Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика), страница 10

Математические операции над вектором г при нахождении скорости и над вектором ч при нахождении уско- рения совершенно тождественны. Для математики безразлично, какой физический смысл имеют величины, над которыми выпол- Р«с. 3 40 1гл. 1 кинематикл няются математические операции. Не имеет значение также, какими символами этн величины обозначены.

Для нахождения скорости ч надо дифференцировать радиус-вектор г, для нахождения ускорения надо дифференцировать вектор скорости и. Скорость ч направлена по касательной к траектории. Поэтому ускорение а будет направлено по касательной к годографу скорости. Можно сказать, что ускорение есть скорость движения скоростной точки по годограФут Следовательно, все соотношения и теоремь<, полученные для скорости, остаются справедливыми и для ускорения, если в ник произвести замену величины и тер <иное согласно следуюи1ей таблице: — » Скоростная точка Вектор скорости -» Годограф -» ускорение Материальная точка Радиус-вектор Траектория Скорость 3.

В качестве простейшего примера найдем ускорение точки, равномерно вращающейся по окружности радиуса г (рис. 9а). Скорость ч направлена по касательной к окружности, ее модуль определяется выражением 2ю. о= о»г= —,. (4.5) Годографом будет окружность радиуса и (рис. 9б). Когда материальная точка М вращается по окружности радиуса г, соответствуюшая ей скоростная точка А вращается в том же направлении по окружности радиуса о, описывая эту окружность за то же время Т. Положениям материальной точки на траектории М„Мз, Мз, М4 4<2 6 а А< А» Ая Рис.

9 соответствуют на годографе положения скоростной точки А„Аз, Аз, А4. Ускорение а направлено по касательной к окружности — годогра- й 4] скОРОсть и УскОРение пРи кРивОлинейном дни>кении 41 фу и притом, как видно из рисунка, к центру О траектории вращающейся точки М. По аналогии с формулой (4.5) для модуля ускорения можно написать а= юи= —., (4.6) г Это известная формула для иентростремительного ускорения. Ее можно записать в векторной форме: а = — е>зг. (4.7) Знак минус указывает на то, что направления векторов а и г взаимно противоположны, т. е. ускорение а направлено к центру круговой траектории, по которой вращается материальная точка. Можно также написать для любого положения движущейся точки а= — п, (4.8) У где и — единичный вектор нормали к круговой траектории движущейся точки, направленный к центру О (см.

рис. 9а). Имея в виду дальнейшие обобщения, представим вектор скорости в виде у = сз, где з — единичный вектор касательной к окружности. Первый множитель и есть модуль вектора скорости, второй множитель з указывает направление. При равномерном вращении модуль вектора скорости Р остается неизменным, меняется только направление скорости, т. е. единичный вектор з. Дифференцированию подлеез жит только этот вектор, а потому а = е —. Сравнивая это выражение А' с (4.8), получим Ез Р— = — и.

ег у (4.9) ев 1 — = — п. ее у (4.10) В этом виде формула не содержит никаких кинематических величин. В нее входят только геометрические величины, характеризуюшие окружность. Поэтому она может быть получена чисто геометрически без привлечения кинематических понятий. Она определяет производную единичного вектора касательной з по длине дуги окружг]з / пз1 ности. Взаимная перпендикулярность векторов з и — или — ооъЕ1 ~ Ь] ясняется тем, что длина вектора з постоянна, меняется только направление этого вектора.

Треугольник, составленный из векторов з, з + Ьз и Ьз (рис. 10), — равнобедренный. При стремлении элемента Обозначим через дв длину пути, проходимого материальной точкой за время с]1 при ее вращении по окружности. Эта положительная величина равна с]х = ЫК Поэтому предыдущую формулу можно переписать в виде 42 1гл. 1 кинвчлтикл дуги Лз к нулю стремится к нулю и угол а при его вершине. Поэтому аз направление вектора — в пределе оказывается перпендикулярным к 2)4 вектору з. Отмеченное свойство, разумеется, не является специфическим свойством единичного вектора з.

Производная любого вектора А постоянной длины по любому скалярному аргументу есть вектор, перпендикулярный к вектору А. 4. Формула (4.10) допускает обобщение на случай произвольной гладкой кривой, Обозначим по-прежне+лз му через з единичный вектор касательной к кривой, а через дз — длину элемента дуги этой кривой. Произ- в'в водная — есть вектор, направленный нормально к В4 кривой в сторону ее вогнутости.

Эту производную можно поэтому представить в виде (4.10), рассматривая величину 1/г как коэффициент пропорцио- аз рн, 1о нальности между векторами — и п. Фактическое со- держание этой формулы сводится к тому, что произ- в'Б водная — есть вектор нормальный к кривой. В остальном на нее надо )/4 ) смотреть как на определение двух новых понятии: величины 1/г и единичного вектора и.

Величина 1/г называется кривизной кривой, г — радиусом кривизны, а и — единичным вектором главной нормили к кривой. При этом кривизна 1/г считается существенно положительной, а потому единичный вектор п всегда направлен в сторону вогнутости кривой. Оправданием такой терминологии служит интуитивное представление, что при рассмотрении кривизны малый элемент кривой приближено можно рассматривать как дугу окружности.

Это приближение тем точнее, чем меньше длина дуги Лз. В случае окружности кривизна 1/г постоянна на протяжении всей кривой. В общем случае произвольной гладкой кривой кривизна непрерывно меняется от точки к точке. Непрерывно меняется и направление единичного вектора главной нормали и. Кинематическая формула (4.9) также справедлива для движения вдоль произвольной кривой и притом независимо от того, постоянна величина и или меняется с течением времени. Действительно, формула (4.10) получается нз формулы (4.9) с помощью соотношения )/з = иап Все геометрические кривые разделяются на плоские н кривые двоякой кривизны. Плоской кривой называется кривая, все точки которой лежат в одной плоскости. Примерами плоских кривых являются окружность, эллипс, гипербола, парабола, синусоида и пр.

Кривыми двоякой кривизны называются такие кривые, которые не лежат в одной плоскости. Примером подобной кривой может служить винтовая линия — спираль. Плоскость, в которой лежат касательная и главная нормаль к кривой, называется сонрикасаюаейся алоскостьнь Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, й 4] скОРОсть и УскОРение пРи кРивОлингйнОм Движении 43 или ввиду формулы (4.9) йю гг г а = — з + — и.

в! г (4. 11) Отсюда следует, что вектор ускорения а лежит в плоскости векторов з и и, т. е. в соприкасаюи]ейс>г плоскости; вектор а не имеет составгг>ггои]ей по йинормали к траектории. В общем случае ускорение а направлено под углом к траектории. Первое слагаемое в формуле (4,11) а'Р а,= — з а'г (4.12) есть вектор, направленный по касательной к траектории. Этот вектор называется касательным или тангендиальным ускорением. Второе слагаемое (4.13) есть вектор, направленный вдоль главной нормали в сторону вогнутости траектории. Он называется нормальным ускорением. Таким обра- в которой лежит кривая. К понятию соприкасающейся плоскости приводит следующее интуитивное представление. Произвольную конечную дугу кривой двоякой кривизны, разумеется, нельзя уложить в плоскость. Но чем короче дуга кривой, тем точнее она приближается к элементу плоской кривой, тем с меньшей ошибкой ее можно уложить в плоскости. Такая плоскость приближенно и воспроизводит соприкасающуюся плоскость.

Это интуитивное представление можно превратить в точное определение с помощью предельного перехода. Пусть М (см, рис. 7) — произвольная точка на кривой. Проведем в ней касательную МС и хорду ММО Этими двумя прямыми, вообще говоря, определится некоторая плоскость СММ,, Будем неограниченно приближать точку М, к точке М. Тогда указанная плоскость, вообще говоря, будет стремиться к некоторому определенному предельному положению. Это предельное положение и называется соприкасающейся плоскостью. Перпендикуляр к соприкасающейся плоскости в точке М называется Оггнормалью к кривой.

5. При равномерном вращении точки по окружности ускорение направленно к ее центру, т. е, перпендикулярно к траектории. Ускорение перпендикулярно к траектории и при движении по любой кривой, если только скорость движущейся точки не меняется по модулю, Не так будет, когда меняется также и модуль скорости, Чтобы разобраться в этом вопросе, представим вектор скорости в виде у = ез, Применяя к этому выражению правило дифференцирования произведения, получим а= — „(оз) = —,з+и — „,, г] ~Ь а'в )гл.