Антидемидович 4 - ТФКП (Антидемидович), страница 78

ФУнкциЯ (ее ветвь фиксиРУетсЯ) 1 ьа з ы(а) = [2'(х) — Аь) "' е переводит полуокрестность точки а„в полуокрестность начала координат, причем граничный отрезок действительной оси также переходит в граничный отрезок действительной оси (см. рис. 95). Следовательно, ы(з) по принпнпу симметрии аналитически продолжается в полную окрестность точки аь, и зто продолжение отображает окрестность точки аь в окрестность начала коорлинат 220 Гл. 3. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций взаимно однозначно.

Таким образом, а! — аналитическая функция в точке аь и аг'(аь) ~ О. Представим ее в окрестности точки аь рядом Тейлора: ! а!(х) = (е 'рЦ(х) — Аь)) "' = С!(х — аь) + С!(х — аь) + ... = (х — аь)й(х), й(а„) = С! — — а! (аь) т' О, е 'О(Т(х) — Аь) = (х — аь) ь(й(х)) ' = (х — аь)(х(х), где !р(х) — однозначная ветвь функции (й(х)) ь .

Далее, У(х) = Аь + (х — аь) ь р!(х), о!(аь) й О, 1(х) =ах(х — аь) ь р!(х)+(х — аь) ао!(х) = (х — аь) !' (а! р (х)+(х — аь)О(х)) = (х — аь) ~ 'Ф(х), Ф(аь) в О, Т (х) = (аь — 1)(х — аь) ! Ф(х)+(х — аь) ! Ф'(х), у" (х) (х — аь) ' ((аь — 1)Ф( ) + (х — аь)Ф (х)) (аь — !)Ф(х) Е (х — а!„.)Ф'(х) ау, — ! Ф'(х) х — аь Ф(х) (х — аь) ! 'Ф(х) (х — аь)Ф( ) у'(х) Из полученного следует, что точка аь является полюсом функции хт с вычетом аь — 1. р Рассмотрим функцию х ! !Р(х) = ф,1,1 — А,' — "' .

Это — целая функция н 1пп !р(х) = О. ь=! Действительно, разлоиение функции 7 в окрестности бесконечности имеет вид и тогда Т' (х) О при У (х) тА ьо =! Кроме того, очевидно, что ');-2-- О при х — ! со. ь=! По теореме Лиувнлля !р г— и О. Таким образом, Уе(х) ч-! аь — 1 й — = — !и у (х), Т'(х) ь-' х — аь йх ь=! !и у'(х) = Г(аь — 1)!п(х — аь)+!пС! — — )пС! П(х — аь)"ь Т(х) = с! / П(~ — аь)"' 'АТ+с!. о Равенство (1) называется 4ормулой христоф4еля — шварца, а интеграл в ее правой части— интегралам Кристо44еля — Шварца. Посмотрим, как изменится вид формулы Кристоффеля — Шварца, если прообраз одной из вершин многоугольника, например, вершины А„, равен бесконечности. С атой целью строим следующий автоморфизм верхней полуплоскости плоскости х: б 7.

Конформное отображение многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца 321 Тогда получим: ! и<'. — ) -' вг П(( ) .-' В(+С, = С, / ад (а„- аь — -) — +С! (!) ь=! ! ь=! 1 ! У(г) = У < а„— — у! = У!(г!) = С, г! (в интеграле произведена замена с = а„— — ). После очевидньж несложных преобразований под ! с! знаком интеграла, имеем ,-! г!(г!) = С! / Ц<(!(а„— аь) — !) ь! А(!+ С! = ь=! < !„. — ! — ! — Щ+ Сг — — С' ,/ П(ь! — аь) ' Щ + С!.

(2) а„— аь г ь=! Здесь аь = †, — образы точек аь в плоскости г!. ! В процессе получения формулы (2) множитель исчез в связи с тем, что и — ~~! ах — 2 = О. ь=! Полагая в предпоследнем интеграле формулы (2) нижний предел интегрирования равным нулю, а не —, мы изменяем лишь постоянную С!. Заменив обозначения г! на г н г'!(г!) на г'(г), получим формулу У(г) = С! / Д(С' аь)"' А(' + С! ь=! (3) (Аь~! Аьг!! = / (У (х))дх (й = 1, и — 1), ь олнако на практике осуществить зто удается не всегда.

Существуют такке приближенные методы определения постоянных аь и С!. Интегралы в формулах (1) и (3) называются соответственно иитвграгами Кристо!р4еля— Шварца первого и второго рода. Разница между ними очевидна: в обоих случаях 2,' аь — — и — 2, ь=! хотя в формуле (3) множитель ((' — а„)"" ' под знаком инте!ркта отсутствует.

Формулы (1) и (3) получены в предположении, что точки аь известны. Однако в задачах на конформные отображения задают лишь вершины Аь многоугольника, а точки аь остаются неизвестными. Согласно п.б.! три нз них можно задать произвольно, а остальные аь вместе с С! н С, должны определятся из условий задачи. Это обстоятельство явгиегся главным затруднением при практическом использовании формулы Кристоффеля — Шварца.

Существуют различные методы их определения. Постоянная С! определяется заданием размещения одной из вершин многоугольника. Для определения постоянных а„и С, можно иногда воспользоваться известными длинами сторон многоугольника 322 Гл. 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций 7.2. Случай многоугольника, имеющего вершины в бесконечности.

Пусть вершина Аь и-угольника лежит в бесконечной точке (рис,96). Возьмем на лучах А„,А» и А»А»»! произвольно по точке А'„, А», и соединим их отрезком прямой. В результате получим (и+ 1)-угольник. Функция, отображающая верхнюю полуплоскость на этот многоугольник, имеет вид У(х) = С! /(( — а,) ' ' ... (( — аь) ' '(( — а'„')» ' ... (( — а ) " 'А(+С!, е где а»т и а'„'л — значения углов при вершинах А» и А», а а» и аь — точки оси Ох, соответствующие этим вершинам.

Пусть отрезок А»А",, удаляется в бесконечность, оставаясь параллельным самому себе. При этом точки аь и а'„сливаются в одну точку а», соответствующую вер роз -а»х значение угла пересечения лучей А»,А» и Аь»!Аь в конечной точке А». Тогда из треугольника А»А»А» имеем ч я а»+໠— ໠— — 1, т. е.

а»+໠— 2 = ໠— 1 н формула (!) принимает обычный вид формулы (1), и. 7.1. Ясно, что эти рассуждения можно провести и в случае, когда в бесконечности яе- шине А». Обозначим че- жит несколько вершин многоугольника. Таким образом, формула (1), п.7.1, остается в силе и для многоугольников, у которых одна или несколько вершин лежа~ в бесконечности, если при этом утол между двумя прямыми с вершиной в бесконечности определяется как угол в конечной точке их пересечения, взятый со знаком минус. Заметим, что при таком определении угла в бесконечности остается в силе соот- ношение а» = п — 2 »=! для суммы углов многоугольника.

7.3. Отображение верхней полуплоскости на внешность многоугольника. Проводим рассуждения, аналогичные проделанным в п. 7А. Функция У имеет теперь в некоторой точке а верхней пояуплоскости полюс первого дорялка. Функция же»т наряду с простыми /' полюсами (аь( Ь = 1, и) будет иметь еще простые полюсы в точках а, а с вычетами в них, равными -2. Таким образом, 1' (е) ч ~аь — 1 2 2 у'(г) г-аь г — а з — а ь=! Отсюда У(х)=С! ~ П(( — а ) ь +С. /' .ь-! 'К (( — а)'» — а)' о (2) Здесь а„к — значения внешних углов многоугольника, ,'у а„= п+2, аь — точки действительной ь=! оси, соответствующие его вершинам.

б7. Коиформиое отобрюкеиие мвогоупзльииков. Интеграл Кристоффеля — Шварца З2З 1.4. Отображение верхней полуплоскости иа прямоугольник. Отобразим верхнюю пояуплоскость на прямоугольник Р с вершинами в точках жы, жы+ (вй (рис. 97). Применим принцип симметрии. Пусть функция У отображает первый квадрант на Риа 97 правую половину прямоугольника Р так, что мнимая полуось переходит в отрезок (О, мл) мнимой оси. Зададим соответствие трех пар граничных точек: г О 1 со ге 0 иг ии~ Этим соответствием отображающая функция определяется единственным образом.

Некоторая точка — „> 1 (й < 1) перейдет в вершину ы+ (ы, прямоугольника, й — неизвестно. По принципу ! симметрии функция У продолжается во второй квадрант и продолженная функция (обозначим ее также у) осуществляет отображение верхней повуплоскости на весь прямоугольник. При атом имеем у(-!) = -ы, у (--ь) = — ы+ мио 1з Вид функции У определяется формулой Кристоффеля — Шварца. Подучим: оь = — (й = 1, 4), (аь', й = ! 4) = ~ — — — 1, 1, — З Фиксируем ветвь корня чг! = 1. Тогда, принимая во внимание, что 1'(г)! = С, получаем, =о что С > О, так как положительное направление действительной оси при отображении не изменяется.

Полученная формула содержит два неизвестных параметра С и й. рассмотрим функцию з~ Р(з,й)= дО о (2) гле 0 < й < 1 считается известным. Она определяется зллилтическим интегралам первого рада, й— его молуль. Из предыаушего изложения ясно, что Р(з, й) осуществляет конформное отображение 324 Гл. 8. Некоторме общие вопросы геометрической теории аналитических функций верхней полуплоскости на прямоуголы<ик со сторонами 2ые и ыл, где — полный эллиптический интеграл первого рода с модулем й, Следовательно, Заменив в интеграле переменную по формуле 7 1 — й',тг' й1 — — 1 — й, э г получим: Йт ые —— = К(й~).

,гг(1 - тэ) (1 — й~тэ) Итак, мы получили, что эллиптический интеграл первого рода отобрюкает верхнюю полуплоскость на прямоугольник со сторонами 2К(й) и К(й',). Вернемся к нашему случаю: й, С вЂ” неизвестные стороны прямоугольника, 2ы и ы' — известны. На основании только что рассмотренного имеем ы = СК(й), ы = СК(й ). Эти равенства явяяются системой трансцендентных уравнений относительно С и й.

Она может быть решена с использованием таблиц эллиптических интегралов первого рода. Действительно, пусть ы К(й) ы, К(й') ' Тогда по ззданным т по таблицам можно найти К(й), а затем и С = — „. к<ь> 7.5. Эллиптический синус и его двоякая периодичность. Как установлено выше, эллиптический интеграл первого рода з = Р(эл, й) осуществляет конформное отобралсение верхней полуплоскости С+ — — (м Е С ( 1ш тв ) О) на прямоугольник Рд с вершинами жК, жК+(К,, при этом в вершины прямоугольника переходят точки ж) и ж-' действительной оси.