Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 13-е издание (Б.П. Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу - 1997 - 13-е издание), страница 15

!080. Доказать, что трактриса х = а ((п 18 — + соз г), у = а з(п 1 (а > О, О < ук.-,п) имеет отрезок касательной постоянной длины. Написать уравнения касательной и нормали в заданных точках к следующим кривым: 1081. — + — =1, М(6; 6, 4). 100 ба 1082. хд+ )п у = 1, М (1; 1). $4. Дифференциал функции 1'. Дифференыиал функннн. Если приращение функыыи у 1(х) от ыезависымой переменыой х может быть вредставлено в виде ау А (х) ба+ о (бх), где бх ах, то линейная часть етого приращения нааываегсп дифференциалом функции у: бу А (х) бя.

Для существования днфференннала фуниынн у 1(х) необхо. димо н достаточно, чтобы существовала конечыая пронаводиая у' ~ !'(х), причем имеем ну ~:~ у' вх. (1) 121 2 з диааврднцилл Фхнкции ! (к+ ах) — ! (з) си !' (к) Лх, относнтельная погрешность которой сколь угодно статочно мадам )аз(, если Е' (к) чье. В частностн, если незавнснмая переменная к с предельной абсолютной погрешностью, равной аз — предельнме абсолютная н относнтельная функннн р ! (х) — пряеляженно вмражаютса формуламн: мала прв дси оп редел яегся а„то аз н погрешностн следуюншма 1083, Для функции е(х) = х' — 2х+ 1 определнтгя 1) ЬЕ(1); 2) с(Е(1) н сравнить их, если) а) Ьх = 1," б) Ьх 0,1; в) Ьх = 0,01.

1084. Уравнение )озижения дается формулой х= бгз, где Е измеряется в секундах и х — в метрах. Для момента времени Е = 2 с определить Ьх — приращение пути и с(х — дифференциал пути и сравнить нх, если: а) ЬЕ=1цб) ЬЕ=О,!с) в) ЬЕ 0,00!о. Найти дифференциал функции у, еслиг !088. у= —. 1080. у — агс(я — (аФО). 1 ! я к а а !087.

у — 1п! — ~. 1088. у 1п~х+ (/У~а~. 2а ) х+а 1089. у = «гса(п — (аеьО). а Формула ()) сохраняет свою салу н в том случае, если ве. ременная к является функцией от новой незавнснмой перемен. ной (своасимо иизариантиости яереосо дифференциала). 2'.Оценка малых прнращеннй фуняцня. Для подсчета малых прнрещеннй днфференцнруемой функцвв 1(х) можно пользоваться формулой !22 отдал и. диееапанцилльноа исчисляник 1090. Найти: а) д(хе*); б) б(з1пх — хсозх); в) И( — ); г)~ ~к'!' ) (-В; (~*+ ); ) ( —,",); ж) с(1п(! — хк); з) д(агссоз — ); 1 )к(,г н) д~ ' к -1- ! !и~15~" 1 ")~~, Пусть и, о, ге — дифференцируемые функции от х.

Найти дифференциал функции у, если: 1091. у = иска. 1092. у= —. 1093. у = —. и 1 с' т/и'+ ик 1094. р=агс(5 —. 1095, р=!п /й+ок. и 1090. Найти; а) — (х' — 2х' — х'); И л(') б) —,~ — р в) —; г) —; г нпкск л(ыпк) а((ак) й(к') ~ к )' й(сокк) ' и'(с(ак) ' и (игс5!и к) й (псссок к) !097. В круговом секторе радиус й = 100 см и центральный угол а = 50'. Насколько изменится площадь этою сектора, если: а) радиус его )с увеличить на 1 см! б) угол а уменьшить на 30'? Дать точное и приближенное решения. 1098.

Период колебания маятника (в секундах) определяется по формуле Т = 2я ~ ( — , где 1 — длина /( У маятника в сантиметрах и и = 981 см!с' — ускорение силы тяжести. Насколько нужно изменить длину маятника 1 20 см, чтобы период Т увеличился на 0,05 с? Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенно следующие значения: 1099, у'1,02. 1100. з)п 29'. 1101.

соз 151'. 1102. агс(а 1,05. 1103, 1а 11. ! 4. диФФеэенииал Функции 1104. Доказать приближенную формулу т/а'+х ж а+ — ' (а-ь 0), 2й где ) х~ << а (соотношение А << В между положительными А и В означает, что А весьма мало по сравнению с В). С помощью этой формулы приближенно вычислить: а) т/5; б) т/% в) ~/1Ю и сравнить с табличными данными. 1!04.!. Доказать формулу т/а'+х = а+ — — г (а) О, х У 0), 2а где хз О~г( —. ааэ 1105.

Доказать приближенную формулу у а" + х ж а+ — (Ф) 0), язв-ь где !х1«а. С помощью этой формулы приближенно вычислить: а) у 9; б) ?~80; в) У' 100; г) у' !000. 1106. Сторона квадрата х 2,4 м ~ 0,05 м. С ка кими предельной абсолютной и относительной погрешностями можно вычислить площадь этого квадрата? 1107, С какой относительной погрешностью допустимо кзмернть радиус Я шара, чтобы объем его можно было определить с точностью до 1 %? 1!08. Для определения ускорения силы тяжести с помощью колебания маятника пользуются формулой я 4НЧ!Т', где ! — длина маятника, Т вЂ” полный период колебаний маятника.

Как отразится на значении й относительная погрешность 5 при измерении: а) длины !1 б) периода Т? 1109. Определить абсолютную погрешность десятичного логарифма числа х (х) 0), если относительная погрешность этого числа равна 5. %2й отдал и. диааа анциальноп исчисланиа 1110. Доказать, что углы по логарифмической таблице тангенсов определяются точнее, чем по логарифмической таблице синусов с тем >ке самым числом десятичных знаков. $ 3. Производные и дифференциалы высших порядков 1'. Основные определенна. Произеедимз змс- езнх порядков от функции у 1(х) определяются последова- теаьно соотношениями (предполагается, что соотвигствующие операции имеют смысл>): ((л>(к) = ((<л»(х))л (и 2, 3...,), Если функция 1(к) имеет непрерывную проязводцую 1(л> (х) на интервале (а, Ь), то кратко пишут: д (х) ~ С(л' (а, Ь), В ча.

отвести, если 1(х) имеет непрерывные производные всея поряд яае на (а, Ь), то употребляется запись: 1(х) ч С1"> (а, Ь). диффереициалм высших лорядкае от функции у 1(к) по. саедовательно определяются формулами дл д (дл->у) гяе принято ачу ду у'Их, Если х — независнмаа переменная, то полагаются аех дзх ... = О. В этом случае справедливы формулы лл дл у(л>дал н у(л> а У Ихл 2».Основные формулы: 1, (а')(Ш а» 1пл а (а ~О)> (з»)>л> з». 11. (з1п «)1л> з1п (х+ — 11. 2 / И1. (соз к)1л> соз (х+ — 1.

2 / 1у (ха)(л> гл (ш 1) (а> н + 1) хл3-л »1 (1> )(л> ( ) (л ) кл 3». Формула Лейбница. Есляфуикцнии >р(к) н о ф(к) имеют производные л-го порядка (л-кратно.днффе. ренцнруемы) то ( Ул> ~ С>и>по<»-1> где и(в>* а, оке *и в С,', — число сочетаний из л эле. ментов по 1. з а. пРОизВОдные Высших пОРядкОВ 1И Аналогнчно ала лнфференннала и» (но) получаем; а гае положено оан н н о»о о.

Найти у", если: ИИ. у=х ~/1(-ха И!2 у 1~1-ла ' И13. у =е ~. И14. у=1йх; 1 И 3. у * (! + ха) агс16 х. И 16. у = И12. у=х1пх. И18. у=1п/(х). 1 Ий. у х [з1п (1п х) + соз (1п х)). И20. Найти у(0), у'(О) и у (О), если у = гм" соз (з(п х). Пусть и = <р(х) и О *ф(х) — дважды днфферек» цнруемые функции. Найти у", если: И2!.

у = иа. 1122. у !п —. о И23. у= /и'+У. И24. у=и' (и>0). Пусть 1(х) — трижды диффереицируемая функция. Найти у' и у"', если: И25. у у (ха). И26. у у( — ), ~ а.а' И27. у=у(е"). И28. у=у(1пх). И29. у = у (<р (х)), где ф (х) — достаточное число раз днфференцнр~емая функция. И30, Найти а( у для функции у ° е' в двух случаях: а) х — независимая переменная; б) х — промежуточный аргумент, Считая х независимой переменной, найти а!ау, еслил Из!. у= 1Д+Ж И32.

у- — '"'. Изй, у-~. !хв отдел и. диееаевнцихльнов исчисления Пусть и и е — дважды дифференцируемые функции от переменной х. Найти ~Ру, если: И34. у=из. И35. у= — ". и И36. у = и'Ъ" (лт и и — постоянные). И37. у=а" (а .О). И36. у=!п!/й+оз. И39. у= агс(6 —. з Найти производные у'„у,", у~' от функции у у (х), заданной параметрически, если: И45. Пусть функция у = ! (х) диффере®цируема достаточное число раз. Найти производные х', х", х"', х'" обратной функции х = ! з (у), предполагая, что зти производные существуют. Найти у;, у,"ч и у~' от функции и у (х), заданной неявно: И46. х' + у' = 25. Чему равны у', у" и у'" в точке М (3, 4)? И47.

уз = 2рх. И46. х' — ху+у' = 1. Найти у,' и у, . если: И49. уз+2 1пу = х4, И56. ~У+Я = ае~'~'~' (а) О). 115!. Пусть функция ! (х) определена и дважды дифференцнруема при х < х,. Как следует подобрать козффнциенты а, Ь и с, чтобы функция 1(х), если х ~ х,; Р(х) = а(х — х,)'+Ь(х — х,)+с, если х)х, была дважды дифференцируема. И46. х= 2! — !з, И41. х=асозт, И42. х = а (1 — сбп !), И43. х= е'соз1, 1И4. х = ~' (!), у=3! — !. у=аз!пй у = ю(! — соз!).

у е'з!и !. у = 1~'(!) — И) ч з, пвоизводныя высших позняков !зу ! 152. Точка движется прямолиненно по закону з = 10+ 201 — 511. Найти скорость и ускорение движения. Чему равньз скорость и ускорение в момент времени Г = 2? 1153. Точка М (х, у) равномерно движется по скружности х' + у' = аз, делая один оборот за Т с. Найтн скорость о и ускорение ! проекции точк:1 М на ось Ох, если при Г = 0 точка занимала положение А„(а, О), 1154. Тяжелая материальная точка М (х, у) брошена в вертикальной плоскости Оху под углом а к плоскости горизонта с начальной скоростью о,. Составить (пренебрегая сопротивлением воздуха) уравнения движения и определить величину скорости о и ускорения ?, а также траекторию движения.

Чему равны наибольшая высота поднятия точки и дальность полета? 1155. Уравнения движения точки х = 4 з!п еИ вЂ” 3 соз е>>, у = 3 з>п ь>Г + 4 соз ь>Г (е> — постоянно). Определить траекторию движения и величину ско рости и ускорения. Найти производные указанного 1156. у = х(2х 1)1(х-(-3)з; 1!57. у „! 1156.