Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 13-е издание (Б.П. Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу - 1997 - 13-е издание), страница 16

у= 1/х; К1 1159. у > — к 1!60. у = >1'1 — х 116!. у = х'еь', 1162. у = —, к 1163. у х1пх; 1164. у к 1165. у = хзз!п2х; 1166. у = — '"'" з у>16> <в> найти у!>и». найти порядка. найти найти найти найти найти найти найти найти найти у(в> и уп> у1ЗЕ> у>Ы у>а> у>в» ЮР 626 отдел 11. ДиФФЕРЕицилЛЬИОе иСчиСлвние П67. у = з)пхяп 2хз)п Эх; найти у1>е>. $168.

у= ха!>х; найти у1>ЯЧ И69. у*= зхсозх; найти уц>. 1170. у з1п'х!пх> найти у!'>. В следующих примерах, считая х независимой пе. ременной, найти дифференциалы указанного порядка: 1171. у хе~ найти Уу. 1172. у = 1/$Я найти >$зу. 1173. у = хсоз 2х; найти 1$">у. 1174. у=а'$пх; найти Уу.

1!78. у = созх с)>х> найти Уу, В следующих примерах найти дифференциалы укаЕаяного порядка, если и — функция от х, дифференцируемая достаточное число раз: 1176. у пз; нИти 1реу. 1!77. у=е"; найти Уу. 1!78. у= 1пьп найти >$зу. 1179. Найти >$зу, 1$зу и >$4у от функции у 1(х), считая х функцией от некоторой независимой переменной. 1180. Выразить производные у" и у"' от функции у = $(х) через последовательные дифференциалы переменных х и у, не предполагая х независимой переменной. 1181. Показать, что функция у = С,соз х + С,з)п х, где С, н С,— произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению у" +у О. 1182.

Показать, что функция у = С>с)> х+ Сзз)> х, где С, и С,-- произвольные постоянные, удовлетвояет у авнению Р р у" — у О. 1183. Показать, что функция у = С,е"'+ С,е>.", где С, и С, — произвольные постоянные н Х„Х,— постоянные, удовлетворяет уравнению у"- ($,, + ),) у'+ й,)~,у = О. з з пооизводныв высших позядков 129 1!84. Показать, что функция у л" (С,соз (1п х) + Сзз!п (!их)). где С, и С, — произвольные постоянные н « — по. стоянкая, удовлетворяет уравнению хзу" + (! — 2«) ху' + (! + «') у = О. 1188. Показать, что функция у еат~'(С соз — "+С зйп — '~+ ,/ +е — '~т' (Сзсоз=+С,з!п «Л~ где ффС, и С, — произвольные постоянные, удои.

летворяет уравнению у'" + у .~ О. 1186. Доказать, что если функция ! (х) кисет производную «-го порядка, то ()(. +Ь))" - "Р" ( +Ь), 1187. Найти Роп(х), если Р(х) = азлл+ аф' ь+... +а„. Найти у<">, если: 1!88. у = —. ел+ З '1189. у = —. сл+ е л (1 — «! 1190. у = кз — Зл+ 2 У к з з з и и е.

Разложить фуикиию из оростеашие дробв 1191. у *= . 1192. у ~! — 2л 2193. у* з!и'х. 1194. у = соззх. 1198. у = з!пзк. $196. у = сових. 1!97. у = и!и ах зйп Ьх. $198. у = сои ахсозЬх. 1199. у = з!пахсоз Ьх. 6200. у = з!пз ахсоз Ьх. 1201. у = з!п'х+соз'х. $202. у*= хсозах. 1203. у = и'з!пах, 1204. у = (хз+2х+2)е . 1205. у = ел/х.

$206. у =е*созх. 1207. у = ела!пх. 9 *и' 1ЗО отдал и. диоеаранцизльнов исчисление 1200. у= 1п о+ а о — ь» 1200. у = Г Р(х), где Р(х) — многочлен. 1210. у = хзпх. Найти б"у, если: 1211. у = х"с". 1212. у = —. 1213. Доказать равенства: 1) (с"з(п(Ьх+с))1»1 = а»*(ав+Ьв)лз!п(Ьх+с+ищ) 2) (за* саз (Ьх+ с))1"1 = Ф' (а'+ Ьв)"л соз (Ьх+с+ л~р), где ь а з(пф и аиф = —. т/а~+ ьа ~аз+ ьа 12И. Найти у1"1, если: а) у с)1ахсоз Ьх; б) у с)1ахз)п Ьх.

1210. Лреобразовав функцию 1(х) з(птах, где р— натуральное число, в тригонометрический иногочлен 1И Й А»сов 2йх найти (и> (х) 1 У в а в а в в а По»вжата а1о»= — (г-б й а соа»+ '1 »1о» в 1 со໠— 1»1в», в восвоаьаоватьсв бориуаоа Муавра. 1210. Найти )1»1 (х), если. а) 1(х) = з(пса+'х; б) /(х) = созв'х в) ~(х) = соР'+'х, зле Р— надое полсвкнтельное число (см. предмду1цую задачу). Если Г (х) = гт (х) + 11» (х), Гдс 1 — Миниаа Едниица Н 1 (Х), Гт (Х) — дсйетВИГЕЛЬНЫЕ функции от действительной переменной х, то по определению принимаем: Г (х) Л (х) + 1Г~ (х). $ а произВОдиын Высших порядкОВ 1З! 1217.

Используя тождество ха+1 Б ~к — 1 к+(/ доказать, что ( 1 '~(е] ( 1)» л( ,„+пл з(п ((и+ 1) агсс!дх]. '+ 1 У (1+ ) "+и У н а а а н н а. Прнменнтв Формулу Муавра. 1218. Найти и-ю производную от функции у (х) = агс!й х.

Найти ((а1(О), если: 1219. а) ((х) =; б) ((х) = (1 — Зк) (1+к) 1/1-к 1220. а) )'(х) = х'а ; б) ( (х) = агс!и х; в) ( (х) = агсз!п х. 122!. а) ((х)=сов (нг агса!п х); б) ((х) =з!п (нг агсз(п х). !222. а) ( (х) = (агс!д х)'1 б) ( (х) = (агсз(их)в. !223. Найти )(е1(а), если у (х) = (х — а)ев (х), где функция Ф (х) имеет непрерывную производную (л — 1)-го порядка в окрестности точки а. 1224. Доказать, что функция х з1п е если хчьО, 1 у(х) = О, если х=О (и — натуральное число) в точке х = 0 имеет производные до л-го порядка включительно и не имеет производной (л + 1)-го порядка. 1225. Доказать, что функция е ~~~, если Х~О, у(х) = О, если х=О бесконечно днфференцируема при х = О. Построить график этой функции.

9' )32 отдал и. дивов анцилльиов исчисление 1226 Доказать, что многочлены Чебышева Т (х) —,соз(тагссозх) (т=1, 2...,) 1 удовлетворяют уравнению (! — х ) Т„(х) — хТ,„(х)+ттТ (х) О. 1227. Доказать, что многочлены Лезхандра Р (х) = — [(хз — 1) 1~ > (тжО, 1, 2, ...) удовлетворяют уравнению (1 — хз) Р (х) — 2хР„(х)+т(т+1)Р (х) =О. У н а з а н н е. Пролвфференпнровпть тп+ 1 раз равен- ство (лз-Ц и'= зтли, гае и (л' — 1)ы.

1228. Мнагочлены Чебышева — Лагерра определяются формулой 1.„(х)=гл(х"е )<"' (т О, 1, 2, ...). Найти явное выражение для многочлена 1. (х). Доказать, что Ь„(х) удовлетворяет уравнейию хЕ„(х)+(1 — х)1. (х)+тЕ(х) =О. У н а з з н в е. Использовать равенство ли' + (л — м) и О, гае и лые-". 1229.

Пусть у = 1(и) н и ф (х), где ) (и) н ф (х)— а-кратно дифференцируемые функции. Доказать, что а — ""„=,'5', Аь (х) 1<" (и), Еле гла козффицненты А, (х) (й О, 1,..., и) не зависят от функции ) (и). 1230. Доказать,. что для л-й производной сложной функции у 1 (х') справедлива формула (2х)" (оч( ')+ "(" ) (2х)" '~г" н(хз)+ Елп 1! п (л — 1) (а — а) (и — 3) е ° )( з) 2 З. ПЗОИЗВОДИЫВ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 133 1231.

)Ииогочлекы Чзбыиаво — Эрмита определяются формулой Н (х) ( — 1) е'(е '")'"' (лз О, 1, 2, ...). Найти явное выражение многочленов Н (х). Доказать, что Н (х) удовлетворяет уравнению Нм(х) — 2хН (х)+2пзН (х) = О. У к з з з в в е. Использовать рзвевство к' + 2хп О, гае и е-ье. 1232. Доказать равенство ( е ~о ! о!л)ол! ( — 1) о!л ,л+.

Укзззвве. Првмеввть метов математической ввауккпв. 1232.1 ° Доказать формулу л — '"„ь" ьл=л(~ +т —,') о ьоо. о(лл л! 1232.2. Доказать формулу — ~ — ) — [С, (х) з(п х Эл (х) соз х]о отл гз1пл~ (2л)! л (, ) + Сл (х) 1 — + ° ° ° +( — 1)л— лз лво 2! (2п)! кз тол 1 3„(х) х — + .. ° +( — 1)л ' 3 (2л — Ц! 1233. Пусть — = Р обозначает операцию двфференол пирования и л ((Р) ~'', рз (х) Рь — символический дифференциальный многочлен, где р» (х) (Ф О, 1,..., П) — некоторые непрерывные функции от х.

134 отдал и, лиоеврвнцидльнов исчислвнив Доказать, что /Ю (е' и(х)3 = сг"/(/)+) ) и(х), где Х вЂ” постоянно. 1234. Доказать, что если в уравнении и ~ ~ех'У,м= О е е положить х е', где / — независимая переменная, то это уравнение примет вид: л аа/) ( — Ц... (Π— /г+ 1) у = О, где 0 = —. й ог 6 6. Теоремы Рилли, Лагранжа и Коши 1'.

Тео рема Ролл я. Если: !) функция /(к) определена н непрерывна яа сегменте [а, Ь[; 2) 1(к) имеет конечную производную /'(х) внутри етого сегмента; 3) /(о) /(Ь), то существует по меньшей мере одно чнсло с на интервала (а, Ь) такое, что 1' (с) О. 2'. Теорема Лагранжа. Еслн: )) функция /(к) определена к непрерывна на сегменте [а, Ь[; 2) 1(к) имеет конечную производную 1 (к) нэ интервале (а, Ь), то [ (Ь) — 1 (а) (Ь-а) [' (с), где а < с ( Ь Ьрорнлн*а конечных нриршненид). 3. Теор е ма К о ш н. Если: 1) функция [(к] н н(к) определены н непрерывны на сегменте [а. Ь); 2) /(х) н'3(х) ямеют конечные пронаводнме 1' (к) н 3' (к) на лнтервале (а, Ь); 3) 1'* (х) + а'а [к) че О прн а ( х ( гн 4) 3 (а) ы 3 (Ь), то / (Ь) — / (а) /' (с) — ° где очТсч,,Ь.

3(Ь)-а(а) 3'(с) ' 1235. Проверить справедливость теоремы Ролла для функции /(х) = (х — 1) (х — 2) (х — 3). а- 1236. Функция /(х) 1 — г'хь обращается в нуль при х, = — 1 н х, = 1, но тем не менее /' (х) чь О при — 1 < х < 1. Объяснить кажущееся противоречиестеоремой Ролла. з к тзоРймы >>олля, лагяанзга и коши 13$ 1237. Пусть функция Г (х) ямеет конечную произвалну>о 1' (х) в каждой точке конечного нлиоескоиечного интервала (а, Ь) и Игп 1(х) = И>п 1(х).

м-и>+6 Доказать, что 1' (с) О, где с — некоторая точка интервала (а, Ь), 1238. Пусть: 1) функция / (х) определена н имеет непрерывную производную (я — 1)-го порядка )ь>-п, (х) на сегменте (х, х„); 2) г (х) имеет производную и-го порядка Р"> (х) в интервале (х„х„) и 3) выполнены равенства /(Ъ) -1(х,) -...-1(~.) (~,~х,~...~х„). Доказать, что в интервале (х„х„) существует по меньшей мере одна точка $ такая, что 1>м (Ц ° О. 1239. Пусты !) функция ) (х) определена и имеет непрерывную производную (Р + 4)-го порядка 1»'>ч> (х) на сегменте (а, Ь ); 2) г (х), имеет производную (р+ д+ 1)-го порядка />я+~+»(х) в интервале (а, Ь); 3) выполнены равенства )() Г() ° ° ° Р () О и г (Ь) г' (Ь) *... )>г> (Ь) О.

Доказнгь, что в таком случае Рг+~+» (с) О, где с — некоторая точка интервала (и, Ь). 1240. Доказать, что если все корин многочлена Р„(х) = аь>Г> + а>х > + ... + а„ (а чь О) с действительными коэффициентами а, (Ь О, 1,..., л) ве>цественны, то его последовательные производные Р;(х), Р (х),..., Р,' >'(х) также имеют лишь вещественные корин. 134!. Доказать, что у многочлена Лежандра Р (х) — — ((х» — 1)") 2"л! ах" все корни вещественные и заключены в интервале (-1. Ц. 136 отдел и. диоовгвнцнхльное исчисление !242. Доказать, что у многочлена Чебышева †Лагерра Е„(х) е' — (х".е ') охх все корни положительные. 1243.

Доказать, что у многочлена Чебышева — Эрмита Н„(х) = ( — 1)"е' — (е ) ххх все корни вещественные. 1244. Найти на кривой у = х' точку, касательная в которой параллельна хорде, соеднняЮщей точки А ( — 1, — 1) и В (2, 8). !245. Верна ли формула конечных приращеннйдля функции /(х) = 1/х на сегменте (п, Ь), если аЬ(О? 1246. Найти функцию О = О (х, Ьх) такую, что /(х+ Ьх) — /(х) = Ьх/' (х+ ОЬх) (Ох 8~1), если: а) К(х) =ах'+Ьх+с (ачьО); б) /(х) =хо; в) /(х) = 1/ж г) /(х) = е'. !248.1.