II.-Теория-поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 88

В координатах г, В, 4Р, г материя не неподвижна, и ее распределение не однородно; при этом распределение и движение материи оказываются центрально-симмегричными вокруг произвольной точки пространства,выбранной в качестве начала координат г, В, у. 3 г )га~ = ао. (113.7) 4хь Формулы (113.6) определяют в параметрическом виде зависимость а(г). В отличие от замкнутой модели, здесь радиус кривизны меняется монотонно, возрастая от нуля при 1 = 0 (4) = 0) до бесконечности при 1 — 'г ОО (4) — ~ ОО).

Плотность же материи, соответственно, монотонно убывает от бесконечного значения при 1 = 0 (при г) «1 закон этого убывания дается той же приближенной формулой (112.12), что и в закрытой модели). Для больших плотностей решение (113.6), (113.7) неприменимо, и надо снова обратиться к случаю р = 6443. При этом снова получается соотношение еа = сопэ1:— (113.8) 8хь ' 490 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. ХГР или при Г) « 1 а = Х1Г2~ц~с~ (113.9) (и прежняя формула (112.15) для е(1)). Таким образом, и в открытой модели метрика имеет особую точку (но в отличие от закрытой модели лишь одну). Наконец, предельным случаем рассмотренных ре1пений, соответствующим бесконечному радиусу кривизны пространства, является модель с плоским (евклидовым) пространством.

Интервал 11В в этой модели можно написать в виде Г)в~ = ~СГ112 — Ь (1)(йх + ду + Г1г ) (113.10) (в качестве пространственных координат выбраны «декартовы» координаты я, д, е). Зависящий от времени множитель в элементе пространственного расстояния не меняет, очевидно, евклидовости пространственной метрики, так как при заданном 1 этот множитель постоянен и простым преобразованием координат может быть приведен к единице. Вычисления, аналогичные произведенным в предыдущем параграфе, приводят к следующим уравнениям: 2 ВХЬ З /ВЬ\ 11Е , е = —, —, 31пЬ = — 1 +сопв1. Р Ь' 1,412) Р+ Е Для случая малых давлений находим )АЬ = сопв1, Ь = сопэ1 .

1~1~. (113.11) При малых 1 опять надо рассматривать случай р = е/3, при котором получаем ЕЬ~ = сопв1, Ь = сопв1 11'1. (113.12) Таким образом, и в этом случае метрика имеет особую точку (1= О). Отметим, что все найденные изотропные решения существуют лишь при отличной от нуля плотности материи; для пустого пространства уравнения Эйнштейна не имеют такого рода решений'). Упомянем также, что в математическом отношении ) Нри е = 0 из уравнения (113.5) мы получили бы а = аееч = с1 (уравнение же (112.7) вообще теряет смысл ввиду мнимости корня). Но метрика 11в~ = с Ж~ — с~с~(11Х~+ ЕЬв Х(11В~+ в!п В111д~)) преобразованием т = с2ЕЬ Х, т = 1сЬ Л приводится к виду Вв~ = с 11т — Вà — Г~(ВВ + в1п ВГ11д~), т. е, нросто к галилееву пространству-времени.

Ь пз ОткРь»ТАя изОТРОпнАя мОдель они являются частным случаем более общего класса решений, содержащего три физически различные произвольные функции пространственных координат (см. задачу). 7 Е =1а В+С Ь В+... где а,„е, Ь,„е функции координат (пространственных) ); ниже полагаем 1 с = 1. Обратный тензор ве 1 «е з 7 = — а где тензор а"Е обратен а Е, а Ь Е = а «аЕ~Ь М ниже все операции поднимания индексов и ковариантного дифференцирования производятся при помощи не зависящей от времени метрики а Е. Вычисляя левые части уравнений (97.11) и (97.12) с необходимой точностью по 1/й получим 3 1 8кй 2 1 Е 32кй — — + — Ь= 'в( — 4ив+1), — (Ь,„— Ь . ) = — ви ив 412 21 3 2 ' 'Е 3 (где Ь = Ь„). Учитывая также тождество 1 1 = и,и' и„— — и и,за 2 Е найдем 12 и = — (Ь, .— Ь~ е) 3 Ь 8кйе = — 2 (2) 412 21 Трехмерные символы Кристоффеля, а с ними и тензор Р е в первом по 1/1 приближении не зависят от времени; при етом Р З совпадают с выражениями, получающимися при вычислении с метрикой просто а Ш Учитывая зто, найдем, что в уравнении (97.13) члены порядка 1 2 взаимно сокращаются, а члены 1/1 дают Ре „3Ье+ 6беь 0 4 12 откуда Ье = — — Рл + — б~~Р 3 18 (3) 1 ) Фридмаиовскому решению отвечает специальный выбор функций а е, соответствующий пространству постоянной кривизны.

Задача Найти общий вид вблизи особой точки для метрики, в которой расширение пространства происходит «квазиоднородным» образом, т. е. так, что все компоненты 7«Е = — Е„Е (в синхронной системе отсчета) стремятся к нулю по одинаковому закону. Пространство заполнено материей с уравнением состоян ия р = в/3 (Е. М. Лифшиц, И.

М. Халатников, 1960). Р е ш е н и е. Ищем решение вблизи особой точки (1 = О) в виде 492 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. ХГЧ 1где Р = ад«Рдт), Ввиду тождества Рд, О 1 (см. (92.10)) имеет место соотношение ь, =~ь, д 9 и потому и можно переписать в виде (4) и,„= — — Ь, 9 Таким образом, все шесть функций а д остаются произвольными, а по ним определяются коэффициенты Ь„д следующего члена разложения (1). Выбор времени в метрике (1) полностью определен условием 1 = 0 в особой точке; пространственные же координаты допускают еще произвольные преобразования, не затрагивающие времени (ими можно воспользоваться, например, для приведения тензора а д к диагональному виду). Поэтому полученное решение содержит всего три «фнзически различные» произвольные функции.

Отметим, что в этом решении пространственная метрика неоднородна н анизотропна, а распределение плотности материи стремится прн 1 -1 0 к однородному. Трехмерная скорость ч имеет (в приближении (4)) равный нулю ротор, а ее величина стремится к нулю по закону 2 д з ч =ч чд«у 5 114. Красное смещение Основной характерной чертой всех рассмотренных решений является нестационарность метрики: радиус кривизны пространства является функцией времени.

Изменение же радиуса кривизны приводит к изменению всех вообще расстояний между телами в пространстве, как это видно уже из того обстоятельства, что элемент пространственного расстояния Й пропорционален а. Так, при увеличении а в таком пространстве тела «разбегаются» друг от друга (в открытой модели увеличению а соответствуют Г) ) О, а в закрытой 0 < т) < и). С точки зрения наблюдателя, находящегося на одном из них, тело будет выглядеть так, как если бы остальные тела двигались в радиальных направлениях, удаляясь от наблюдателя.

Скорость этого «разбегания» (в данный момент 1) сама пропорциональна расстоянию между телами. з 114 КРАСНОЕ СМЕ1ЦЕННЕ Это предсказание теории следует поставить в соответствие с фундаментальным астрономическим фактом — эффектом красного смещения линий в спектрах галактик. Истолковав это смещение как доплеровское, мы приходим к заключению о «разбегании» галактик, т.е.

о том, что в настоящее время Вселенная расширяется ') . Рассмотрим распространение лучей света в изотропном пространстве. Для этого проще всего воспользоваться тем, что вдоль мировой линии распространения светового сигнала интервал да = О. Точку, из которой выходит луч света, выберем в качестве начала координат у, й, со. Из соображений симметрии очевидно, что лучи будут распространяться «радиально», т. е. вдоль линии й = сопа$, ср = сопе1. Полагая соответственно этому в (112.4) или (113.2) Ю = сбсе = О, получим сЬз = аз(й)з — сиз). Приравнивая нулю, находим сЬ) = ~д;б или, интегрируя; у = шг) + сопвб .

(114. 1) Знак плюс перед О соответствует лучу, распространяющемуся по направлению от начала координат, а знак минус лучу, приходящему в начало координат. В таком виде уравнение (114.1) применимо к распространению лучей как в открытой, так и в закрытой моделях. С помощью формул предыдущих параграфов можно выразить отсюда проходимое лучом расстояние как функцию времени.

В открытой модели луч света, вышедший из некоторой точки, по мере своего распространения неограниченно удаляется от нее. В закрытой же модели вышедший из исходной точки луч света в конце концов может дойти до «противоположного полюса» пространства (чему соответствует изменение )с от 0 до и); при дальнейшем распространении луч начнет приближаться к исходной точке. Обходу луча «вокруг пространства» и возвращению в исходную точку соответствовало бы изменение у от 0 до 2х. Из (114.1) мы видим, что при этом и г) должно было бы измениться на 2я, что, однако, невозможно (за исключением одного случая — выхода луча в момент, соответствующий г) = О).