Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 13-е издание (Б.П. Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу - 1997 - 13-е издание), страница 12

Доказать, что монотонная функция ~(х), удовлетворяющая уравнению (1), есть линейная однородная. 811. Доказать, что функция 1(х), удовлетворяющая уравнению (1) н ограниченная в сколь угодно малом интервале ( — в, е), есть линейная однородная. 812. Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция ) (х) ( — оо х « (+ ао), удовлетворяющая для всех значений х и у уравнению 1(х+ У) = 1(х) 1(Р), (2) есть показательная 1(х) = а', где о = ~ (1) — положительная постоянная. 813.

Доказать, что не равная нулю тождественно функция 1(х), ограниченная в интервале (О, е) и удовлетворяющая уравнению (2), есть показательная. 814, Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция 1 (х) (О «. » «+ оо). удовлетворяющая для всех положительных значений х и у уравнению 1'(хр) = 1(х) + ~ (у), есть логарифмическая / (х) = 1ой,х, где а — положительная константа (а чь 1). 815. Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция((х) (О «х ~+ос), удовлетворяющая для всех положительных значений х и у уравнению 1 (»Р) = 1 (х) 1 (Р), (3) есть степенная 1(х) х', где а — постоянная. 818.

Найти все непрерывные функции г (х) (- оо « ~ х «+ оо), удовлетворяющие для всех вещественных значений х и у уравнению (3). 817. Показать, что разрывная функция 1 (х) зйп х удовлетворяет уравнению (3). $!а ФункционАльные уРАВнения 65 818, Найти все непрерывные функции ((х) ( — оа с ( х (+ ао), удовлетворяющие для всех пещесиеи- ныя значений х и р уравнению ~ (х + у) + ~ (х — у) 27 (х) Р (и). 819. Найти все непрерывные ограниченные функции 1 (х) и и (х) ( — со с -х.с. + РР), удовлетворяющие д:"я всея вешественныя значений х й у системе уравнений: ((х+у) ((х)1(р) — и(х)п(р), 8 (х + у) ( (х) д (р) + 1 (р) и (х), н, сверх того, условиям нормировки: ( (0) 1 и 8'(0) *= О.

У а а а а а а а. рассмотреть фуааааю г (а) 1" (а1 + аа (а). 820. Пусть Л7(х) ° ~ (х+ Ьх) — ~ (х) и Л7 (х) = А(о|(х)) суть конечные разности функции )'(х) соответственно гарного и второго порядков. Доказать, что если функции Г (х) ( — со С х(+ ас) непрерывная и Ьаг (х) ж О, то эта функция линейная, т. е. ( (х) = ах + Ь, где а н Ь вЂ” постоянные. отдал и ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В 1. Проызводная явной функции 1'.

Опреаеаеав ° провезенной. Если в я »1 » + Ьл — звачеавв веззвыснмой переменной, то разность йу 3(»+ Ьк) -$(к) называется лрлраы(синан фуыкцвы у 1(х) ва сегменте 1», кт). Выражеыве ф )' (х) 11в —, Ьу (Й а»э Ь» ° сзюв оио имеет смысл, носит ыззваыне лроиыодиой, а саик фуык. цяя 1(к) в этом случае ыазывается Р йиффереиц ируелой. Геометрически число $' (к) прея. ру стаивает собой угловой коэффициент касательной к графику функция у ° 4(к) в точкеего к((йа 1')(х) Ф (рвс. 6). 2'.

Основные праввла яакожя ° ннв ирокзвояа Ряс. 6 в о А. Если с — настоянная аелв- чныа а функции и и (к), о ем о(к), в в (х) янека производыые, то 1) с' О; 2) (си)' си'$ 3) (и+о-в)' и'+о'-ы'1 4) (ио)' и'о+ о'и', б) ( ™ ) "" "" (очьо)1 б) (и")' ° ли"-'и' (л — постояныое число)1 7) еслы функция у ° ((и) н и О(к) имеют проызвоакые, ук уи"к' 1 г. производная явнои отнкции 97 Зе. Основ н ые фо р мулы.

Если х — иезаввсимаи переменная, то 1. (х")' пх"-' (л — постоянное число). И. (в1пх)'=соек. И1. (созх)'= -з!па. 1 1 1У. (!бх)'= —. У. (с!бх)'= —— ся'х ыпгх У1. (агой!пх)' = 1 ! УИ. (агссоз «)' (/~ т ЧИ1. (агс!а х)' = 1 1Х. (агсс!бх)' = — —, 1 1+ хт 1+хе ' Х. (ах)' = ах 1по, (ех)' е*. Х1. (!оя х)'= — (о)О)! 1 «1по (1п х)' — (а О, а Ф 1; х ) О). ! ХИ.

(евх)' сЬх. ХИ1. (с)гх)' апх. Х(У. (!)г х)' — ХУ. (с!(г х)' 1 1 сйе х е$Р х 4'. Односторояние производные. Выраже ння /(х+ Ьх) — /(х) ь — а ьх ° . /(х+ Ьх) — /(х) + ьги +е Ьх называются соответственно левой или правой производной функции / (х) в точке х. Для суягествования производной /'(х) необходимо н достаточно, чтобы /' (х) /+(х). 5'. Бесконечная производная. Есин фуяк ция /(х) непрерывна а'точке х н /(х'+ Ьх) — /(х) ь е Ьх то говорят, что в точке х функция / (х) имеет бесконечную ярона еадкрю.

В атом случае касателаная к графику функини р /(х) в точке х перпенднкуляряа н осн Ох. 7-ггэз 98 отдал и. дичфаганциальиои исчислвнии 621. Определить приращение ох аргумента х и соответствующее приращение ор функции р = 16 х, если х изменяется от 1 до 1000. 822. Определить приращение ох аргумента х и соответствующее приращение оу функции у = 1/х', если х изменяется от 0,01 до 0,001.

823. Переменная х получает приращение Лх. Опрейелить приращение йу, если: а) у=ах+Ь; б) у=охэ+Ьх+с; в) р=ак, 624. Доказать, что: а) Л 11 (х) + д (х) 1 = ог (х) + бд (х); б) Л [~ (х) д (х)) = 6 (х + йх) й) (х) + ~ (х) 86 (х). 825. Через точки А (2, 4) и А' (2 + Лх, 4+ Лу) кривой у = х' проведена секущая АА'. Найти угловой коэффициент этой секущей, если: а) Лх = 1; б) Лх = 0,1; в) йх = 0,01; г) Ьх произвольно мало. Чему равен угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке Аг 826.

Отрезок 1 ( х < 1+ л осн Ох с помощью функции у = х' отображается на ось Оу. Определить средний коэффициент растяжения и произвести численный расчет, если: а) и = О,1; б) й = 0,01; в) й 0,001. Чему равен коэффициент растяжения при этом отображении в точке х = 19 627, Закон движения точки по осн Ох дается формулой х = 101+ 5Р, где г — время в секундах и х — расстояние в метрах. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени 20 < Г < 20+ Ы и произвести численный расчет, если: а) Ы = 1; б) М = 0,1; в) дт 0,01.

Чему равна скорость движения в момент времени г = 20? 828. Исходя из определения производной, непосредственно найти производные следующих функций: а) х'; б) х', в) —; г) 1/х; д) ~х; е) 1йх) ж) с(ах; $ а к в) агсз1п х; и) агссоз х; к) агс16 х. 829. Найти ~' (1), Р' (2) и /' (3), если 7 тх) = (х — 1) (х — 2) э (х — 3)*.

830. Найти 1' (2), если )' (х) = х'ып (х — 2). з ь пеоизводнля яанов екнкции 99 83!. Найти !' (1), если ) (х) = х + (х — 1) агсз!п л! / 832. Найти 1пп ", если функция ! (х) к~а К вЂ” Ь дифференцируема в точке а. 833. Доказать, что если функция ! (х) дифференцируема и и — натуральное число, то 11п1 л ~~ (х+ — ) — ~(х)~ = ~' (х). (1) Обратно, если для функции ! (х) существует предел (1), то можно ли утверждать, что зта функция имеет производную? Рассмотреть пример функции Дирихле (см.

отд. 1, задачу 734). Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций: 834. у = 2 + х — хк. Чему равно у' (0); у'( — ); у' (1); у' ( — 10)? кс кк 833. у = — + — — 2х. 3 2 При каких значениях х: а) у' (х) = 0; б) у' (х) — 2; в) у' (х) = 10? 838. у = аз+ бозхк — хь. 837. у= —. а+Ь 838. д=(х — о)(х — Ь). 839. у=(х+1)(х+2)~(х+3)к. 849.

у=(хз1па+соза)(хсоза — 31па). 84!. у = (1+ лх"') (1+ «и"). 842. у=(1 — х)(1 — хз)'(! — х')*, 842.1. у (5+2х)м (3 — 4х)се 843. у= — + — + —. 1 2 3 к к' кс Л 844. Доказать формулу ск+ Л (ск+ а)ь отдел и. диеевввнцилльнов исчислении Найти производные функций: 2к 1+ х — хз 1 — хз 1 — к+ х" 847.

у= (1 — х)з(! + х)з (2 — хз) (2 — х") ° у= (! — к)з 849. у=" (1+ «)» 851. у х+~/х +)~х. 859. у= 1+« 1 ! 1 852, у= — 1 — + —. к / з к 853. у=у'хз — —. 654. у х )/1(-хь. 1/ 855. у = (1 + х) ~/2 +хз )/ 3 + хв, 656. у у"(1 — х) (1 + х)" .

х хз 858. у= ! — лз 1 859. у= 1/1+ хз (к+ ~/! + к ) з66. л-~*+7*т~* . п1. л )' 1л.» м'РТ. 862. у=со$2х — 2япх. 863. у=(2 — х')созх+2хяпх. 864. у = $1п (соз х) . с0$ ($! и х). 865 у=яп" хсозлх. 866. у $1п 1з1п(з(пх)1. «1п" « см л 867. у= —,. 868. у Нп хз 2з!пзк 1 з!и х 869. у* —. 870. у спзк к спзк+кз!пк ь и пооиэводнля явнои авиации !оз 1 — х ,хв 914. у= агссоз —,. 91$. у= агс1д —. ф а 916. у= — агсс(И вЂ” 917. у=п/х — агс1ц 1/х, 1 „Д „Д к 918.

у=х+1~1 !— хв агесозх. 919. у хагсз1п л — +агс1ц /х — ~~х. „/„ 920. у = агссоз —. 92!. у = агсз! п (з!п х), 1 к 922. у = агссоз (соз' х). 923. у = агсз!п (яп х — соз х). 924. у= аГССОЗ 1~1 — Ха. 925. у = аГС(я —, 1-х 926 а с( Япх+совк ) . у=агс 9~ ~ в!пк — сов к 927, у= агс18 (л/ — 1ц — 1 ,/ав Ьв ~ Ч а+о 2/ (а Ь ~01 1 — х' 928. у агсз(п —. 929.