е/с и скорости звука в ней и (н гравитационной постоянной к). Отметим, что возрастание возмущений имеет место при Л» » б (В (115.19)).

~) Более тщательный анализ с учетом малого давления р(Е) показывает, что возможность пренебрежения давлением требует соблюдения условия ивп!с «1 (где и = сТЯр73я малая скорость звука); легко проверить, что и в атом случае оно совпадает с условием Л » Ь. Таким образом, возрастание возмущений всегда имеет место, .если Л» Ь. 77ь ности остается, как мы видим, постоянной, амплитуды же возмущений метрики при расширении мира убывают как а 2 ') .

Далее, рассмотрим более поздние стадии расширения, когда материя разрежена уже настолько, что можно пренебречь ее давлением (р = 0). При этом мы ограничимся здесь лишь случаем малых 7), соответствующих тем стадиям расширения, когда радиус а еще очень мал по сравнению с его современным значением, но все же материя уже достаточно разрежена. При р = 0 и 7) « 1 имеем а — аог)2/2 и уравнения (115.15) принимают вид 508 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. Х!У требует лишь, чтобы было С~пэ11оз << 1.

Таким образом, хотя возрастание возмущений происходит и медленно, но общее увеличение может быть значительным и в результате возмущение может стать сравнительно большим. Аналогичным образом могут быть рассмотрены возмущения второго и третьего из перечисленных выше типов. Однако законы затухания этих возмущений могут быть найдены и без детальных вычислений, исходя из следующих простых соображений. Если в небольшом участке вещества (с линейными размерами 1) имеется вращательное возмущение со скоростью дп, то момент импульса этого участка (е/с )1а 1 и.

При расширении мира 1 растет пропорционально а, а е убывает как а' ~ (в случае р = О) или как а 4 (при р = е/3). В силу сохранения момента имеем поэтому бс = сопз1 при р = —, би САΠ— при р = О. (115.22) Е 1 з' а Наконец, плотность энергии гравитационных волн должна убывать при расширении мира как а, 4. С другой стороны, эта плотность выражается через возмущение метрики как Й (Й„), где к' = п(а -волновой вектор возмущения.

Отсюда следует, что амплитуда возмущения типа гравитационной волны убывает со временем как 1/а. 'й' 116. Однородные пространства Предположение об однородности и изотропии пространства определяет его метрику полностью (оставляя свободным лишь знак кривизны).

Значительно больше свободы оставляет предположение об одной только однородности пространства, без какой-либо еще дополнительной симметрии. Рассмотрим вопрос о том, каковы могут быть метрические свойства однородного пространства. Речь будет идти о метрике пространства, рассматриваемой в заданный момент времени ~. При этом предполагается, что пространственно-временная система отсчета выбрана синхронной, так что 1 есть единое для всего пространства синхронизованное время.