Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика), страница 9

Естественно поэтому начать изучение классической механики с механики одной материальной точки, а затем перейти к изучению системы материальных точек. Выберем какую-либо произвольную систему отсчета и будем относить к ней движение материальной точки. Движение точки будет описано полностью, если будет известно ее положение в любой момент времени относительно выбранной системы отсчета. Положение точки мы условимся характеризовать ее прямоугольными координатами х, у, а, являющимися проекциями ее радиуса-вектора г на координатные оси.

Полное описание движения сводится поэтому к нахождению трех координат х, у, з как функций времени А х = х(г), у = у(г), г = з(г), (2.1) илн к нахождению одной векторной функции (2.2) г = г(г). Однако для формулировки основных законов механики, с помощью которых теоретически могут быть найдены рассматриваемые функции, существенны два новых понятия — понятие скорости и в особенности понятие ускорения. К установлению этих понятий мы н перейдем. й 3. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ.

УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ 1. Рассмотрим сначала частный случай, когда материальная точка движется вдоль прямой линии. Примем эту прямую за координатную ось Х, поместив начало координат О в какой-то произвольной точке ее (рис. 5). Положение материальной точки в рассматриваемом случае определяется одной координатой: х = х(г).

Пусть в какой-то фиксированный момент времени г материальная точка находится в положении Ао В этот момент ее координата равна х, =х(г). В более поздний момент времени г+ Лг матери- й 31 скОРОсть и УскОРение ПРи ПРЯМОлинейнОм движении 35 альная точка переместится в положение Ал с координатой хз = х(Г + ЛГ). За время ЛГ материальная точка проходит путь Лх = хз — х, = х(Г + Лг) — х(г). Путь считается положительным, если перемещение совершается вправо, и отрицательным, Л Лл если оно происходит влево.

Отношение пройденного пути Дх Лх к промежутку времени ЛГ называется средней скоростью материальной точки за время Лг, или, точнее, за время между г и г+ Лг. Таким образом, по определению средняя скорость равна Дх х(Г-~-ДГ1 — лям (3.2) ср л1 Такое определение средней скорости имеет смысл дл» любых значений ЛГ. Надо исключить только значение ЛГ = О, так как в О этом случае для средней скорости мы получили бы выражение —, О' которое само по себе не имеет смысла.

Однако ничто не мешает брать промежуток времени Лг как угодно малым, но отличным от нуля. Вообще говоря, средняя скорость зависит не только от г, но и от ЛГ. Будем теперь, оставляя момент времени Г неизменным, брать промежуток времени Лг все меньше и меньше, устремляя его к нулю. Тогда будет стремиться к нулю и проходимый путь Дх Лх.

Отношение же — прн этом, как показывает опыт, будет стредг миться к вполне определенному пределу, который может зависеть только от г, но уже не будет зависеть от Лг. Этот предел называется истинной или мгновенной скоросгпью мапгериальной точки в момент времени Г: г = 1пп — =!Нп дх .

хп ч-дг! — хпп дг дг дс о дс о (3.3) х ья — ' = 1пп —. сСТ . Дх сГг дг ' дс о (3.4) Понятие производной является основным понятием дифференииального исчисления. Используя это понятие, можно сказать, что истинна» или мгновенная скорость о есть производная ко- Пределы типа (3.3) встречаются в самых разнообразных вопросах математики и ее приложениях. В математике предел, определяемый формулой (З.З), называется производгюй функции х(г) по аргументу г.

Производная во времени обозначается символом х(г) ~~Х или —. Таким ооразом, по определению сгг ' зь )гл. 1 кинемктикл ординаты х по времени, или производная пройденного пути в по времени: о=к вх вз ггг вг' (3.5) Скорость материальной точки, вообще говоря, является функцией времени: о = в1)). Производная скорости по времени называется ускорением згатериальиой точки. Ускорение мы обозначаем через а. Таким образом, по определению ускорения а = — = о(г), ггг (3.6) или а = !пп — = 1нп гто . о(Г -Ргх)) — оео ьг аг аг-о аг о (3.7) Производная 13.6) называется также второй производной координаты х по времени и обозначается символами а = х яв — ', (3.8) вгз ' В существовании первой и второй производных координаты по времени в механике, как и во всех аналогичных вопросах физики, мы убеждаемся не путем логических рассуждений, а опытным путем.

2. Рассмотрим простейшие примеры. П р им е р 1. х = сопя), т. е. координата х остается постоянной во времени. В этом случае материальная точка неподвижна, прираще- ние координаты Лх равно нулю. Равны нулю также средняя и ис- тинная скорости точки: о = х = О. Вообще, производная всякой по- стоянной величины равна нулю. П р и м е р 2. х = В г+ С, где В и С вЂ” постоянные коэффициен- ты. В этом случае говорят, что координата х является линейной функг1ией времени П Очевидно, х+ Лх = В(1+ Ж) + С = (ВГ + С) + В Лг', Лх Лх=ВЛ), о = — '=В. ср Средняя скорость постоянна и равна В. Поэтому истинная скорость также постоянна и равна средней скорости: Ах о= — =е =В.

йг ср в=И. Движение с постоянной скоростью называется равлвмерным. Обозначим через хо значение координаты х в начальный момент времени 1 =О. Величина хо называется начальной координатой и, очевидно, хо= С. Пройденный путь в определяется приращением координаты, в = х — хо = ВГ, или й 31 скОРОсть и УскОРение пРи пРЯмОлинейнОм движении 37 Пример 3. х = Агг+ ВГ+ С, где А, В н С вЂ” постоянные коэффициенты. В этом случае говорят, что координата х является квадратичной функцией врегяени К Очевидно, х + Ах = А(г + Аг)г+ В(г+ Аг) + С = (Агг + Вг + С) + (2Аг + В) Аг + А(Аг) о „= — = (2Аг + В) + А АП Здесь гор зависит не только от С но и от АП В пРеделе, когда Аг- О, член А Аг обрашается в нуль, н мы получаем следующее выражение для истинной скорости: о = 2Аг+ В.

Истинная скорость является линейной функцией времени С а потому, дифференцируя ее, получаем постоянное значение для ускорения: с(о а= — =2А. ег Движение с постоянным ускорением называется равноускоренныэь Постоянная А равна половине ускорения: А= а/2. Выясним теперь физический смысл постоянных В и С.

При Г = О наши формулы дают о = В. Скорость в момент времени Г = О называется начальной скоростью и обозначается через оо. Мы видим, что постоянная В равна начальной скорости:В = о . Аналогично доказывается, что постоянная С есть начальная координата движушейся точки: С = хо. С введением этих величин можно написать + оог+ хо " аг+ ео. 2 Пройденный путь равен х = х — х, т. е. 2 2 + ОП Примерами равноускоренного движения могут служить свободное падение тел и скатывание тела по наклонной плоскости без трения. С возрастанием высоты падения постоянство ускорения нарушается сопротивлением воздуха, а также неоднородностью поля тяготения.

3. По аналогии с линейной скоростью и ускорением вводятся угловая скоросгнь и угловое ускорение. Эти понятия относятся к случаю движения материальной точки по окружности. Положение точки М на окружности можно задать углом и, который образует радиус-вектор О2Рг с каким-либо неизменным направлением ОХ (рис. 6).

Производная этого угла по времени ~й~ аг зв кингмлтикл называется угловой скоростью. Вращение называется равномерным, если угловая скорость со постоянна. В этом случае а = шг+ сопз1. При равномерном вращении величину ш называют также угловой частотой враи1ения. Величина т = ш/2л дает число оборотов в единицу времени и называется частотой обраи1ения.

Величина Т = 1/т есть продолжительность одного обращения и называется периодом вращения, Первая производная угловой скорости со или вторая производная угла а по времени называется угловым ускорением; гно да си, г Рис. б Если з означзет длину дуги окружно- ~Ь ~( г сти ХМ, то ее производные в= — и а = — дают линейную ско- ~й ддгг рость и линейное ускорение при движении точки по окружности. Если г — радиус окружности, то в = га. Дифференцируя это соотношение по времени, находим о= шг, а= сог. й4. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ 1. Понятия скорости и ускорения естественным образом обобщаются на случай движения материальной точки по криволинейт ной траектории. Положе- С ние движущейся точки на М 1 траектории мы будем задаог вать радиусом-вектором г, проведенным в эту точку из какой-либо неподвижной точки О, условно принимает г~ мой за начало координат (рис, 7).

Пусть в момент времени ! материальная точка находится в положении М с радиусом-вектором О г = г(г). Спустя короткое Рис. 7 время гтг она переместится в положение М, с радиусом-вектором г, = г(г + Л/). Радиус-вектор материальной точки получит приращение, определяемое геометрической разностью й 4] СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕИНОМ ДВИ>КЕНИИ 39 <]<г = г, — г. Величина и я < <л<=.с> ср (4.! ) называется средней скоростью движения за время <]«или, точнее, за врез<я л<ежду г и г+ ск Она является величиной векторн<>й, так как получается делением вектора с<г на скаляр <]<К Направление средней скорости чь совпадает с направлением хорды ММ,, т.

е. с <зг. Предел средней скорости при <х< — О, т. е. производная радиуса- вектора г по времени ч=г= — =!Нп— <]г . Уг <]< г« (4.2) называется истинной или мгновенной скоростью гяатериальной точки, Истинная скорость есть вектор, направленный по касательной к траектории движущейся точки. Совершенно аналогично определяется ускорение при криволинейном движении.

Ускорением а называется вектор, равный первой производной вектора скорости ч или в<порой производной радиуса-вектора г по врел<ени: а = ч]<) = — = ]пп —, А<ся (4.3) а ='г(г) = —,. (4.4) 2. Отметим следующую формальную аналогию между ско- ростью и ускорением. Из произвольной неподвижной точки О, бу- дем откладывать вектор скорости ч движущейся точки во всевоз- можные моменты времени (рис. 8).

Конец вектора ч назовем скоростной точ- А кой. Геометрическое место скоростных ч точек есть кривая, называемая годограа Фом скорости. Когда материальная точка описывает траекторию, соответствую- т, щая ей скоростная точка движется по годографу. Рисунок 8 отличается от рис. 7 только обозначениями. Радиус- вектор г заменен на вектор скорости ч, а, материальная точка — на скоростную точку, траектория — на тодограф.