Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 13-е издание (Б.П. Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу - 1997 - 13-е издание), страница 69

10т е.7,7)С Х (1 + — ~ (! О ! < Ц. ЗИЗ. О 0798.~1 + — 1 (! 8 ! < Ц. х 8 (З)00) ' ' ' 1, 300) 3114. 10м 1,378 (1+ — ) ()8! ц. 311$. 10 .4,792.(1.(. 0 288,) + — )(!8! < ц. ЗИО. 0,124 (1+ ) ((О! < ц. 8 120 ) ж.) $117. 0 3$$-~1+ — ) (18! < ц. 3113. (2а — цц т~2 (2а)а)С $00 ) -е+Ва(1И 2хв а /еа Хе аО„! < ц. ЗИО.

— е ()8„! < ц. (/йл ответы 3120. а) 1; б) г, в) — г) 1. 2 55 1 5 — — х — — кз + — хз; 21 14 42 3121. Рз (х) 1 Рз( Ц 3,43; Рз(Ц=" — ! 57: Рз(6)газ 43 3122 у=уз+ ' " ' (к-кз)+ 28 .(- у' 2уз+ у т (к — кз)з, 3123. у 0,608+ 0,193к— 28з — 0,00101хз. 3124, Мп х" а~ — ~1 — ~ — ); з)п 20'ы0,341; 288 1. ~ 150 ) .) в!п 40' ез 0,645,' з(п 60' м 0,994. 3!25. Р(к) = — (7хз — 4хз) .

3 3126. 7 —. 3127. В„(х) х; Вв(х):=аз+ 1 х (! — к) В„(к) = 3 а ° =(1 — 1 — кт + — 1 — — ) хз + — к 3126. Вз(к)= а)ч и) ач а) аз (х — а)г ( — х)а-г - ~ ~ ( ~. — ~) с а ) (л е 3И9. В„(х) — (1 — х) (1+ х)з+ — (1+ х) . З)ЗО. В (х) 1 1 8 10 и — ( ) ~~) з~~„~~~ — ) +( — ) ~. 3131. В„(х) з ! езв~!+(зауе — Ц вЂ” ~, где 1=5 — а. 3132. В„(х) — ~(соз и .(-1 — х з!п — ) -(-(соз — — ! — з!и — ) 1, з-! и 8 Т~ л — й соз(26 — Цк где Р: — 1. 3135. азв з(к) = — —— 2 и з~,к 2а — 1 (2» — Цз а ! ЧАСТЬ П отд ел в! 8138.

Полуплоскость к ь О. 3137. ).т) ~ 1; (у1 ~ 1, 3188. Круг кз+ уз~ 1. 3139. Впепзывсть круга кз+ уз) 1, 3!40. Кольцо 1 ~ кз+ уз ~ 4. ЗН1. Луыочка к ~ ха+ уза6 ~ 2к. 3142. -1 <; к'+ у ~ 1, 3143. Полуплоскость к+ у а ОТВЕТЫ 577 ( О. ЗИ4. Пара вертикальных углов ! у! < ! к! (х чв 0). 314$. Пара вертцкальных тупых углов, огранмчевных прямыми у О ну — 2х, включая границу безобщей вершияы 0(0, О). 3146. Криволинейный треугольняк, ограниченный параболамн уэ = х, уэ — х и прямой у = 2, исключав вершину 0 (О, 0), 3147. Семейство концентрических колец штй и; хэ+ уэ ~ я Х Х (2Ф+ 1) (й = О, 1, 2, ...). 3148. Внешность конуса хэ -( + уэ — г' О, включая границу за вычетом вершины.

3!49. Совокупность четырех октаитов пространства. 3150. Внутренность двуполостного гиперболонда г'+ уэ — гг — 1. 3151. Парал. лельиые прямые. ЗИ2. Концентрические окружности. 3153. Се. мейство равносторонних гипербол с общими аснмптотамя у Шг. 3154. Параллельные прямые. 31И. Пучок прямых с вершиной в начале координат, эа вычетом вершины. ЗИЗ. Семей. ство подобных зллипсоз. 3157, Совокупность равносторонних гипербол, асимптотнчески приближающихся к осам координат и расположенных в 1 н 11! квадрзнтах. 3158.

Семейство двузвенныг ломаных линяй, вершины которых расположены на оси Оу, 3159. ! н 111 квадранты при г = 0; семейство двуэвенных ломаных линий, звенья которых параллельны осям координат, а вершины расположены на прямой х+ у 0 при г) О. 3159.1. Линни уровня — стороны углов, параллельные положительным направлениям координатных осей Ог и 08 с вершинами на прямой у х. 3159.2. Семейство контуров квадратов с общим центром 0(0, О), стороны которых параллельны осям координат Ох и Оу прн г) 0; точка 0 (0,0) при г О. ЗИ9.3. Прямые, параллельные оси Ох, если г ~ 0; стороны углов, параллельные координатной оси Ох и положительной полуоси Оу, с вершинами на параболе у хэ, если г) 0; положнтельная полуось Оу, если г = О.

3160. Пучок окружностей, проходящих через начало коордниат (не включая этого начала() в С ортогоиальных к осн Ох. 3161. Кривые у = —, 3162. Крн. 1пх вые у —. 3163. Семейство окружностей с центрзмн иа С+х 1пх осв Ох, ортогональных к окружности хг ч- у' аэ. 3164. Се. мейство окружностей, ортогональных к оси Оу и проходящих через точки ( — а, 0), (и, 0), за вычетом последних. 316$. Прямые к= гляну= пи(ш,и=О, ~1, Ш2, ...), приз 0;система квадратов жп С г( (и+ 1) я. ля ~ у «С (л+!) я, гдз ( — 1)и+э г, при г = — 1 или г = !.

3166. Семейство параллельных плоскостей. 3167. Семейство концентрических сфер о центром в начале координат. 3168. Семейство двуполостиыз 37 гмг гвперболоидов пра и ч. 0; семейство одяополостных гяперболонаов при и ) О; конус при и О. 3189. Семейство адляптнческнх цилиндров, общей осью которых является прямая х+ + у = О. х О. 3170. Семейство концентрических сфер кт+ + ут+ гт пл (е = О, 1, 2, ...), при и 0; семейство сфе. рнческик слоев иа ( хт+ ус+ хт ( и (и -Р 1), тле ( — 1)" и, пря и -1 илп и = 1. 3!71. Цилиндрическая поверхность с ваправлвющей х ((у), к О,обрахующне которой параллельяы прямой у = ах, х О.

3172. Поверхность вращения кривой е = 1(х), у 0 вокруг осв Ох. 3!73. Копн мекая поверхность с вершиной в начале координат и ваправляющей: х = 1, х = ((у). 3!74. Кононд с направлающей: х 1, а ((у), обравующие которого параллельнм плоскости Оху, 317$. ! ~1,— ~ у 1 ( (х, у). 3!77.

Ч/1 (-хе. 317$. ( (О = 21+ Га; е = х — ! + + Ч/у (х) 0). 3179. ((х) хт — х; х = 2у+ (х — у)*. 3180. ((х, у) хт —. 3183.1. Нет. 3183.2.0; ист. 3184. а) О, 1+и 1; б) — , 1; в) О, 11 г) О, 1; д) 1, ае. 3188. О. 3186. О. 3187. а, 1 2 3188. О. 3189. О. 3199. 1. 3181. с. 3192. 1п 2. 3193. а) — К) В ч 2 Зп и Зп би 7п ~ —; б) — (О ( — в — С 0( —. 3!94. Точка раа. 2 ' 4 4 4 4 рива: х О, у т О.

3!ВВ. Все точки прямой х+ у О. 3!9$. 0 (О, 0) — точка бесконечного рахрыпа; точка врявюй л+ у О (х чь О) — устранимые точка разрмва. 3197. Точки, расположенные иа осях координат. 3!98. Совокупность точен прямых х = льк ну = ии (лг, и О, ~1, ~2, ...). 3199. Точки окружности хт+ ут 1. 3200. Точка координатных плосаостей: к О.

у 0 в х= О. 3201. (а, Ь. с). 3203.1. Равномерио непрерывна. 3203.2. Рдввомерно непрерывна. 8293.3. Неравномерно непрерывна. 3293.4. Функция вепре. рывна' па Е, во неравномерно. 3212. 1 (х, 1) 1. 3212.!. 1' (О, 0) = О. („' (О, О) 0; функция аедифференнвруема в точке О (О, 0). 3212.2.

Фуикцна недафференюеруема в точке О (О, О). 3212.3. Функцва дяффереипяруема а точке О (О, 0). ди ди дти 22!3. ==4 Зхут, — =еу -ЗИу, — = (Ь'-89'. дх ду дхе д'и дги ди ! — е — 1бху, — ° 12ут — 8хт. ЗИ4. — = у + —; даду ду' дх у отпиты (хула 1). 3223. ди !у! ди хгупу ° ° дк к«+ уг ду хг -(- уг дги 2« ! у ! дги (хг — у)' гуп у д'и Э Ф дхг (хг -1- уг)г д«ду (хг -)- у*)г ду' и~ (у еиО),. 3223. 2«)у! ди х (хе+ уг) дк (хг+ уе+ гг)гР д'и 2 хе — уг — гг дги Зку д«г (хг+уг+ге)Чг дхду (хе+ус+ге)гп ди и !пх ди уи,„дги у(у — г) и Э вЂ” — — — 1пк, У ду г дг гг дхг х "гг д'и и 1п'» д'и уи !п х дги — — — = — (2г+ у 1п к), дуг ге дгг дх ду (г+у!пх) и дги уи(г+у)пи) дги «гг дх дг хгг ду дг и1пх(г+у1п х) ди у' ди (хг те 0).

3223. — = — и, гг дк х ду ди дги у' (у* — 1) гу'-'и 1п х, — = у'и 1п х 1и у, — =- и, дг дхг хг дги дги — = гу* 'и (г — 1 + гу* 1п «) 1п х, — = у'и (1 + у* !п х) Х ау* дгг дги гу*-'и Уи у'и 1п у Х 1п х 1п'у, — = (1+ у* 1п к),— Х дкду х дхдг х Х (1 + у*!п х), — = у'-'и 1п к [1+ г 1п у (1 + у' 1и «) [ (х ) дги ду дг )О, у)0). 3230.1. [„г(0, 0) не существует.3235.ди= «~ ~ Х Ху" г(ау Нх+ их Ну), дги «'и-гуе-г [и(щ — 1) уг Н«г+ 2ал Х Х худ«ау+л(л — 1) ««дуг[. 3233.

Ни = удх-хйу дги аи — — Иу (у ух — х ду). 3237. Ии 2 хдх+ удд дни~ уг и! '+у* ОТВЕТЫ 581 (у дх — х ду)а х де+ у ду 3238. да ° Уи = (.а.(„з)зт ' ' „з ! уа (уа — ха) (Нха — дуа) — 4хубхде 3239. ди еаз (у дх + (ха+ уа)а + худ)! Уи = е"" (дедка+ 2 (1+ ху) даду+ хадда). 3240.

Ни=(у-(-а)дх+(а+х)ду+(х+У) де, Уи 2(диду+ (ха + у") йа — 2е (хая+ уду) а 2а ((3х*- да) дха+ 8х даду+ (3у' — х') дда)— — 4 (ха + уа) (хдх + дду) да Уи (х'+ у')' 3242. дх — дд, — 2 (дх — ду) (дд + йх). 4244. з) 1+ та+ пу; б) ху; в) х+ у. 324$. а) 108,972; б) 1,055; в) 2,95; г) 0,502; д) 0,97.

3246. Диагональ уменьшнтся приблнзнтельно на 3 мм; площадь уменьшится приблизнтельнона 140 сна. 3247. Уменьшнть на 1,7 мм. 3249. Ь т 10,2 ма; $ т 13 аб, 3250. 6 ам 7,6 ма 325!. („'(х, у) н )„' (х, у) неограничены вокрестностн точки(0,0). да» У» Уи 3256. — = 24, О, — — 15. да' дхаду ' дИду' Уи Уи 3257. — О. 3258. — — б (соз х + соз у). да'ду дх'ду' даи Уи 3239. — О.

3260, '"'(!+ 3хдх+ дхдуда дхддда даи б 48 (х — 5)а (у — т))а + а да дудка) га даат» где г = ч((х — 5)а+ (у — а))а. 3262. — = р!45 дх д 2 ( — 1) (т + л — 1)! (их+ ту) (х+ у)и+а+а Х (ха+ уз+ 2 (та + лу) + т (т — 1) + и (и — 1)). 328$. (х+ + р) (у -1- 4) (а+ г) гааз+а. 3266. з)п — . 3267. у (1) 2 7' (Ф) + 31! (1) + аа)к (!).

3268. Уи 24 (дИ вЂ” 2дхЧу У» даи -2дхдуа+ дуа)! = 24, = — 12, дх' дхздд Уи Уи Уи — О, — — 12, — = 24. 3269. баи ~ дхздуа дхдуа дуа б (дИ вЂ” ЕЖА+ Едхдуа+ дуа). 3270. Уи = — 8 (хдх+ + уеду)з соз (ха + уа) — 12 (хдх + уду) (НИ.(- Нуа) з1 и (ха + у'). 91 (дх -)- ду)аа 3271. дави 327й Фи — (дае (х+ у)'а — 1ЬЬ»дуг+ \ Як>дул Иуе) сиз х с» у — 2дхйу (Мзл— — >Од«еду»+Здук)сЗпкз>>у. 6273, узы=Од«>(у>Ь 3274. д>и = 2 ~ — + — + — ~.

3273. Злы глк+зз >С г дх' дуг Игл р л >С (аЬ+ З>>у)л. 3278. Зли = ~ Сиз Х>~ "> (к) >'>з>(у) Фхл здук. 3272 Зли =)>л>(х+у+г) О(к+ду+Иг)л. 3276. Зли гл»44г+'» (аЬ+ аду+ а(г)л. 3266:. а) Аи — и, Аги и; б) Аи = 1, Аги О. Зге>. а) Зи О; б) Зы = О. 32>«7.

а) З>и = 9 ((кг — уг)г -1- (уз — хг)г+ (гг — ху)>), 1 (>>и=6(к+ у+г); б) З>и — > где и >(к>+уз+гз г гю ди дги Зги = О. 3283. — 2«)' (кг+ у'+ гз); дк д дги 2)'(«г („уг» гз) + 4«з) (хе+ уг+ ге) ° = 4«у)' дк ду (кг -(- уг -1- г'). 3284. — /~ ~х, — ~ + — 1> ~к, ди . ° ди = )> + у)з+ уг)ь> — = к)з+ «г)з: — "-* ху(з> ду дги д>и дк* = )» + уг)ге+ уггг)аз+ 2у)и + 2уг)>з -(- Зугг)зз> дуг дги дги хг)ж+ 2«гг)зз+ хггг)з>: —, х'у'бз; дгг дк ду дги ху>зз+ хуг>>за+ х(>з+ «г)>з+ 2«>и)ге+)>+ г)з; — =л дх дг д>и = «Фз+ «уг)гз+ кугг)зз+ у)з; — = хгу)гз+ клут>з+ Зуд д'и + )з 3268 — )»+(х+у) )>~а+«у(зз+ )з.

3267. Ьи )>>+ дхду +4(х+у+г) )>а+4 (Ха+ух+ге))гг+6(З. 3286. Ии»л ОТВЕТЫ МЗ )'(г)И +в(())) в(в =) (г)( +Я)в. 3239. Ь -Г() '"","': ИЪ-(.() '" """ -М() Х в(х (хв(у — фх), хв(х+ ууу з ( ах+(З(у) хв.( „з + ( в ),в)гвг )' (() аг, в(ви = (" (г) в)(в+)'(г) в(зг, гхе аз = уа(к+ гхау+ + хувЬ и двв = 2(и(хв(у+ у1хвй+ хв(удг). 3292 ди = 2в" Х Х (хв(к+ув(у+ лй); зги = 4/'. (хвЬ+ р1у+ ВЬ)в+ 2)' (вЬз+ -)- дуз+ ВЬв). 3293. Ии д/фк-(- У|фу; дги = аз)ВВВЬХ~- + 2аь!",иыу 4.