Антидемидович 4 - ТФКП (Антидемидович), страница 75

Термин "ргвностепенная непрерывность" связан стем, что б в определении выбирается лишь по е и может быть использовано для обоснования свойства, требуемого в определении равномерной непрерывности любой функции У Е 9Л. Определение 2. Множество 9Л функций У: С вЂ” С, заданных в некогпорой области Р, называется равномерно огриниченным внутро Р, если для любого компакта К ««Р существует такая постоянная М = М(К), что 9(» Е 9Л, г Е К) ~У(з)~ < М.

Семейство функций (У )„ел считается равномерно ограниченным внутри В в случае, когда множество 9Л = (У ~ а Е А) является равномерно ограниченным внутри Р. Определение 3. Мнохгество 9Л функций У: С е С, заданных в области Р, называется р а он остепенно непрерывным внутри Р, если ссе > 0 и для любого колтакта К «В дб = б(г, К); 9(У Е 9Л, г' Е К, " Е К) (~г' — гп~ < б) ~ ~У(г') — У(г")~ < е. Семейство фусскций (У„)„ел считается равностепенно непрерывным внутри области Р, если таковым является множество 9Л = (У„~ о Е А). Теорема.

Если множество 9Л функции У: С С, аналитических в области В, равномерно ограничено внутри Р, пю оно равностепенно непрерывное внутри Р. м Пусть К «Р. Обозначим через 2р расстояние между множествами К и дР, т. е, 2р = )л( р(г, (). ек, сепо Очевидно, что р > О, так как К и дР— замюсутые непересекаюшиеся множества. Рассмотрим множество Кс = ( ) (. Е С: ~ — ц < р), *ьЕК которое иногда называют р-раздутием множества К. Очевидно, что К~е~ ««Р и, следовательно, сушествует такая постоянная М(К~в~), что ч(г Е К~е~, У Е 9Л) ~У(х)( < М.

Пусть г' и гп — две любые ~очки из К, для которых ~г' — г" 1 < р. Поскольку К„= (г Е С: ~г — г'~ < р) «К"~, то чг Е К, выполняется неравенство 1»(г) — »(г')) < 2М. Функция 1 = 2(г — г') отобрахсает круг Кр на единичный круг К, = (( Е С: ф < 1). Рассмотрим функцию 1 д(() = — (У(х — рб) — У(х )), д Е А(К,), д(0) = О, 19(()! < 1. 2М Она удовлетворяет условиям леммы Шварца, согласно козорой 9( Е К~ ~д(~)~ < К1, или 1 1 2М вЂ” ~У(г'-р()-У(г')~<!(1, (=-(г-х'), 1У(х)-У(х'Н< — ~х-х'! у ЕК, 2М Р р ВыбеРем б = ш(л (Р, гмг-) . Тогда 9» Е 9Л 1»(гь) — »(г'Л < е.

М 4.2. Принцип компактности. Опвелелевве. Множество 9Л функций»: С -е С, заданных в области Р, называегпся компактным в Р, если из казкдой последовательности (У„) этого множества мозкно выделить подпоеледовательпость (У„„), равномерно сходящуюся на любом компакте К ««Р. Теорема (признак компактности Монтеня). Если мнохгество 9Л функций, аналитических в обласнш В, равномерно огриничено внутри В, то оно компактное в Р.

щ 1) Докажем сначала, что если последовательность (у„) сходится в каждой точке некоторого множества В «Р, всюду плотного в Р, то она сходится равномерно на каждом компакте К а Р 310 Гл. Я. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций (напомним, что множество Яо С Я называется всюду плотным в множестве Е, если кюкдый элемент г б Я является точкой прикосновения множества Уо).

Пусть с > 9 и К Сс Р. По теореме п. 4.! множество функций 9Л равностепенно непрерывное внутри области Р, в силу чего область Р можно с помощью прямых, параллельных осям координат, разбить на столь мелкие квадраты, что Н(г' б К, ги б К), принадлежащих одному и тому же квадрату, а также уу б 9Л будет выполняться неравенство ~1( ') —.(( Р)! < -'. 3 Множество К покрывается конечным числом таких квадратов. Пусть их количество равно р. Поскольку множество Е всюду ила~нос в области Р, то в каждом уььомяььутом выше квадрате найдется точка гь (к = 1, р). Так как последовательность функций (1„) сходится на множестве Е, тО СущЕСтВуЕт таКОЕ П, б )Ь(, Чта ЬЬ(ПЬ > О„П > Пт й = 1, р) ВЫПОЛНяЕтСя Нсраасиетаа с 3 (2) Пусть г б К вЂ” любая точка, принадлежащая й-му квадрату, в котором зафиксирована точ- кагьбЕ.Прит>о„п>п, имеем )У (г) — ь (г)) < <(2 (г) — 3 (гь)Ь 4~~1 (гь) — з„(гь)(+ ~1 (гь) — 1„(г)! < — + — + — = с в силу неравеьютв (1) и (2).

Таким образом, //Т вЂ” 1„9 = опр (у (г) — 1„(г)) < е Н(пь ) п„п ) и„), ЕК т. е, последовательность (1„) равномерно фундаментальная на множестве К и 1„:л. 2) Теперь докажем, что из любой последовательности (1„) функций из множества 9Л можно выделить подпоследовательность (1„,), сходящуюся в каждой точке некоторого множества Е, всюду плотного в области Р. В качестве Е выберем множество точек г из К, у которых действительная и мнимая части рациональные, Е = (гь))о б (ь(). Рассмотрим ьюследовательность ( 1„(гь)) .

Так как она ограничена, то по теореме Больцано — Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательносгь (1„, (г,)). Пусть 1„, (г) = уо ь(г) и рассмотрим последовательность (уьь(гь)). Она также ограничена и из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (1„о ь(гз)). Пусть 1„, ь = Зьь. Из последовательности (Гьь(гз)) можно извлечь сходящуакя подпоследовательность ( 1„, з(г,)) и т.д.

Аналогичное построение можно продолжить неограниченно. При этом получим последовательность последовательностей (уьь(г)), (уьь(г)), .... Выберем теперь диагональную последовательность Зьь(г), Зьз(г), .... Очевидно, она сходится в любой точке множества Е. Действительно, если взять любую точку гр б Е, то все члены последовательности (1„„(г)), начиная с (рр(г), выбраны из последовательности (~рр), сходящейся в точке гр. Поскольку 2) =,~ 1), то принцип компактности доказан.

М 4.3. Функционалы, определенные на множествах функций. Определение !. Пусть 9Л вЂ” множество фуикциа 1: С С, оир ленных в области Р. Отображение 9Л-о С называется функционалом. По определению каждой функции 1 б 9Л ставится в соответствие комплексное число 1(1). ОаРеделенне 2. ФУнкционал 1 называетсн ненРеРмв и им ни элементе уо б йь(, если дол любой иогледовательности (1„) функций из множестви 9Л, равномерно ссодяиьвйся к функции уо на любом комииктв К ьн Р, выиолнявтся равенство !ьш 1(У ) = 1(1о). ьрь ь Пусть, например, Яй — множество всех функций, аналитических в области Р, 1(1) = 1-м з-, а б Р— фиксированная точка. Докажем непрерывносп этого функционала.

Пусть последовательность (1„) функций из множества 9Л сходится равномерно к функции 1о на любом компакте К а Р. По теореме Вейерштрасса уо б А(Р). Пусть К = у = (г б С !г — а! = г) С Р. $4. Принцип компактности. Функционалы иа семействах аналитических фуикций 311 Тогла Уе > О Зи, б )г): У(и > и„з б .У,) (Т„(х) — То(х)~ < е. ПРименим неРавенство Коши длЯ коэффициентов степенного ряда (см, формулу (б), п. 1.7, гл. 5): ~1(Т.)-1(Л)1-~1(Т. То)! < „ Это и означает непрерывность функционала 1. Определение 3.

Компактное мнахгестео функций ОЛ назыааетсл компактным в себе, если предел лкюой последовательности ( 1„) функций из 9Л, равномерно сходящейся на любом компакте К Сч Р, принадлеокит множеству ОЛ. Таким образом, множество 9Л функций 1: С С называется компактным в себе, если из любой последовательности (1„) функций из 9Л можно выделить подпоследовательность (1„,), равномерно схоляшуюся на любом компакте К Сч Р к некоторой функции из гг).

Примером компактного в себе множества функций является множество аналитических в области Р функций, равномерно ограниченных в Р. Теорема. Если функционал 1 непрерывный на компактном а себе множестве 9Л функций 1: С С, то ега модуль )((Я~ достигает своей точной верхней грани, т. е. существует такая функция уо б 9Л, что УТ б 9Л )1(Т)! < )1(То)!. М Пусть а = зпр )1(Т)(, (е„) — бесконечно малая послеловательность положительных чисел. ге ел По свойству точной верхней грани чи ч Я 31„й 9Л: — „<жТ.и<а, откуда 1пп ~1(Т„)~ = а.

Таким образом, существует последовательность (1„) функций из множества 9Л: 1пп Щ„)) = а. Поскольку множество 9Л компактное в себе, то существует подпоследовательность (Т„о), равномерно схоляшаяся на любом множестве К Се Р к некоторой функции Го б Й). В силу непрерывности функционала 1, 1ггп )1(Т„о)( = (1(То)! = а. Отсюда следует, что а < со и г(Т б аг) ь- 11(У)~ < ~1(То)~ ° м 4.4. Теорема Гурвица. Следующее утверждение принадлежит А. Гурвицу (! 859 — 1919).

Теорема (Гурвица). Лусть последовательность (1„) функций, аналитических в области Р, РавнамеРно сходитсЯ к фУнкЦиц 1 й сопзГ ки любом компакте К Сч .Р. Тогда, есги 1(хо) = О, хо б Р, то в любам круге К„= (х б С; 1з — хо! < г) С Р асе функции 1„, начиная с некоторой, также абращаюгпся в куль. м По теореме Вейершграсса 1 б А(Р). Так как 1 й О, то существует проколотая окрестность точки го Ор(хо) = (х б С ( О < )х — хо~ < р) С Р, в которой 1 т- О (нули аналитических функций изолированы).

Пусть р = гпгп|Г(х)), р > О, гле у = (х б С: ~х — хо~ = р). В силу того, что 1„~ У в Его области Р, сУшествУет и„бМ: У(и~ )ио, г бур) 11 (х) — 1(хП < Р н чх с То г = о +(г г). По теореме Руше число нулей у функций 1 и 1, вггутри Т„одинаково, но 1 имеет по меньшей мере один нуль, следовательно, все функции У„при и > и„также имеют нули внутри Т . м Следствие. Если последовательность функций (1„), аналитических и адналистных в области Р, сходится равномерна на любом компакте К Се Р, то предельная функция либо однолигтна, либо постоянна. щ Пусть 1!ш 1„= 1 и 1 Л соим.