II.-Теория-поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 90

11лотность потока световой энергии в точке наблюдения обратно пропорциональна поверхности сферы, проведенной через рассматриваемую точку с центром в точке нахождения источника; в пространстве отрицательной кривизны площадЬ поверхности сферы равна 44га~ еЬ~ т. Свет, испущенный источником в течение времени М = а(41 — ~)441/с, будет приходить в точку наблюдения в течение времени а(41) 4441а(41 — ~) = а(41) 41ц1с. Поскольку интенсивность определяется как поток световой энергии в единицу времени, то, следовательно, в 1 появится множитель а(41 — 1С),1а(41).

Наконец, энергия волнового пакета пропорциональна частоте (см. (53.9)); поскольку частота меняется при распространении света по закону (114.5), то это приведет к появлению в 1 еще одного множителя а(41 — Х)/а(41). В результате окончательно получаем интенсивность в виде 1 соне~ 4 (114. 18) а~(ч)еь~ х Для закрытой модели получилось бы аналогично: г 1 — сопьй (114. 19) а4(ч)41н4 Этими формулами устанавливается зависимость видимой яркости наблюдаемого объекта от его расстояния (при заданной абсолютной яркости). При малых т можно положить а(41 — 1~) — а(41), и тогда 1 1/а2(41)~з = 1/1з, т.е.

обычный закон уменьшения интенсивности обратно пропорционально квадрату расстояния. Наконец, рассмотрим вопрос о так называемых собственных движениях тел. Говоря о плотности и движении материи, мы везде подразумевали усредненную плотность и усредненное движение; в частности, в той системе отсчета, которой мы все время пользуемся, скорость усредненного движения равна нулю.

Истинные же скорости тел обнаруживают некоторый разброс вокруг своего среднего значения. С течением времени скорости собственного движения тел меняются. Для определения закона этого изменения рассмотрим свободно движущееся тело и выберем начало координат в какой-либо точке его траектории. Тогда траекторией будет являться радиальная линия д = сопе1, р = сопе1.

Уравнение Гамильтона — Якоби (87.б) после подстановки значений д'" примет вид ( — ) — ( — ) + т с а (41) = О. (114.20) 500 Релятивистская кОсмОлОГия ГЛ. ХГ« Поскольку в коэффициенты этого уравнения Х не входит (т. е. координата Х циклична), то имеет место закон сохранения до/д,"~ — — сопвФ.

Импульс же р движущегося тела равен, по общему определению, р = дЯ/д1 = дЯ/адХ. Таким образом, при движении тела остается постоянным произведение ра = сопв1 . (114.21) Вводя скорость е собственного движения тела согласно р= 'à — '1« ' получим (114.22) ,Г- *7« Р» " " " Р" временем. По мере возрастания а скорости О монотонно падают. Задачи 1. Найти первые два члена разложения видимой яркости галактики как функции ее красного смещения; абсолютная яркость галактики меняется со временем по зкспоненцизльному закону 1,«, = сопзс е««(Н.

Небе«С«оа, 19бб). Р е ш е н и е. Зависимость видимой яркости туманности, наблюдаемой в «момент» «ь от расстояния Х дается (для закрытой модели) формулой „„„,.м,— >- мл '(и — х) а (п)яп Х Красное смещение, определенное согласно (114.7), ««а — ы а(п) — а( 1 х) ы а(п — х) разлагая 1 и х по степеням Х (с функциями а( 1) и 1( 1) из (Н2 9)~ (112 К0 н исключая затем Х из получающихся выражений, находим в результате: 1 = сопзс — '(1 — (1 — — + — ) х), 2 Н где введено обозначение 9 = 2 д = — ) 1. 1+ сов«1 д» Для открытой модели получается такая же формула с 9= 2 = — < 1.

1+ СЬЛ д» 2. Найти первые члены разложения числа галактик, находящихся внутри «сферы» заданного радиуса, как функции от красного смещения на границе сферы (пространственное распределение галактик предполагается однородным) . Р е ш е н и е. Число 1»1 галактик, находящихся на «расстоянии» < х, есть (в закрытой модели) 1»1 = сопзс яп Х«1Х сопвс Х .

1.»з с 115 ГРАВитАЦиОннАЯ 1ОтОЙ 1иВООГь изОтРОпнОГО миРА 501 Подставляя сюда первые два члена разложения функции Х(з), получим Х = сопв1 в ~1 — -(2 -> 4)в]. зг 3 4 В таком виде эта формула справедлива и для открытой модели. 3 115. Гравитационная устойчивость изотропного мира Рассмотрим вопрос о поведении малых возмущений в изотропной модели, т.е. о ее гравитационной устойчивости (Е. М. Дифигиц, 1945). При этом мы ограничимся рассмотрением возмущений в сравнительно небольших областях пространства —- областях, линейные размеры которых малы по сравнению с радиусом а') . В каждой такой области пространственная метрика может быть принята в первом приближении евклидовой, т.е.

метрика (111.8) или (111.12) заменится метрикой Й( = а (Г))(Йх + Йу + ЙВ ), (115.1) где х, у, з — декартовы координаты, измеренные в единицах радиуса а. В качестве временной координаты будем по-прежнему пользоваться переменной Г). Вез ограничения общности, будем описывать возмущенное поле по-прежнему в синхронной системе отсчета, т.е.

наложим на изменения дягь метрического тензора условия 5500=550 =О. Варьируя при этих условиях тождество 51ЬН'и~ = 1 (и имея в виду, что невозмущенные значения компонент 4-скорости материи ио = 1/а, ио = О') ), получим 500иобпо = О, откуда Ы' = О.

Возмущения же био, вообще говоря, отличны от нуля, так что система отсчета — уже не сопутствующая. Возмущения пространственного метрического тензора обоз- НаЧИМ ПОСрЕдСтВОМ Иод = 5 уод = — био,~. ТОГда буоц = — )Гор, причем поднимание индексов у Ь я осуществляется с помощью невозмущенной метрики у я. В линейном приближении малые возмущения гравитационного поля удовлетворяют уравнениям (115.2) с 1 ) Более подробное изложение вопроса, в том числе исследование возмущений в областях сравнимых с а размеров — см. Е.

М. ЛийнниЧО УФН. 1963. Т. 80. С. 411: АсЬ. 1п РЬуз. 1963. У. 12. Р. 208. г ) Невозмущенные значения величин мы будем обозначать в этом параграфе буквами без дополнительного индекса (О). 502 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ.

Х1Ч 6ТОЛ = — 6Одбр, бТо = а(р+ е)би, бТ~~ — — бе. (115.3) Ввиду малости бе и бр можно написать бр = — бе, и мы получаем Ыр ИЕ соотношения 6ТР = бл ~ 6Тоо (115.4) Формулы для 6Вь можно получить варьированием выражений (97.10). Поскольку невозмущенный метрический тензор у,„д = а б„д, то невозмущенные значения 2 где точка означает дифференцирование по с~, а штрих по 11. Возмущения же величин ми,~ и и = м 7'1' где Ь~О = 7Р'1Ь . Невозмущенные значения трехмерного тензора Р для евклидовой метрики (115.1) равны нулю. Вариации же 6Р„вычисляются по формулам (108.3), (108.4); очевидно, Р что 6РО выражается через 67 д так же, как 4-тензор 6Л,ь выражается через 681ни причем все тензорные операции производятся в трехмерном пространстве с метрикой (115.1); ввиду евклидовости этой метрики все ковариантные дифференцирования сводятся к простым дифференцированиям по координатам т (контравариантные же дифференцирования еще и к делению на а ).

Имея все это в виду (и переходя везде от производных по 1 к производным 1ю 11), получим после простого вычисления: бВ~ = — —,(Ь~'~~ + Ь~Д'~ — Ь~'~~ — Ь'Р) — —,ЬР— —,Ь~ — —,Ь'бл, 2а 2Л~ бтго = — (Ь' — " ' ) О=2И ' Д' (115.5) (Ь = Ь ). Здесь как нижние, так и верхние индексы после запятой означают простые дифференцирования по координатам х (мы продолжаем писать индексы вверху и внизу лишь для сохранения единообразия обозначений).

В синхронной системе отсчета вариации компонент тензора энергии-импульса (94.9) равны 115 ГРАВитАЦиОннАЯ Ротой 1НВООть изОтРОпнОГО миРА 503 Окончательные уравнения для возмущения 6н мы получим, 5 подставив в 1115.4) компоненты 5Т;", выраженные через БГГ5 согласно 1115.2). В качестве этих уравнений удобно выбрать уравнения, получающиеся из 1115.4) при ГГ ф 13 и при упрощении по индексам ГГ, ~3. Они гласят; (Е„'Р + 6Р'Т вЂ” 6'Є— 6Р''") + 6Р„+ 2 — 6Р = О, ГГ ф 13, 1115.6) -16 '~~ — 6' ~)(1+ 3 ~) + 6" + 6' — (2+ 3 ~) = О. Возмущения плотности и скорости материи могут быть определены по жвестным 6 с помощью формул 1115.2), 1115.3). Так, для относительного изменения плотности имеем (бйд~ дЛ) г (6~~ I + 6~) ( 1 1 5 7) Среди решений уравнений 1115.6) есть такие, которые могут быть исключены простым преобразованием системы отсчета (не нарушающим ее синхронности) и поэтому не представляют собой реального физического изменения метрики.

Вид таких решений может быть заранее установлен с помощью полученных в задаче 3 597 формул 11) и 12). Подставив в них невозмущенные значения у д = а б,„н, получим следующие выражения для фик- 2 тивных возмущений метрики: 6р = уо'Д 1Ь+ Ы~а+ Ц ' + 1д ), (1 .8) ,/ а а где Д, 1 — произвольные 1малые) функции координат х, у, ю Поскольку метрика в рассматриваемых нами небольших областях пространства предполагается евклидовой, то произвольное возмущение в каждой такой области может быть разложено по плоским волнам. Понимая под х, у, В декартовы координаты, измеренные в единицах а, мы можем написать пространственный периодический множитель плоских волн в виде е'"', где и— безразмерный вектор, представляющий собой волновой вектор, измеренный в единицах 1/а 1волновой вектор 1Г = и/а).