Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика), страница 5

Некоторый твердый стержень условно принимается за эталон, а его длина — за единицу длины. При измерении длины тела в каком-либо направлении определяется число, показывающее, сколько раз в этом направлении в теле укладывается выбранный эталон. Это число и называется длиной тела в рассматриваемом направлении, Если оно не целое, то предварительно длину эталона следует разделить на более мелкие части: десятые, сотые и пр. Используя их наряду с самим эталоном, можно представить длину всякого тела в виде десятичной дроби или целого числа с десятичной дробью. 4.

Измерение длины непосредственным прикладыванием эталона или его частей называется нрялыл излерениел. Прямые измерения не всегда возможны. Так, они невозможны при измерении расстояний до удаленных тел, например планет, звезд и других небесных объектов. Они невозможны и при измерении очень малых длин, например таких, с которыми имеет дело физика атома, атомного ядра или элементарных частиц. Во всех этих случаях используют косвенные методы. Правильность таких методов должна контролироваться прямыми методами (разумеется, в тех слу ьаях, когда последние применимы). За пределами же применимости прямых методов остаются одни только косвенные методы.

Здесь прямые измерительные операции, с помощью которых первоначально было введено количественное понятие длины, становятся чисто умозрительными, а косвенные методы фактически играют роль основных принципиальных измерительных операций, которыми раскрывается смысл самих длин или, точнее, тех чисел, которыми длины характеризуются. Примером косвенного метода может служить триангуляция, применяемая для измерения расстояний до удаленных предметов. Прямым методом измеряют длину «базы» АВ (рис. 3), с концов которых делают «засечки» удаленного объекта С, т. е. измеряют углы и и р между базой АВ и прямыми АС' и ВС.

По этим данным искомое расстояние до обьекта С мо- С жет быть найдено геометрическим построением или вычислено по формулам геометрии. Если база АВ настолько велика, что ее длина не может быть найдена прямым измерением, то можно выбрать более короткую базу и затем найти длину базы АВ описанным косвен- а ным методом. Принципиально это ничего не меняет. Более существенно уяснить теоретическую основу метода. В методе предполага- Рие.

3 ется, что сторонами треугольника АВС являются прямые линии, подчиняющиеся аксиолал гегзлетрии Евклида. Но какими материальными объектами реализуются эти стороны? Такими объектами являются световые лучи, приходящие от объекта С к точкам А и В. Следовательно, в основе рассматриваемого способа лежит гипотеза, что световые лучи прямолинейны, т.

е. подчиняются 22 1гл. 1 кингчлтикл тем же аксиомам геометрии Евклида, что н геометрические прямые линии. Но эта гипотеза не очевидна. Доказать или опровергнуть ее можно только опытным путем. При этом имеются в виду световые лучи в вакууме, а не лучи в атмосфере, где они действительно искривляются из-за изменения показателя преломления от точки к точке, Такое искривление лучей может быть учтено н действительно учитывается, когда точность измерений этого требует.

Как можно убедиться в применимости или неприменимости геометрии Евклида к реальному миру в указанном выше смысле? Прямой метод состоит в том, что надо подвергнуть экспериментальной проверке следствия, выводимые из аксиом геометрии Евклида. Одним из таких следствий является, например, теорема, утверждающая, что сумма внутренних углов треугольника равняется 180". Великий немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс (1777 — 1855) измерял в 1821 — 1823 гг.

со всей возможной тщательностью внутренние углы треугольника, образованного тремя удаленными горными вершинами. Длины сторон треугольника были порядка 100 км. Он нашел, что в пределах ошибок измерений не наблюдалось нарушений указанной теоремы. Этот метод не годится в масштабах Солнечной системы и ббльших, так как все измерения производятся с Земли, и мы не можем непосредственно измерить все три внутренних угла треугольника, вершинами которого помимо Земли являются, например, какие-либо две планеты или звезды. Здесь мы судим о применимости геометрии Евклида на основании косвенных данных — по согласованности различных результатов, полученных с использованием такой геометрии.

Так, можно предвычислить движение планет Солнечной системы на много лет вперед н проверить полученные предсказания. Если бы онн не оправдались, то одной из причин могла бы быть неприменимость геометрии Евклида к областям пространства порядка размеров Солнечной системы. Наоборот, согласие с опытом (что на самом деле имеет место) указывает на то, что сомневаться в применимости геометрии Евклида в областях такого размера нет оснований. Не вдаваясь в этот вопрос, ограничимся замечаниями, что, по-вндимому, нет существенных нарушений геометрии Евклида в областях порядка размеров нашей Галактики ( 102' м) и даже Мегпагалаквшки, т. е. части Вселенной, доступной исследованию с помощью современных наиболее мощных оптических и радиотелескопов ( 102ьм).

Точно так же нет оснований ожидать существенных нарушений геометрии Евклида н в субатомных областях размером, скажем, порядка !О гз м. Световые лучи при определении положения удаленных тел выполняют и другую важную функцию. Онн служат теми материальными объектами, с помощью которых конструируется сама система отсчета. Действительно, твердые стержни не могут быть неограниченно длинными, а потому онн не пригодны в качестве координат- ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ 2з ных осей во всем пространстве.

Эту роль берут на себя световые лучи, являющиеся продолжениями в нужных направлениях координатных осей, первоначально реализованных твердыми стержнями. 5. В связи с изложенным целесообразно сделать одно замечание о связи физики с математикой. Математика играет исключительно важную роль в физике. Без нее современная физика немыслима. Однако необходимо правильно представлять себе истинную роль математики в физике, и к этому вопросу мы еще будем неоднократно возвращаться, Чистая математика имеет дело с абстрактными объектами и понятиями, подчиняющимися определенной системе аксиом. Единственное требование, предъявляемое в чистой математике к ее понятиям и аксиомам, сводится к их логической непротиворечивости.

Все свои результаты чистая математика получает из этих аксиом путем логических рассуждений, основанных на правилах формальной логики. Содержание этих результатов, очевидно, не может выйти за пределы логической связи между различными обьектами и понятиями чистой математики. В этом смысле чистая математика является логически замкнутой дисциплиной. Такая замкнутость и логическая согласованность придают чистой математике эстетическую привлекательность и доставляют чувство глубокого удовлетворения всякому уму, воспитанному в духе математической строгости. Надо, однако, заметить, что строго замкнутая сама в себе математика оторвана от реальной действительности и не может быть использована в других науках и практической деятельности человека. Чтобы математика стала мощным средством при описании и изучении явлений природы, каким она в действительности является, необходимо установить связи между абстрактными математическими объектами и понятиями, с одной стороны,и реальными объектами и явлениями природы — с другой.

Математические понятия и объекты должны появляться не как чисто логические категории, а как абстракции каких-то реальных объектов или проиесеов природы. Так, точка является абстракцией физического тела достаточно малых размеров, прямая линия — абстракцией достаточно тонкого прямого твердого стержня или светового пучка в однородной среде. Вопрос о справедливости математики сводится к справедливости ее аксиом. Справедливость же самих аксиом может быть установлена опытным и только опытным путем. Правда, опыт с математическими объектами нельзя осуществить в чистом виде, поскольку эти объекты являются идеализациями и не встречаются в природе. Всякий опьгт выполняется с реальными телами. Математическую строгость, которой, и не без оснований, так гордятся математики, надо понимать в смысле логической согласованности ее выводов, но не в смысле обоснования математических аксиом.

Одной математической строгости недостаточно для физики, как и для всякой другой опытной науки, имеющей дело с реальными объектами и явлениями природы. Всякое теоретическое исследование, дихе выполненное математически строго, никогда не мо- 24 кингчлтикл жет считаться и <ризически строгим. Во-первых, такие исследования всегда основываются на определенных законах, справедливость которых в конце концов доказывается опытным путем, а опыты и физические измерения неизбежно сопровождаются погрешностями, т. е.

выполняются с ограниченной точностью. Вне пределов этой точности физический закон может оказаться неверным. Вовторых, всякий реальный физический объект характеризуется бесконечным разнообразием свойств. Учесть все эти свойства невозможно не только потому, что большинство из них нам просто неизвестно, но и потому, что это практически неосуществимо.

При построении теории физика,заменяет реальные объекты их идеализированнь<ми моделями, приблизительно правильно передан>щими не все свойства реальнь<х объектов, а только те из них, которые существенны в рассматриваемом круге вопросоа Какие свойства реальных объектов существенны, а какие не игрив>т заметной роли — на зтоп> вопрос в конце концов может ответить только опыт, которому принадлехгит решающее слово в вопросе о правильности всякой физической теории и пределах ее применимости.

Если физический закон применен вне области, где он справедлив, а идеализированная модель правильно передает не все свойства реальных объектов, существенные для рассматриваемого круга явлений, то возникающие вследствие этого пороки теории, понятно, не могут быть исправлены никакой строгостью математических рассуждений и расчетов. Последнее замечание имеет и практическую ценность. Конечно, после того как идеализированная модель построена, не будет ошибкой производить все дальнейшие расчеты математически абсолютно точно, хотя бы при этом и использовались физические законы, верные только приближенно. Однако сплошь и рядом такие расчеты очень громоздки и даже практически неосуществимы из-за их сложности.

Между тем точность уже обесценена неточностью физических законов и несовершенствами идеализированной модели, положенной в основу расчета. Можно и нужно перейти к приближенным расчетам. Такие расчеты столь же хороши, что и <точные>ч если их погрешности не превосходят погрешностей, обусловленных неточностью применяемых физических законов и несовершенствами идеализированных моделей.