Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 13-е издание (Б.П. Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу - 1997 - 13-е издание)

Б.П.ДЕМИДОВИЧ СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ 13-е иацаиие, исправленное Рекомендовано л"осударственнчлч комитетом Россшнкой Федерации по выситму обраювпнию в качестве учебноло ллособлт длп сплудвнлпов матеманшческнч и фнвслческллс спещничностей высинлс учебнчлс заведений олей улн Издательство Московского университета Издательство Черо 1997 ВВК 22.141 Д50 УДК 517(075.8) Рвдвизвлга кафедра высшей математики МФТИ Печетеетса по постановлению Редакционно-издательского совета Московского университета Денозденич Б.П. Сборник задач и упрвжнений по математическому анаднзуз Учеб.

пособие. — 18-е изд., нспр. — М.: Ивд-зо Моск. Ри-та, ЧеРо, 1007. — 624 с. 1ВВВ7 б-211-08646-Х В сборник (1!.е нзд. — 1996 кз включено сомме 4000 задач и упражненмй по южнейшим рззделем матемапомского анализа: заедание ° анализ; дифференциальное исчисление фукнпий одной переменной; иеопрелеленный и определенный интегралы; рады; лмфференциальное исчисление функций несколъких переменных; интегралы. зааисшцне от параметра; кратные и криволинейные иншгралы. Почти ко мжм задачам даны ответы. В приложении помешаны еабжщм.

Вда стулентов фммомскмх н механико-математических специ«лзвнктей высших учебных заве!мима. ДЗО Учебное издание Демшшввч Борце Павжцшч СБОРНИИ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСИОМУ АНАЛИЗУ Заа. редакцзюй Л.А.Николсон. Художестшнпый редактор Л.В.14ухина Н/К ЛР Ув 040414 ог 16.04.97. Пошпюаво ° печать 3.06.96. Формат 64к106733. Бумага обюетаел. Офсетная аечать. Уел. аеч. л. 33,3. Тврык 9000 оке. Иод. УЗ 9161. Замаз Ув 1191 Ордена "Зван Почета" вкдотчльотао Моеаооекоге уаваороитета 103009, Москве. Вальжан Нвквтокеа ул., 9/7 Издательство "Чоре Москва, Вольшой Власьевский пер., д. 11, к.

306 . 341 ЗЗ9О, 936 3349 Волвколуиекаа горохвкал твпографпл Упрввбюрмвечатв Пешечной области, 163100. г. Великие Луюз, ул. Полиграфистов, 76/13 1$В19 5-211-03645-Х © Демндозич Б.П.,!996 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧЛСТЪ ПВРВЛЯ ФУНКЦНН ОДНОЙ НВЗЛВНСНМО» НВРВМВННОВ О т д е л 1. Введение в анализ ........... 7 $1. Вещественные числа ....,...., . 7 % 2. Теория последовательностей . . . . .

. . . 12 9 3. Понятве ф> икцни . . . . . . . . . . . . 26 4. Графическое изображение функции . .. . 35 $ 5. Предел функции ..., ......... 47 6. О.символика ............... 72 7. Нцпрерыеность функции ......... 77 8. Обратная функиия. Функция, заданные параметрически . .

. . . . . . . , . . . . . 87 9 9. Равномерная непрерывность функции .. . 90 $10. Функциональные уравнения . .. .. .. . 94 О т а е л П. Дифференциальное исчисление фуивцвй одной переменной . .. . .. .. .. . . 96 '. й 1. Производная явной функции . ..

.. .. . 96 2. Производная обратной функции. Производная функции. заданной параметрическн. Производная функции, заданной в неявном виде,... 1Гй 9 3. Геометрический смысл производной..... 117 9 4. Дифференциал функции ........., !20 9 5. Производные н дифференциалы высших порядков . !24 6. Теоремы Ролля, Лагранжа н Коши .... 134 $7. Возрастание н убыввняе функции. Неравенства 140 $8. Направление вогнутостн. Точки перегиба .. 144 $9. Раскрытие неопределенностей ...., .. !47 $10.

Формула Тейлора............. 151 $ 1!. Экстремум функции. Наибольшее н наименьшее значения функции .......... 156 $ 12. Построение графиков функций по характер. иым точкам . 161 4 !3. Задачи на максимум н минимум функций... 164 $ !4. Касание кривых. Круг крнвианы.

Эволюта !67 $15. Приближенное решение уравнений .... 170 ОГЛАВЛКНИВ Отдел !11. Неопределенмый интеграл ......, 172 !. Простейшие неопределенные интегралы ... 172 2. Интегрирование рациональных функций... 184 4 3. Интеграрованне некоторых иррациональных функций 187 4 4. Интегрирование тригонометрических функций 192 4 5.

Интегрирование различных трансцендентных функций . 198 4 б. Разные прммеры на интегрирование функций 201 О т ч е л !Ч. Определенный интеграл ........ 204 4 1. Определенный интеграл как предел суммы .. 204 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных .......... 208 4 3. Теоремы о среднем ............ 219 2 4. Несобственные кнтегралы ......... 223 $5. Вычислемне площадей .....,... 230 $6.

Вычисление длин дуг .......... 234 $ 7. Вычисление объемов ... .. . .., .. . 236 4 8. Вычисление площадей поверхностей вращения 239 4 9. Вычисление моментов. Координаты центра тяжести . 240 4 10. Задачи мз механики н физики ...... 242 4 11. Приближенное вычисление определенных интегралов , 244 Отдел Ч. Ряды . 246 4 1, Числовые ряды. Признаки сходимостн зиако.

постоянных рядов.......,...., 246 4 2. Признаки схолимости знакопеременных рядов 259 $ 3. Действия над рядамк . . .. .. .. , ., 267 4. Функциональные рялы .......... 268 5. Степенные ряды .. .. .. . .. .. . .. 281 6. Рялы Фурье...., 294 7. Суммирование рядов ........... 300 В. Нахождение определенных интегралов с по. мощью рядов 305 9.

Бесконечные произведения . . . . .. .. . 307 10. Формула Стирлинга ........... 314 1!. Приближение непрерывных функций многочлензми 3!5 ЧЛСТЬ ВТОРЛЯ ФУНКНИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕРЕ81ЕННЬ1Х О т д е л Ч1. Дифферемцнвльное нсчмсленне функций нескольких переменных . . . . . . . . 3!8 4 1. Предел функции. Непрерывность ......

318 4 2. Частные производные. Дифференциал функ. цни 324 4 3. Дифференцирование неявнык функции.... 338 4. Замена переменныч .........., . 348 5. Геометрические приложения . . .. .. . . 36! $6. Формула Тейлора ............. 367 $7. Экстремум функции нескольких переменных 370 оглдплкнип Отд ел Ч1!. Интегралы, зависящие от параметра ., 379 $ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

379 $ 2. Несобственные интегралы, зависящие от пара. метра. Равномерная сходнмость интегралов 335 $3. Днфференпнрование н интегрирование несобственных интегралов под знаком интеграла .. 392 $ 4. Эйлеровы интегралы ............ 400 9 5. Интегральная формула Фурье ....... 404 Отдел ЧП1. Кратные н криволинейные интегралы . 400 $1. Двойные интегралы .......,.... 406 2.

Вычисление площадей ........., 414 3. Вычисление объеиов..........., 416 5 4. Вычисление площадей поверхностей .... 419 9 5. Приложения двойных интегралов к механике 42! 6. Тройные интегралы ............ 424 $7. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов 426 $8.

Приложения тройных интегралов к механике 43! 9. Йесобственные двойные и тройные интегралы 435 5 1О. Многократные интегралы ......... 439 9 1!. Криволинейные интегралы ...,.... 443 5 12. Формула Грина,,......,,... 452 $13. Физические приложения криволинейных интегралов 456 5 14. Поверхностные интегралы . ..

. .. . . , 460 15. Формула Стокса .. . .. .. .. , . . . 464 16. Формула Остроградского . . . , . . . . 466 $ 17. Элементы теории поля . . .. . . .. . . . 47! Ответы ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОТДЕЛ 1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ф !. Вещественные числа ! '. Метод математической н н д у к ц н н. Чтобы доказать, что некоторая теорема верна для всякого натурального числа л, достаточно доказать: 1) что зта теорема справедлива для и = 1 н 2) что если эта теорема справедлива для какого-нибудь натурального числа и, то она справедлива также н для следующего натурального.

числа л + 1. 2": С е ч е н н е. Разбиение рациональных чисел на два класса А и В называется сечением, если выполнены следующие условна: 1) оба класса не пусты; 2) каждое рациональное число попадает в один и только в один класс и 3) любое число, принадлежащее классу А (нижний класс), меньше произвольного числа, првнадлежащего классу В (верхний класс). Сечение А/В определяет: а) рациональное число, если нлн ннн<ннй класс А имеет наи.

большее число нлн же верхний класс В имеет наименьшее число, и б) нррацнональ«ое число, если класс А не имеет наибольшего числа, а класс  — наименьшего числа. Числа рациональные и иррациональные носят название вещественных или дейсюаи<нгльнмх <). 3'. А 0 со л ет н а я вел н ч н н а. Если х — вещественное число, то абсолюшной величиной!х! называется неотрицательное число, определяемое следующими условпямн: — х, если х<0; (х(= х, еслв х~0, Для любых вещественных чисел х и у имеет место неравенство )х! — )у! «(х+ у! ~ (х1+ ! у!. 4', Верхняя н нижняя грани.ПустьХ=(х)— ограниченное множество вещественных чисел.

Число ш 1п1 (х) называется нижней гранью множества Х, если: ') В дальнейшем под словом ч н с по мы будем понимать не щ ест ее н и о е ч и с л о, если не оговорено противное. отдел к ввядкник а анализ 1) каждое «бХ ') удовлетворяет неравенству 2) каково бы пн было е » О, существует к'ЕХ такое, что х'<ж+ е. Аналогично чнсло М зпр (к) называется вел«хек зранью множества Х, еслк: Ц каждое х бХ удовлетворяет неравенству «м,М, 2) для любого е ) О существует к"б Х "гаков, что х' > М вЂ” е. Если множество Х не ограничено снизу, то прнпято говорнть, что !и! !к) = — ещ сслн же множество Х не ограннчено сверху, то полагают зпр !к! + е .

$'. Абсолютная к относнтельная погрею» н о с т к. Если а !а чь О) есть точное значенне нзмеряемой веля. чаны, а « — пркблнженное значенне етой велвчнкы, то а )к — а! называется абсохюаюнза яохргшхестью, а Ь 6~в !а! — ожноснлыхьноа ашрзшносюью нзмеряемой велнчнны. Говорят, что число х имеет я еерхык знаков, еслн абсолютнав иогрешкость етого числа не превышает полпайки едкннпы разряда, выражаемого я-й значащей ннфрой. Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа и справедливы следукнцне равенства: 1.

1+2+... +в="!" + ) . 2 ° ) Заппсь хе Х означает, что чнсло к пркнадлежкт множе. ству Х. 3 ь вешестеенные числА $ [а ! 2з [ + з п[л, 1)(2л+ 1! б О. 1'+2'+... +л'=(1+2+... +л)'. 4. 1 + 2 + 2з +... + 2"-т = 2" — 1. 5. Пусть а!"1 = а (а — 6)... (а — (л — 1) й! н а!01 = 1, л Доказать, что (а+Ь[[" 1=- ~ С„а!" !Ь!"1 где,С",'— число сочетаний из л элементов по л!.

Вывестн отсюда формулу бинома Ньххтона. 6. Доказать,нераеенсево бернулли: (1 + хт)(! + хз)... (1 + х„) ) > 1 + хт + хз+... + х„. где х„х„...., х„— числа одного и того же знака, ббльшие — 1. 7. Доказать, что если х ~ — !, то справедливо не равенство (1+ х)" > 1+ лх (л) 1), причем знак равенства имеет место лишь Ери х ° 0 6. Доказать неравенство л!~( — ") при л)1. У и з з з и и в. Использовать еерзвспство (пю[. 2....). 9. Доказать неравенство 2! 4!, *, (2л)! ~((а+1)!!" при л)1.

10. Доказать неравенство 1 3 2л — 1 1 2 З ''' 2п !/Ела+! 10.1. Доказать неравенства: а) 1+ — + — +... +=-ьлул (лрь20 ! 1 1 ч/2 1/3 [/й б) л"+' ) (л + !)" (л ) 0): отдал ь введение в хнхлнз уа ~! л в) з!п~~' ха~1< ~ з!пхз (0(хз ~ и; Ф! ь! й=1,2,..., и); г) (2и)! <2з" (и!)з. 11. Пусть с — положительное число, не являющееся точным квадратом целого числа, и А/ — сечение, определяющее вещественное число т/с, где в класс В входят все положительные рациональные числа Ь такие, что Ь') с, а в класс А — все остальные рациональные числа.

Доказать, что в классе А нет наибольшего числа, а в классе В нет наименьшего числа. з 12. Сечение А/В, определяющее число тГ2, строится следующим образом: класс А содержит все рациональные числа' а такие, что а' ( 2; класс В содержит все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе А нет наибольшего числа, а в классе  — наименьшего. 13. Построив соответствующие сечения, доказать равенства: а) .~/2 +~8 =.с~Г8; б) ~~1 тД=л~Ь. 14. Построить сечение, определяющее число 24'.