Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 13-е издание (Б.П. Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу - 1997 - 13-е издание), страница 71

г . 9(г'+уз1. 3469. г= — + н +ФЬ вЂ” Ю. 3461. = Ф( — ). 3462. — + — = зь ° нун дг дг ди до дг дг дг 1 дг г 3463. — = †. 34М. — ~ †. 3496. — — Х ди до до 2 до о Х вЂ” . 3461. 42н + о — г1 — + си+За — г7 — = и+о-и га+ н дг дг Р— и дн до ( —,.)'( )' из+ Р дф дз1 ди дг г — г д д и 3469. — =О. 3479. — = —. М71. — +— дф ду у ду до о гн-Зги+из~( — ) +( — ) ) М72.,4 3473. — + + — + — +За+(гб+ ен+ еб) О.

М74. — О. ди ди дв дп д~ до 3476. — О. 3476. — О. М77. из( — ) +Р( — ~ дв дВ~ ди до ди до 1- — соРи дв (- ) ди до дв ди ~ — ! ° д дв дв фб ди 3466. 3461. и*= —, Мбй. в-г —" ° Мбб. в=*( — )'+ ! ( — "))е д'и 1 ди 1 д'и дзи ММ. внн — + — — + — ° Мбб. внаР— э дг г а Р дб' ' ' а отпиты 591 Уи 1 Р ди до ди до Ъ 3496. в= —.

3461. (= — ( — — —— дзР й ~ дй др д0 дг Р 3436. и = 9 (л — аг) + 9 (х+ аг), где 0 н йр — пронззольные дйг дг дйг дйг функннн. 3439. 3 — + — О. 3490. — + — = О. ди до ди дий дой г Уг де~ Уг Р дйг дгъ 349!. а ~ — — — Р!+24 — +с~ — — — ~ О. дий ди г диде 'ь дйР до 3 д".г дйг дйг дйг 3492. — + — = О. 3493. — + — + одйвг= О. дий дйР дий дйР 3494. — =О.

3495. — = — —. 3496. Уг Уг 1 дг ди до ди до 2и до ди до 2 дг Уг дг и 3492. (ий — ой) — = п — . и (4 — ио) до ди до ди Уг 2и дг дйг 1 с дг 3496 — =. — . 3499. — + ~ив дйР ий -1- ой ди ди до ий — йР ~ ди 359!. и = 0 (г+ Хйр) -(- 9 (й+ )йр), где 3й н )»й — корнн уран.

пения А+2ВХ+С)йй= О. 3503. з) Ьи = — + — —; дйи 1 ди дйй й Ий й(йи 2 Уи ! Фи 1 ди О) Ь(Ьи) — — + — — — + — . 3504. и»4 Ийй г дйе йй дйе йй дй дйв дв Уи Уи Х вЂ” + — + св О. 3305. А Х вЂ” — У вЂ” + дий ди дХй дХд»' ди + —, 3306 $ — ~5 — )+ й» вЂ” ~й» вЂ” ~+ 1 — Х ах * Уг Уг Уг д'и 3509.

— + — + — О. 33!О. — О. 3511. Ьйи О. 35!4. — =а 35!5. — —, 35!О. — + Ув Ри~ 1 Ув дйР дий 2 дий + — =З. 35!У. — +! — -1) — =О. 35!6.— + дйв дйв / о ъ дйв дйв ди до дий ~ и Р дйР ' ' дий 592 ОТВЕТЫ + — +( — ) +( — ) =О. 35!а. — = Мв Ра~ два два ЗЗЮ. — + — ~ О. 3523.

— О. 3524 — + див дов ди до д$в дзя двю дэ Йв дзр гг да ~Р + + + + +(--1) ~~~ — ) + д»в дзз ос д» д6 Е~а3 +~ — ) +~ — ) ~. 3526. «=уа(г)+9(г). 3527. А (Х, У)Х ~д»3 ~д~).) 3545 соз Мь соз ар+ Х « У а Ь Ьс у зос е)р сорос ар — Ь г соево е)р — с 3516.

х соз $в+ ас аЬ Х вЂ” 2В(Х, )') — +С(Х, К) — =О, ЗЗЖ д'2 д'2 ж д)'в дХдГ дХв — сов аз!п!в у — ур г — ге г — гр (х — хв) соз сс!6 !р+ (У— — згпаяп гв соз !в — Ур)з!Ва !6 !р, где хр а сова сов (р, ур= аяпа созОВ гр к г Ь . 1 а з!п !р. 3326. — + — 1, у = —; ах — сг — (ав — св). а с 2 2 х — 1 у — 1 г — 1 к — 1 3530. — = — = —; к+у+2« 4.

3531. ! 1 2 3 у — 1 г — 3 = — = —; Зх+Зу — «=З. 3532. к+г=2; у+2=0; к — г= 3 — 1 1 1 1 ~ О 3633. АЯз ( — 1,1,— 1); Мв( — —, — — — ). 3637. 169 3 9 2« ди 1б =!х(хо, уо)сова+! !«о, ув)в)па. 3533. г * д! 243 х — 1 у — 2 г — 5 3536. 2«+ 4у — г — 5 = 0; 2 4 — 1 3540, 3«+ 4У+ 12« 1б9; — = — = —, 3541.

г=— к у г и 3 4 12 4 п г ! х — 1 у — 1 4 — — (х — у); — — 3542. ахр«+ 2 ! — 1 2 + Ьу у + сг г « — хр у — ур г — гр 3543. «+уахе Ьур сгр к — 1 у — 1 г — 1 — 2г= О; — 3544. «+ у 4г О! — 1 — 1 2 х — 2 у — 2 г — 1 1 1 — 4 г Х сов арз!Веур+ з(пар 1; с ОТВЕТЫ У вЂ” гвз!Пфв вм соз ув з!п 9в -1-уз!п9в — г!Еа 0; г - гв с!8 а 3547. ак з! п ив — ау соз ив+ ивг пивом — !Еа х — ив юз ов у — ив з!п ов г — асв 3«ЗУ . 3548. — — + — ас<мо, ив ив из е 3549. А(0, щ2 (/2.

щ 21/2); В(~2, щ4, ~2)! аз!поз + — 2 г ио з ав Ьз св 3560. х Ж вЂ”, у=.~ —, г= ~ — в д а д С(щ 4, тй, 0.) ще а вв чгйу+ ЬЬ+ сз. 3551. «+ 4У+ба = ~ 21. 3566 к*+ ) ув ку 1, г 0; Зув+4гв=4, к=О; 3»в+4гз=4, У=О 3557, 6<0,003. 3559. сов%= в . 3563. — = кв+ а ч/ав -)- Ь' ди 1 1 +Уз+ге а) кв'~уз=ге==! 5) «в Уз=ге= — — в=-! 4з ' ~3 а) яа окружности к+у+а О. «в+уз+аз 1. 3$64. — =* ди ди в 2 .

3586. «в+уз рв. 3587. увв ~х. 3568. Ув 4ак. 3569. Огибающей явт. ЗБ70. квгз+ увгв *~ )вгз, В о Укг 3571. 1«у! . 3572. у = — —. 3574. а) у О оги Еи ' 28 2~* бающаи (геометрическое место точек перегиба); б) у= Π— огибающаи; в) у 0 — геометрическое место особык точек (то чек возврата); г) к = 0 — геометрическое место хвойных точек, к а — огибающее. 3575. Тор (~5*-т ув — )!) + зз в гз. 3576.

квз!ива + ув з!пв () + гв з!пв Т вЂ” 2«у)4 Хсозасоз() — 2кгсозасозТ вЂ” 2угсоз()соз7 !. 3577. )«Уг) ° — 3578. )г~ Ч/~+ ув ) р в~2 . 3579 ! . ~ + еп (~З ' )к ув +~у ' ~ +~' " ~'~я*(*+у*+"). $89. (к — г.)+(у— Ув)в = (г — гв)в 3581. !(х, У) $+ 2(х — 1)в (к — 1)(У+2) — (у+ 2)в. 3562. /(к, у. г) 3 ((х — 1)'+(у — 1)'+(г — 1)'— — (х — !) (у — 1) — (х — 1) (г — !) — (у — 1) (а — 1))+(» — !)е+ 38 вмв ОТВЕТЫ +(у — цз+(х — цз — 3( — ц(у — ц ( — ц.

3663. Ь!(1, — ц ж» вЂ” 3»+( — »з — 2»»+» )+ (»з»+»»з). 3364. )(х+», у+», х+ Ц = ) (к, у, х) + 2 [» (Ах+ 0У+ Е) +» (()х+ Ву+ Г) + ! х Х(Ек+Гу+Сз))+1(», ». !) 3$8$. хх !+(к — Ц+(х — цХ )! (у — Ц + Я, (1+ 6 (х — Ц, ! + О (у — Ц) (О < 6 < Ц, где Лз(х, у) — ха ~~ — Нх+ 1пх ду! +3~ — Нх+!па ду) )4 6 ~к Х( — дх'+ — д У)+~ — д ' — — д зду)~ п дх ) ~" 1 1 *= х — 1. ду = у — 1, 3336. 1- — (кз+ уз) — — (хз+ уз)з. 2 8 1, и 3667.

О) ! — — (х' — уз); б) — +х — ку. 3666 — (ау+ха-1- 4 3699. Г(р) ф(х, у) + — [()лл(х, у) + ) (х, У)~. л л — З дх ду Е г з' л и! (л — и)! дхлгдуллл л зю г 3692. Р(р) =)(х, у)+ '1 — ~ — ) Ьл((х, у), где Ь= 2. (. )* ~ 2 ) л г — + —, 3693. 1+их+лу+ — хз+илху+ дз дз и(и — ц 3 дха дуз 2! 4- ( ц Уз+...

([х[<!. !У[<ц 2! ОЭ 3394 (з ( Ц ("з+л ) хлвул Вх[„! !У[< Ц и!л! лг.л О Хлгуйа+з 3396. ~ ~( — Цл ([а[<+ел, [у[ < +лл). и! (2л+ Ц! алел О 3696. ~~~ ~ ( — цл (!х!( +лз, [у[л3+лл). хлг уел и1 (2л)! 6397. ~~)~~~) ( — ци " У ([ [<+ ° [у[К !хи+ Ц! (2л+ Ц! и Ол-О ф+ ~). 3868 1) ' 1) ' (- Ц «гмути (!»[С+-, )у(< (2щ)! (2л)1 (х'+ Фу'"+з ° ~+ ) 3$$$ ~~)ч~( ци +у ( з ! уз< + (зл+ Ц1 8680. Р ~~( — Цм+" — (!»(<1, [у)<Ц, 3801. [(х, у)ии щл м !и! и 1+ —. ~« — — )у. 1 хз (! )< +, (у[< + ).

3603. ~~ ( — ц" [1+( — ц)(у — ц и о ( — »»(х<+ оо, 0<у< 2). 3604. з»» 1+ [2(» — Ц— -(у — Ц[ — [8(»- Цз — РЗ (х — Ц (у- Ц+ З(у — Цв)+ +... 360$. (О, 0) — изолированная точка, если а(0; точка возврата, если а= 0; двойная, если а~О.

3606. (О, 0)— двойная точка. 3607. (О, 0) — изолированная точка. 3608. (О,О) — изолированная точка. 3609. (О, 0) — двойная точка. 3610. (О, 0) — точка возврата (второго рода). 36!!. (О, 0)— двойная точка. 3612. Если а < Ь( с, то кривая состоит из овала н бесконечной ветви; если а Ь < с. то А (а, 0) — изолированная точка; если а ( Ь с, то В (Ь, 0) — двойная точка; если а=Ь с, то А(а, О) — точка возврата. 3613. (0,0)— двойная точка. 36!4. (О, 0) — точка возврата.

361$. (О, 0)— точка прекращения. 3616. (О, 0) — угловая точка. 3817. х =йп(Ь=О, ~1, ~2, ...) — точки разрыва 1-го рода. 3618. х *0 — точка разрыва 2-го рода. 36!В. х= 0 — двойная точка. 3620. х йм(Ь=О, ~1, ~2,...) — точка возврата. 3621 гм!» = =0 прн »=0 и у 1. 3622. Точен вкстремума нет. 3823. Не. строгий минимум з 0 в точках прямой х — у+1 О. 3624.

з м = — 1 при х»»1 я у=О. 362$. «м„108 ири «=2, у 3; нестрогий минимум з 0 прн х О, 0<у<6; нестрогий максимум з = 0 при х О, — »» (у(0 н 8( у( +»». 3$26. зи໠— 1 при х = 1 и у = 1. 3627. х„н» вЂ” 2 при хт = — 1, уг = — 1 и хз = 1, Уз = 1; вкстРемУма нет пРи «=О, У О. 3827.1. Мак- 1 симум з 0 при « * О, у 0; минимум з — 1 — прн х 8 ! ~ — , у = ~ 1; седло з 1 при х О, у * ~ 1, и сей- 38' 596 отввты 1 ! л г= — — орв х ~ —, у=О.

8 2 3623 Минимум г= 30 1 1, у = 1, 3839. Мнппмум г = — — хм — 0,184 прн х= у= 2е 1 1 1 ч- 0,43; максимум г — прн х= — у=~=', у'2е 2е ~/Ж ' вкстремума пет в стапноиариык точках г О, у= т ! и х ~-н), у=О. 3640. Стапионарные точка х и ( — 1)м+х+ !2 и п и + (т + и) —, у = — ( — ) )~"'+(т — и) — (т, и = О, ~ 1, 2 12 2 ~2, ° ° ° ). Экстремум г=тп+)7 — +ч/31( — 1)м~х ( 2( 1)н, ч б если т н а различной четности (макснмум прн т нечетном и и четном, минимум прн т четном п л нечетном); экстремума вет, если т н и одинаковой четности, 3841 гм)е 0 прп х 0 а у О; нестрогнй максимум г е-' крн хх-(-ух = 1. лрн х=5 в у=2, 3629. гмт= прн — =х аЬ т Зч(3 а у 1 аЬ х у х= — =.4 =; гмхх= — Прв — =— ь ч~З ' З ч/З а Ь хх. „.,= ~у-~-~-.!- й - —, ю- —, о; с с гщ)п — — ч/о +Ь +с прн х= — х у= — х еслн с СО; х х а Ь с с экстремума нет, если с=.О, ах+ЬхчеО.

3631. гм,х = ! прн х = 0 н у = О. 3632. Мнннмум г = 0 прн х О, у 0; седло 1 1 1 г= — е-х прн к= — —, у — —. 3633. Седдо с= ее прн 2 4 2 ' х=), У= — 2 3634. МакснмУм г е гепг2,25 1О г пРн «=1, у=3; минимум г — 26 е Г т — 25,51 прн х~ — —, у х зх ! 26 3 — †. 3635. Мнннмум г = 7 — 10 )п 2 т 0,0585 при х = 1, 26 3 х и и у = 2. 3636.