Антидемидович 4 - ТФКП (Антидемидович)

А.К Боярчук ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Справочное пособие по высшей математике. Т. 4 М.; Еди<ориал УРСС, 2001. — 352 с. «Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов.

В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики— математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной. Том 4 является логическим продолжением трех предыдущих ориентированных на практику томов и содержит более четырехсот подробно решенных задач, но при этом отличается более детальным изложением теоретических вопросов и может служить самостоятельным замкнутым курсом теории функций комплексного переменного.

Помимо вопросов, обычно включаемых в курсы такого рода, в книге излагается ряд нестандартных — таких, как интеграл Ньютона — Лейбница и производная Ферма — Лагранжа. Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физикоматематических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику. Оглавление Предисловие Глава 1. Основные структуры математического анализа з 1. Элементы теории множеств и отображений Некоторые логические символы (4) Обозначения, используемые в теории множеств (5) Натуральные числа.

Метод математической индукции (5) Простейшие операции над множествами (б) Упорядоченная пара и декартово произведение множеств (7) Бинарные отношения. Проекции и сечения бинарного отношения. Обратное бинарное отношение (7) Функциональное бинарное отношение. Функция и простейшие понятия, связанные с нею (8) Обратная функция. Композиция отображений (9) Параметрическое и неявное отображения (9) Изоморфизм (10) з 2. Математические структуры Группа (10) Кольцо (10) Тело (10) Поле (11) Векторное пространство над полем К.

Нормированное пространство (11) з 3. Метрические пространства Аксиомы метрики. Предел последовательности точек метрического пространства (12) Шары, сферы, диаметр множества (13) Открытые множества (14) Внутренность множества (15) Замкнутые множества, точки прикосновения, замыкание множества (16) ~ 4.

Компактные множества 10 12 8 5. Связные пространства и связные множества 8 6. Предел и непрерывность отображения из одного метрического пространства в другое Предел и непрерывность отображения (20) Непрерывность композиции отображений (21) Непрерывность обратного отображения (22) Предел и непрерывность отображения в смысле Коши. Некоторые свойства непрерывных отображений (22) Равномерно непрерывные отображения (24) Гомеоморфизмы.

Эквивалентные расстояния (25) Глава 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного 5 1. Комплексные числа и комплексная плоскость Определение комплексного числа (26) Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы его записи. Умножение и деление комплексных чисел. Операция извлечения корня из комплексного числа (28) Стереографическая проекция и ее свойства (29) Примеры (31) 9 2. Топология комплексной плоскости.

Последовательности комплексных чисел. Свойства функций, непрерывных на компакте Топология комплексной плоскости (43) Замкнутые множества, отрезок и ломаная. Связные множества (45) Последовательность комплексных чисел и ее предел (45) Свойства компакта К ~: С (47) Предел и непрерывность функции комплексного переменного (48) Арифметические операции над пределами и непрерывными функциями (49) Предел и непрерывность композиции функций (49) Свойства функций, непрерывных на компакте (50) 9 3. Непрерывные и гладкие кривые. Односвязные и многосвязные области Примеры (53) з 4. Дифференцируемые функции комплексного переменного. Связь между С-дифференцируемостью и К~ -дифференцируемостью. Аналитические функции Определение дифференцируемой функции. Правила дифференцирования (63) Дифференциал функции (66) Критерий дифференцируемости функции комплексного переменного (67) Аналитические функции (68) Геометрический смысл производной функции комплексного переменного.

Понятие конформного отображения (70) Плоские физические поля и их связь с аналитическими функциями (71) Неравенство Лагранжа (73) Примеры (73) Упражнения для самостоятельной работы Глава 3. Элементарные функции в комплексной плоскости з 1. Дробно-линейные функции и их свойства Определение дробно-линейной функции. Конформносгь отображения (83) Геометрические свойства дробно-линейных отображений (84) Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы (86) Примеры (88) 70 20 26 76 43 50 63 79 83 83 82.

Степенная функция м = х" (и н Ф, п > 2) . Многозначная функция м = Й и ее поверхность Римана Степенная функция (91) Многозначная функция м = Й и ее поверхность Римана (92) Примеры (93) 8 3. Показательная функция м = е' и многозначная функция г=Ьп и Показательная функция м = е' (94) Многозначная функция з=Ьп м (96) Примеры (96) 8 4. Общая степенная и общая показательная функции Общая степенная функция (97) Общая показательная функция (98) 5 5. Функция Жуковского Определение функции Жуковского. Конформность (99) Примеры (100) 9 6. Тригонометрические и гиперболические функции Примеры (105) Упражнения для самостоятельной работы Глава 4. Интегрирование в комплексной плоскости.

Интегралы Ньютона — Лейбница и Коши 8 1. Интеграл Ньютона — Лейбница Первообразная (149) Интеграл Ньютона — Лейбница (150) Линейность интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям (757) 8 2. Производные и интегралы Ньютона — Лейбница любых порядков Определение п-производной и л-интеграла (153) Формула Ньютона— Лейбница.

Производные по пределам интегрирования (154) Формула Тейлора (156) 9 3. Производная Ферма — Лагранжа. Формула Тейлора — Пеано Производная Ферма — Лагранжа (156) Теорема Тейлора — Пеано и ее обращение (157) 8 4. Криволинейные интегралы Интегрирование функций по ориентированной гладкой кривой (759) Гомотопия двух кривых (путей) (161) 8 5. Теорема и интеграл Коши Существование локальной первообразной аналитической функции (162) Первообразная вдоль кривой (вдоль пути) (165) Теорема Коши (166) Интегральная формула Коши (172) Примеры (173) 8 6.

Интеграл типа Коши 41 97 101 145 149 149 153 156 159 162 175 Определение и основное свойство интеграла типа Коши (775) Гармоничность действительной и мнимой частей аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части (177) Теоремы Лиувилля и Морера (178) Главное значение и предельные значения интеграла типа Коши (179) Формулы Шварца и Пуассона (181) Примеры (184) Упражнения для самостоятельной работы 195 Глава 5.

Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки 8 1. Ряд Тейлора Общие сведения о рядах (197) Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость (198) Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда (199) Нормальная сходимость функционального ряда. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов (201) Функциональные свойства равномерной суммы функционального ряда (203) Степенные ряды (206) Теорема Тейлора (208) Теорема единственности (210) Примеры (212) з 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций Теорема Лорана (219) Классификация изолированных особых точек в С (227) Поведение аналитической функции при подходе к изолированной особой точке (222) Бесконечная изолированная особая точка (224) Примеры (225) Упражнения для самостоятельной работы Глава 6.

Аналитяческое продолжение 8 1. Основные понятия. Аналитическое продолжение вдоль пути Свойство единственности аналитической функции. Определение аналитического продолжения (232) Аналитическое продолжение вдоль пути (234) Инвариантность аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотопных деформаций этого пути (235) з 2. Полные аналитические функции Понятие полной аналитической функции (237) Примеры полных аналитических функций (238) Особые точки полной аналитической функции (239) Существование особой точки на границе круга сходимости степенного ряда (240) з 3. Принципы аналитического продолжения Примеры (241) Упражнения для самостоятельной работы Глава 7. Вычеты и их применения 8 1.

Определение вычета. Основная теорема Вычет относительно изолированной конечной точки (245) Вычет относительно бесконечности (246) Теорема о вычетах (247) Примеры (248) з 2. Целые и мероморфные функции Целые функции (257) Мероморфные функции. Теорема МиттагЛеффлера (257) Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (259) Примеры (262) з 3. Бесконечные произведения Числовые бесконечные произведения (265) Равномерно сходящиеся бесконечные произведения (267) Представление целой функции в виде бесконечного произведения (267) Разложение зшг в бесконечное 197 197 219 229 231 232 237 240 243 245 245 257 произведение (26Р) Род и порядок целой функции (270) Мероморфная функция как отношение двух целых функций (270) Примеры (271) 8 4.