Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 13-е издание (Б.П. Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу - 1997 - 13-е издание), страница 14

Пусть х,если0~х(2; /(х) = 2х — 2, если 2(х(+ос, и 5 (х) — площадь, ограниченная кривой у = / (х)', осью Ох и перпендикуляром к оси Ох, проведенным в точ. ке х(х) О). Составить аналитическое выражение функции 5 (х), найти производную 5' (х) и построить график функции у * 5' (х).

1033. Функция 5 (х) есть площадь, ограниченная дугой окружности у = т/а' — х', осью Ох и двумя перпендикулярами к оси Ох, проведенными в точках 0 и х () х) и, а). Составить аналитическое выражение функции 5 (х), найти производную 5' (х) и построить график атой производной. $ 2. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной в неявном виде 1'. Пронаводная обратной функции. Диф- 1 еренцнруемая функция у /(») (а С»< Ь) с производной ' (») чз О имеет однозначную непрерывную обратную функцию х = 1-' (у), причем обратная функция также днфференцнруема и справедлива формула ° 1 х =— а У» 2'.

Производная функции, заданной па- р а и е т р и ч е с к н. Система уравнений у=ф(0 ) (а»..1 С р), гхе ф(0 н ф(/) — днффеРенцнРУемме фУнкции и ~Р'(1) чей, 11З й з, пРОизаоднАя ОвРАтнои Функции определяет р, в некоторой области, как однозначную дифференцируемую функцию от х: р ф (ч л (х)), причем производная втой функции может быть найдена по фор. муле 1038.

Построить эскиз графина н найти производную у,', если: у = 2 — Зг+ гз. Чему равна у,'(х) х = — 1? В какой точке М (х, у,' (х) = О? функции у = у (х) х = — 1+ 2( — Гз, прн х= О и при у) производная Рс р Хз 3'. Производная функции, заданнойв и е я в но м в и д е.

Если дифференцнруемая функция у= р (х) удовлетворяет уравнению Р(х, у) О, то производная р' у'(х) втой неявной функции может быть найдена из уравнения — [Р (х, р)) О, о ех где Р (х, у) рассматривается как сложная функция переменной х. (Более подробно о дифференцировании неявных функций см. ч. П, отд. Ч), $3.) 1034. Показать, что существует однозначная функ ция у у (х), определяемая уравнением у' + Зу = х. и найти ее производную у,'. 1035. Показать, что существует однозначная функ- ция у у (х), определяемая уравнением у — е з(п у = х (О < е ~ 1), и найти производную у,'. 1036. Определить области существования обратных функций х х (у) и найти нх производные, если: а) у=х+1пх (х «0); б) у =х+е', в) у = ЗЬ х; г) у = 1)1 х, 1037, Выделить однозначные непрерывные ветви обратных функций х = х(у), найти их производные н построить графики, если: а) у = 2х' — х', б) у= —; в) у= 2е ' — е з*.

1+ хз 116 отдал и. диеевгвнцизльнов исчислвнин Найти производные у; (параметры положительны) если: зх з 1039. х = 1/ 1 — «~Т, у= 1 — у'2, 1040. х = ай па 1, у = соУ й !041. х= асоз1, у = Ьз!ой 1042. х псЫ, у= ЬзЫ. 1043. х* асоззй у = аз!п'1. 1044. х= з(1 — сйп(5 у а(1 — соз(), 1045. х з"созз1, у=а"з!п'1. !046. х = агсз!и у агссоз —. 1 «Л +T «/Г+г 1047. Показать, что функция у = у(х), определяе- мая системой уравнений х 21+ ~ Г~, у = 5Р+ 41~1), дифференцируема при Г О, однако ее производная в этой точке не может быть найдена по обычной формуле.

Найти производные у; от следующих функций, за- данных в неявном виде: 1048. хз + 2ху — уз 2х. Чему равно у' при х = 2 и у 4 и при х = 2 и у=о. 1049. у' 2рх (парабола). 1050. — + — = 1 (эллипс). хВ эз зэ Ф 1051. «/х+ «/у «/а (парабола). 1052. хч +у = а ~ (астронда), 1053. агс15 —" = 1п «/х'+ у' (логарифмическая спи- раль).

!ОИ. Найти у,', если: а) г а0 (спираль Архимеда); б) г а (1+ соз ~р) (кардиоида); в) г аз ° (логарифмическая спираль), где г «~У+ у. и 9 агс15 —" — полярные координаты. з й 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОИ 717 й 3. Геометрический смысл производной 1'. Уравнения иасательной н нормаля, уравнения касательной МТ н нормали Мг) к графику диффереыцнруемой функции у = 1(х) в точке его М (х, у) (рнс. 7) соответственно имеют внд: у = у'(Х вЂ” ) У вЂ” у = — — (Х вЂ” х), 1 у где Х, У вЂ” текущие координаты касательной илн нормали, а у' 1'(х) †, значение производной в точке касания. 2'.

Отрезки касательыой н нормали. Для отрезков касательной я нормали: РТ вЂ” подкасательыая, Р)7 — поднормаль. М Т вЂ” касательная, МФ вЂ” ыормаль (рыс. 7),", Рнс. 7 Рис. 8 учитывая, что (йа у'. получаем следующие значения: РТ- ~ — "~, РМ- (уу (, у МТ-~ у ~„~)+уз, МЗ)=(у(т/1+уз. 3'.

Угол между касательной я радну. сом ° вектором точки касания. Если г 1(е)— уравнение кривой в полярной системе коордикат и р — угол, образованный касательной МТ и радиусом-вектором ОМ точки касания М (рис. 8), то (Ей=в г ь 1035. Написать уравнения касательной и нормали к кривой з у = (х+ 1) 1~ 3 — х н точках: а) А ( — 1, О); о) В (2, 3); в) С (3, О). 116 отдал и.

дневи»снцихльнов исчислении 1058. В каких точках кривой у 2+ х — х' касательная к ней а) параллельна оси Ох; б) параллельна биссектрисе первого координатного угла? 1057. Доказать, что парабола у=а(х — х>)(х — хД (ачьО, х,«х) пересекает ось Ох под углами сс и р (О (а ( ~ > 2 О«)! — 11, равными между собой. 2/ 1058. На кривой у = 2 з!и х ( — и < х ( я) опгоеделить те участки ее, где «крутизна кривойэ (т. е, ~ у !)' превышает !.

1059. Функции у = х и у> = х + 0,01 з!и 1 ООО пх отличаются друг от друга не больше чем на 0,01. Что можно сказать о максимальном значении разности производных этих функций? Построить соответствующие графики. 1060. Под каким углом кривая у = 1и х пересекает ось Ох? 1061. Под какими углами пересекаются кривые у=х«их= у«? 1062. Под какими углами пересекаются кривые у = яп х н у = соз х? 1063.

При каком выборе параметра и кривая >> * агс!япх (и) О) пересекает ось Ох под углом, большим 89'? 1063.1. Показать, что кривая у ~х!" а) прн О «а с. 1 касается оси 055 б) прн 1«>з «+ оо касается оси Ох. 1063.2. Показать, что для графика функции < х <, если сс чь О х чь О> р я> 1, если х=О, предельное положение секущей, проходящей через точку й (О, 1), есть ось Оу, 1064.

Определить угол между левой и правой каса>~ >:.»= 4Г " ° *~я*-« б) р агсз!п — в точке х= 1. 2« !+ х« з з. гаометгнчвскип смысл пгоизводнон !!9 1066. Показать, что касательная к логарифмической спнралн г = ае ч (а н т — постоянные) образует постоянный угол с радиусом-вектором точки касання. !066. Определив длину поднасательной к кривой у = ах". дать способ построения касательной к этой кривой. !067, Доказать, что у параболы у' = 2р» а) подкасательная равна удвоенной абсциссс точки касания; б) поднормаль постоянна. Дать способ построения касательной к параболе. !068, Доказать, что показательная кривая у = а' (а ) О) имеет постоянную подкасательную. Дать способ построения касательной к показательной кривой.

1069. Определить длину нормали к цепной линии х у = а»п— а в любой ее точке М (х„у,). !070, Доказать, что у астроиды хта+уза = ая (а ) О) длина отрезка касательной, заключенного между осячи коордннат, есть величина постоянная. !07!. Прн каком соотношении между коэффициентами а, Ь н с парабола у = ах' + Ьх + с касает я оси Ох? !072. Прн каком условии кубическая парабола у = х' + рх + у касается осн Ох? 1073.

Прн каком значении параметра а парабола у = ах' касается кривой у = !и х? !074. Доказать, что кривые у - 1 (х) ()' (х) ) О) н у = 7 (х) з!и ах, где 7 (х) — днфференцируемая функция, касаются друг друга в общих точках. 1076. Показать, что семейства гипербол х' — у' а и ху = Ь образуют ортогональную сетку, т. е. кривые этих семейств пересекаются под прямыми углами. 1ЗО отдел и, диооеренцидльнов исчислении 1076. Доказать, что семейства парабол у' = 4а (а — х) (а ) О) и у' = 4Ь (Ь + х) (Ь ) О) образуют ортогональную сетку. !077. Написать уравнения касательной и нормали к кривой х=21 — !а, у=Э! — га в точках: а) г = О; б) г' = 1.

1078. Написать уравнения касательной н нормали к кривой ЕГ+ Га Пт — Гт х= —, у= ! + Ге 1+ Га в точках: а) г = О, б) 1= 1, в) 1 = со. 1079. Написать уравнение касательной к циклоцде х= а(1 — з(п 1), у а(! — соз 1) в произвольной точке ! Йл Дать способ построения касательной к циклоиде.