Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 13-е издание (Б.П. Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу - 1997 - 13-е издание), страница 9

6) тЛ+х — /1 — х; в) ~/1 — 2х — у' 1 — Зх; г) !ах — з1пх. 654. Пусть х- О. Показать, что бесконечно малые а) !'(х)= —; б) 1(х)=е — Ьм 1 1о к не сравнимы с бесконечно малой х" (л ~ 0), каково бы ни было и, т. е. ни прн каком и не может иметь место равенство )цп — = й, где й — конечная величина, ! («) «.+о «" отличная от нуля. 655. Пусть х- 1. Выделить главный член вида С (х — 1)" и определить порядки малости относительно бесконечно малой х — 1 следующих функций: зх а) х' — Зх+2; б) р' 1 — т/х; в) !пх; г) е" — е; д) х' — 1.

отдал ь ввадвние в внвлиз 668. Пусть х-~. + оо. Выделить главный член вила С»" и определить порядки роста относительно бесконечно большой х следующих функций: а) хв+ 100х+ 10000; б) к! — Зк+ 1 ! гт- !!т: ! 1/~+~~+!!т. 667. Пусть х -~ + оо. Выделить главный член вида /1«к С ~ — ) и определить порядки малости относительно бесконечно малой — следующих функций: 1 к а) —; б) «(х+ 1 — «/х; к!+ 1 в) «/х+2 — 2«~х+! + «/»; г) — яп — ° к к 668. Пусть х-в 1. Выделить главный член вида чл С( — ) и определить порядки роста относительно ,) бесконечно большой — следующих функций: 1 к-1 в) —,! к ~'Г:У а) к! — 1 г) 5!и лк д) —.

1пк (1 — к)! 669. Пусть х ~ + ко н г„(») = х" (л = 1, 2,...). Доказать, что !) каждая нз функций г„(х) растет быстрее, чем предшествующая функция ~„, (х); 2) функ. цня е* растет быстрее, чем каждая из функций 1„(х)' (л=1, 2,...). 660. Пусть х- + ао и ~„(х) = в~ х (л = 1, 2..., ). Доказать, что 1) каждая нз функций г„(х)' растет вмдлеинее, чем пРедшествУющаЯ фУнкцна г„в (х)! 2) функция 1(х) =!их растет медленнее, чем кажда!г' из функций 1„(х) (л = 1, 2,...). $1.

напРЙРывнОсть сункции 661. Локазать, что какова бы нн была последовательность функций /, (х), /з (х)...,, /„ (х), ... (хе ( х ц. + оо), можно построить функцню / (х), которая прн «-» + оо растет быстрее, чем каждая нз функцнй /„(х) (и = 1, 2,...). й 7. Иепрерывмость функцнм 1'. Непрерывность функции. Функция /(х) называется непрерывной при х хв (нлн в линке хв), если (цп /(х) /(хв). (!) х~уа т. е. есля функция /(х) определена прн х хе и для каждого в > 0 существует 8 = б (в, хв) > 0 такое. что при )х — хв1с 8 пля всех значевнй 1 (х), имеющих смысл, выполнено неравенство )/(х) — 3(х,))к к Фуякцкя / (х) назмвается непрерывной на данном миожвстт Х (х) (интервале, сегменте н т. п.), если эта функция неяре. рывна в каждой точке множества Х.

Если прн некотором аначеиин х хв, принадлежащем об. ласти определения Х = (х) функции /(х) или являющемся предельной точкой этого множества, равенство (1) не выполнено (т. е. нлн (а) не существует число / (х,), ннымн словамн, функ- ция не определена в точке х = хв, нли (б) не существует Нт/ (х), к~;с, нли (в) обе части формулы (1) имеют смысл, ио равенство между ними ие имеет места), то хв называется точкой разрлыа функнин / Сх). Разлллчают: 1) точка хе разрлыа первого рода, для которыя существуют конечные односторонние пределы: / (хе 0) 11п\ / (х) и / (хв + 0) Нт / (х) х-»х;е х„+о и 2) точки разрыва второго рода — все остальные.

Разность / (х, + О) — / (х,— 0) называется скачком фрнхнни в точке хв. Если выполнено равенство / (хв — 0) / (хв + 0), то тачка разрыва «в называется рстранимой. Если по меньшей л~ере один из пределов / (хв — 0) нли / (хл + 0) равен символу вв, то хв называется точкой бесконечного разрвыа. Еслк выполнено равенство / (х„ — О) - / (х,) ( / (х, + О) - 1 (х.)), то говорит, что функция / (хр) непрерывна слева (сл рава) в точке хв. Для непрерывности функции /(х) в точке хе необходимо и до- статочно равенство трех чисел: 1 (хе 0) 1 (хе + 0) и* 1 (хе) отдал ь ввйданиа в дидлнз й'.Непрерывность злементарных функцнй. Если функцвв 1(х) н й(х) непрерывны прн значеннн к хз, то функцвн а) /(х) жй(х); б) /(х)й(х); в) — (й(х,)тьо) 7 (х) д (х) также непрерывны пря х = «е.

В частностк: а) целая рацнональная функцня Р (х) ье + агз'+ ° ° + азл непрерывна прв любом зваченнн х; б) дробнаа рацнональная функция й ( ) ае + агх + + ачхч ь+ь + ° ° .+ь непрерывна прв всех значенвях х, не обращающих знаменателя в нуль. Вообще основные злементарвые фуннцнн: х", згп х, соз х, (й «, ат, )оке«, агсз!и х, агссот «, агс(ах,... непрерывны во всех точках, где онн определены.

Более общнй результат следувщв/и еслн функцня /(«) непрерывна врн х = х я функцня а(у] непрерывна прв р 1(хе), то функцня а(/(х)) непрерывна прн х = х,. 3'. Основные теоремы о непрерывяых фу н к ц н я х. Если функцня /(х) непрерывна на конечном сегменте (а, й), то: 1) 1(х) огравнчена на етом сегменте; й) достнгает на нем своей внжввй граня щ в верхней грани М (амо. рана Вейерилнрскта); 3) прннямает на канщом интервале (а, ()) с= (а, й) все промежуточные знзчення меягду /(а) н / (р) (глеорела Кааги). В частностн, еслв 1(а) / (р) ( О, то найаетса значение т(а < т( р) такое, что 1(т) = О. 662. Дан график непрерывной функции у = / («).

Для данной точки а и числа в ь 0 указать геометрически число б ь О такое, что 1/ («) — / (а) ! ч- в при 1« — а(ч б. 663. Требуется изготовить металлическую квадратную пластинку, сторона которой «, = 10 см. В каких пределах допустимо изменять сторону х втой пластинки, если площадь ее у = «' может отличаться от проектной //з = 100 см' не больше чем а) на * 1 см'; б) иа ~ 0,1 см", в) на ~ 0,0! см'; г) на ~ в смз? 664. Ребро куба заключается между 2 м и Зм.

С какой абсолютной погрешностью /з допустимо измерить ребро « втого куба, чтобы объем его у можно было вычислить с абсолютной погрешностью, не превышающей вм*,если: а) е = 0,1м'; б) в 0,01 м'; н) в = 0,001м'? 666. В какой максимальной окрестности точки ло = 100 ордината графика функции у = (/«отличается от ординз уе = 1О меньше чем иа а = 10" $1. непРБРызность Функция (л > 0)? Определить размеры этой окрестности при П=О, 1,2,3. 666. С помощью «е — 6»-рассуждений доказать, что функция / (х) х' непрерывна при х = 5.

Заполнить следующую таблицу: 0,0! О,! 0,00! 667. Пусть /(х) = — и з ° 0,001. Для значений ! х, 0,1! 0,01! 0,001;... найти максимально большие положительные числа 6 6(а, х,) такие, чтобы из неравенства !х — х,! « 6 вытекало бы неравенство ! / (х) — / (х«) ! ( е. Можно лн для данного е = 0,001 выбрать такое 6) О, которое годилось бы для всех значений х, иэ интервала (0,1), т. е. таксе, что если )х — х,! ~ 6, то ) / (х) — / (х,) ! с; е, каково бы ни было значение х« Е (0,1)? 666.

Сформулировать на языке «е — 6» в положительном смысле следующее утверждение: функция /(х), определенная в точке х„ не является непрерывной в этой а очке. 669. Пусть для некоторых чисел з 0 можно найти соответствующие числа 6 6 (е, х,) ) 0 такие, что ! / (х) — / (х,) ! ( а, если только ! х — х, ! < 6. Можно ли утверждать, что функция / (х) непрерывна в точке х„если: а) числа е образуют конечное множество, б) числа е образуют бесконечное множество двоичных дробей е — (л = 1, 2,...), ! е" 670. Пусть дана функция /(х) = х+ 0,001 (х]. Показать, что для каждого е) 0,001 можно подобрать 6 ° 6 (е, х) ) 0 такое, что ! / (х') — / (х) ! ( е, если только ! х' — х ! < 6, а для 0 ~ з < 0,001 для всех вначений х этого сделать нельзя.

В каких тачках нарушается непрерывность втой функции? 671. Пусть для каждого достаточно малого числа 6) 0 существует а з(6, х,)) 0 такое, что есзн ОТДЕЛ 1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛНЗ ) х — х, ) ( б, то выполнено неравенство ! г (х) — г (х,) ((е. Следует ли отсюда, что функция 1(х) непрерывна при х х,? Какое свойство функции г (х) описывается данными неравенствами? 672. Пусть для каждого числа е) 0 существует число б = б (е, х,) с 0 такое, что если 31 (х) — 1 (х ) )«" е, то (х — х«! (б.

Следует ли отсюда, что функция 1(х) непрерывна прн значении х х,? Какое свойство функции описывается этими неравенствами? 673. Пусть для каждого числа б ~ 0 существует числов = е (б, х,) Отакое, чтоесли !Г (х) — Г(х«))«.е, то !х х«! (б Следует ли отсюда, что функция г(х) непрерывна при х х,? Какое свойство функции 1(х) описывается данными неравенствами? Рассмотреть пример: 1 атеях, если х рационально, 1(х) = и — агс(йх, если х иррационально. 676.

С помощью «е — бк-рассуждений доказать непрерывность следующих функций: а) ах+ Ь; 6) х'1 в) х'! г) 1/х ! д) у~х ! е) з!п х; ж) соз х; з) агс16 х. Исследовать на непрерывность н изобразить графически следующие функции: 676. ) (х) - ! х!. к« вЂ” 4 :, если х~2; 676. ?(х)= к — з А, если х=2. 677. 1(х)= 1 если хчь — 1 и г( — 1) — про(! + к)* извольно.

678. а) 1,(х) =~ — ~, если х4=0 и /,(0)= 1; !к! 6) 1«(х) = —, если хчьО и )«(0)=1. !к! 679. /(х)= з!п †, если хФО н г(0) †произволь. 1 к 686. У(х)= хз!п —, если хчьО и г(0) О. 1 с з г. непявяывность етнкпни 681. /(х) е-'г*', если хчьО и /(0) О. 682. /(х), если хчь1 и /(1) — проняо«-! 81 вольно. 683. / (х) х!и х', если хчьО и / (0) = а. 684. /(х) зйп х. 685. /(х) = !х). 686. /(х) 1/х — 1 т/х ).

Определить точки разрыва функций и исследовать характер этих точек, если: 687. у=* «1+« 688. у=* —. (1+ «)' 1+ «« ! 1 689. у= . 690. у= «е 1 ««+1 «* — 3«+2 1 1 « — 1 « 691. у = —. 692. у= л $!П « Ч 4 — «г 693. у= соз' —. 694.

у= зйп(з1п — 1. 1 г и ь « «) и соз— 695. у= к 696. у=агс16 —. 1 л « х 697. у= т/х агс(2 —. 698. у= е*ву«. 1 « 699. у= —. 700. у= 1 1 1п«1 — ««Н ' Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиззз графиков следующих функций: 701. у з2п (з(п х). 702. у х — Ы. 703. у х (х). 704. у = (х) з(п пх. 705. у=х« — (х«].