Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 13-е издание (Б.П. Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу - 1997 - 13-е издание), страница 4

й~" „) Доказать, что 1пп х„=1. л~м 150. Доказать, что последовательности х„и у„(п ° = 1, 2,...), определяемые следующими формулами: Хн+ ун хе=а, уз = Ь, х„+, ~/х„у,, у„+,= имеют общий предел р (а, Ь) = [[щ х„= 1[зп у„ а т н т (арифметика-гвомегприческае среднее чисел о и Ь). 2 3. Понятие функции )'. По на та е фу н к ц н н. Переменная у называется однозначной функцией / от переменной к в ванной области нзмененна Х (х), еслп каждому эначенню к ~ Х ставится в соответствие одно определенное действктельное значенне у = /(х), прннадлежащее некоторому множеству У (у).

Множество Х носит наэванне области енргделгния нлн области сущгснмоганил функцнн 1 (к); У называется нножгстгом значений этой функция. В простейшнх случаях множество Х представляет собой нлн открытый нремгжутон (интгргал) )а, Ь[ = (а, Ь): а < л < Ь клн нолуотнрытыг промежутки [а, Ь) (а, Ь): а<х<Ь, [а, Ь[=[а, Ь): а<х<Ь, нлн эамкнутыб промежуток (сггмент) [а, Ь[: а ~ х < Ь. где а н Ь вЂ” некоторые вещественные чнсла нлн символы — ео н + ео (в послевннх случаях равенства нсключаютса). Еслн каждому эначенню к нз Х соответствует одно нлн несколько значений у /(к), то у называется многозначной функцией от х.

й'. Обратная функция. Еслн под х поннмать аюпов значекне, удовлетворающее уравненню /(к) = у, тйе у фиксированное число, прннаддежащее множеству зна- Ь ь. понятна Функции ченвй У фунвняи ! (к), то вто соответствие определяег на мно. аестве У некоторую, вообще говоря, миогозначную фунянию к 1-'(у), называемую обратной по отношеяию н функпян 1(к). Если ункния р = ! (к) монотонна в строгом смысле, т, е. ! (кз) >! (кт! нли соответственно ! (кз) ( ! (к,)) при кз ~ ко то обратная функпня к = 1-' (р! является однозначной н монотонной а том ме смысле.

Определить области существования следующих функ. ций: 151. 1 . 162. у ~3 — ~ . !+к 153. у=(х — 2)л Ч ! — к 154. а) у !ой(ха — 4); б) у=!од(х+2)+!од(х — 2). из. д т/з ГЯ. )и. т ~Г Р. 157. у*=!5(з!п и р!. 158 ~/Г к з пик 159. у=агсз!п — 160.

у=агссоз(2з(пх, 2к !+к звю. и-г|~ Оач1 16|я~ р-(*.н*зтЛББ'. 163. у = с16 пх+ агссоз (2'). 164. у=агсз(п(1 — х)+!6(!Нх). 165. У=(2х)1 165.!. у !ойз!ойз!ойех. 165.2. у = )~!16 я(6 х . 165.3. у /з!и 2х + ~/з(ййх (О < х < 2п). Определить области существования и множество вначений следующих функций: !66.

у- т~2+х — хз . !67. у= !д(! — 2созк). 168. у = агссоз — . 169, у = агсз!п ~!6 — ~. 2к l к !+к* ' ' ~ Ю3' !70. у=( — 1)", !7!. В треугольник АВС (рис. 1), основание кото- рого АС ° й и высота В)7 й, вписан прямоугольник ,К(.Мй(, высота которого й(М х. Выразить периметр 2В отдал ь ввадвниа в анализ Р прямоугольника К!.Мй! н его площадь 8 как функции от х.

Построить графики функций Р = Р (х) и 8 = Б (х). 172. В треугольяике АВС сторона АВ = 6 см, сторона АС = 8 см и угол ВАС х. Выразить ВС = а н площадь АВС = 3 как функции переменной х. Построить графики функций а = а (х) и 8 Я (х). 173. В равнобедренной трапеции АВСР (рис. 2)', основания которой АР = и и ВС = Ь (а)Ь), а высота ИВ = й, проведена прямая М!У й НВ и отстоящая от Рис. 2 вершины А на расстоянии АМ = х. Выразить пло!илкь Я фигуры АВФМА как функцию переменной к. Построить график функции: Я = 3 (х). 174. На сегменте 0 ~ х ( ! оси Ох равномерев распределена масса, равная 2 г, а в точках втой «си х = 2 н .х = 3 находятся сосредоточенные массы по ! г в каждой. Составить аналитическое выражение з з.

понятие отнкцин функции т т (х) ( — ао ( х < + оо), численно равной массе, находящейся в интервале ( — оо, х), н построить график этой функции. 178. Функция у = зйп х определяется следуюшим образом: -1, если х<0; зйпх= О, если х=О: 1, если х)0. Построить график этой функции. Показать, что [х[ = хзяп х. 176. Функция у = [х) (целая часть числа х) определяется следующим образом: если х = и + г, где ив целое число и 0 а; г ( 1, то [х) = л. Построить график втой функции. 177. Пусть у и (х) (х рь 0) обозначает число простых чисел, не превышающих числа х. Построить график этой функции для значений аргумента О < х < 20. На какое множество Е отображает множество Е„ функция у = г(х), если: 178(и). у=х', Е,=( — 1а;х<2), 179.

у=!йх, Е,=(10(х(1000). 180. у = — агс18 х, Е, ( — оо(х(+ оо). 1 181. у=с!й "~, Е,=(0([х[<1). 182. у = [ х [, Е„= (1 < [ х [ а, "2). Переменная х пробегает интервал 0 <х< 1. Какое множество пробегает переменная у, если: 188. у=а+(Ь-а)х. 184. у= —. ! ! — х 188. у= — ". 188. у=.гх-ма. тх — ! 187. у с[йпх. !88. у=х-[-[2х). ВО ОТДЕЛ Ь ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ !69. Найти /(0), /(1), /(2), /(3), /(4), если /(х) ' — 6х'+ Пхк — 6 . 190. Найти / ( — 1), / ( — 0,00!), / (100), если /(х) -16(*) 191. Найти /(0,9), /(0,99), /(0,999), /(1), если /(х) = ! + (х). 192. Найти /( — 2), /( — 1), /(0), /(!), /(2), если ( !+х прн -оо(х а; О, ( 2' прн 0<кС+оо. 193. Найти /(0), /( — х), /(х+ 1), /(к)+1, /( — ), —, если /(к) =— 1+к 194. Найти значения х, для которых: 1) /(к) = О, 2) / (х) ) 0; 3) / (х) ч..

О, если: а) /(х) =х-хь, б) /(х) =з!и —; к в) /(х)=(х+(х1)(1 — х). 195. Найти <р(х)=, если: А а) / (х) = ах + Ь; 6) / (х) = х'; в) / (х) а'. 196. Пусть /(х) = ах'+ Ьх+ с. Показать, что /(х+ 3) — 3/(х+ 2) + 3/(х+ 1) — /(х) ~ 0 197.

Найти целую линейную функцию / (х) ах + Ь, если / (0) = — 2 и / (3) = 5. Чему равны /(!) н /(2) (линейная интерлоляция)? 196. Найти целую рациональную функцкю второй степени: /(х) = ах'+ Ьх+ с, если / ( — 2) = О, / (0) = 1, / (1) 5. Чему равны / ( — 1) и / (0,5) (квадратичная интерпо- ла иия)? !99. Найти целую рациональную функцию третьей степени: /(х) = ах'+ Ьх'+ сх+ й, есин / ( — 1) = О, / (0) = 2, / (1) = — 3, / (2) 5. з! з з. понятна етнкцни 200.

Найтн функцию вида 1(х) = а Ф Ьс", если ~ (0) = 15, ~ (2) = 30, ~ (4) *= 90. 201. Доказать, что если для линейной функции 1(х) «ах+ о значения аргумента х х„(а 1, 2,...) образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции у„= ! (х„) (а = 1, 2,...) образуют также арнфметнческую прогрессию. 202.

Доказать, что если для показательной функцин г(х) а* (а) 0) значения аргумента х х„(п 1, 2,...) образуют арнфметическую прогрессию, то соответствующие значения функции у„Г(х„) (л = 1 ° 2,...) образуют геометрическую прогрессию). 208. Пусть функция 1 (и) определена прн 0 с и (1. Найти области определенна функций: а) Г(з!пх); б) г(!пх); в) г! — !). х 204. Пусть 1(х) = — (а'+а-') (а)0). Пока- 1 зать, что ~ (х + у) + ~ (х — у) = 2~ (х) ) (р). 205.

Пусть ! (х) + ! (у) 1(г). Определить г, еслн а) Г(х)=ах; б) 1(х)=— к в) ~(х)=агс!йх ()х)(!); г) г(х)=!ой + $ Найти ср Ьр(х)), ф (0(х)), ~р Ц (х)! н ар (юр (х)), если: 206. <р(х)=ха н ф(х)=*2', 207. ~р(х)=зоях н ф(х)= —. 1 х ~ О прн х<0, ~ 0 прях<0, 208, м(х)= ! х прн х ~0 ' ! х' прях>0. 32 ОТДЕЛ Ь ВВЕДВНИВ В АНАЛИЗ 299.

Найти 7 (/(х)) ° (Д!1(х))), если 1(х) = —. 1 1 — к Ш|Ю. Пу~ г.~>-УК...~<~Э.На,А<,>, 1(х) = (-; —;- 2Н. Найти ! (х), если ! (х + Ц = х' — Эх + 2. 212. Найти 1(х), если ! (х+ — ) = х'+ — (! х) > 2). 213. Найти 1(х), селим( ~ ) х+~/1+ха (хзО). 2!3.1. Найти ) (х), если 1! — 1= ха. ~х+!/ Доказать, что следующие функция являются монотонно возрастающими в указанных промежутках! 21Я. Дх)= ' (О < х(+ оз). 2!5. ~(х) = з)п х ( — ( х < — . П я 2 2 / 219. 1(х) 12х ( — — (х< — 1.

3 2 / 217. ~(х)=2х+з)пх ( — оо (х(+со). Доказать, что следующие функции являются монаВонио убывающими в указанных промежутках: 218. 7(х) =хт ( — оо(х <0). 219. 1(х) =созх (О ~ х < и). 220, ~(х) =с12х (0<х(п). 221. Исследовать на монотонность следующие функ. ции: а) 1(х)=ах+Ь; б) 1(х)=ах'+Ьх+с;, в) $(х)=А г) ~(х) сх+ Ф д) )(х)=а' (о>0). а 3. понятна Функции вв 222.

Можно ли почленно логарифмировать неравенство? 223. Пусть <р (х), чр (х) и ~ (х) — монотонно возрастающие функции. Доказать, что если <р (х) я,1 (х) < ф (х), 4Р Ьр (х) 1 < У !1 (х) ! аа ф (ф (х) !. Определить обратную функцию х = <р (у) и ее область существования, если: (х 4- — 1) 228. у=зЬх, где ( — оо <х» + оо). 229. у=1Ьх, где 1Ьх= ( — оо < х< + оо).

230. х, если — оо<х<1; у= х', если 1<х<4; 2', если 4<х<+оо, 231. Функция ! (х), определенная в симметричном интервале ( — 1, !), называется четной, если 1( — х) ю1(х); и нечетной, если ! ( — х) = — ! (х). Определить, какие из данных Функций г (х) являются четными, а какие нечетными: ) 1и-3 — ', б) Г(»-у7Г)) нЯ ~»'; 224, у=2х+3 223. у=х'; а) 1 — х 226. у=— 1+к 227. у=~1 — хч; ( — оо <х< + оо). — ао<х<0; б) 0<х<+ао. а) — 1чцх<0; б)0ч;х<1 ВЬх»» — (е' — е ') 2 ОТДЕЛ 1.