Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Рассмотрим последовательность (Ог„(хз)) окрестностей точки хз, где б„= о(1). Тогда чп б (ч) множество Х„= Ог„(хз) г2 А бесконечное. В множестве Х, выберем любую точку х,. В множестве Х, выберем точку хз Ф х, (зто возможно, поскольку множества Х, и Хз бесконечные). Пусть выбраны различные точки х2, хз, ..., х„, х ч Х () = 1, и). В множестве Х„+2 выберем точку х„ы Ф х, () = 1, 22). По индукции выбрали послецовательность (х„) различных точек х„б А. Из условий р(х„, хз) < б„ н б„= о(!) следует, что хь = !нп х„. Итак, если хь — предельная точка множества А С Х, то из него можно выделить послецовательность различных точек, сходящуюся к х,.
Наоборот, если известно, что нз множества А С Х можно извлечь последовательность различных точек, сходящуюся к точке х, б Х, то хз — предельная точка этого множества, так как любая б-окрестность Ог(х,) содержит бесконечное множество точек из А. Можем теперь сформулировать еше одно определение предельной точки множества А С Х, эквивалентное определению 3. Определение 4.
Точка хь б Х называется предельной точкой множества А С Х, если из него мозкно выделить носяедоватеяьность различных точен (х„), сходящуюся к хь яо метрике пространства (Х, р). Предельная точка множества может принадлежать ему или не принадлежать. Выше было показано, что если множество А замкнуто, то А = А, т. е. замкнутому множеству принадлежат все его точки прикосновения, а значит и все его предельные точки, которые, очевицно, являются точками прикосновения А. Определение 5. Точка хь й Х называется граничной точкой множества А С Х, если она напьется точкой нрикосновения как А, так и СА.
Множество ОА всех граничных точек множества А называется его границей. Из определения следует, что ОА = А й СА = д(СА). В силу теоремы 2 множество ОА замкнутое и может быть пусто. Определение 6. Точка хз 6 А называется изолированной точкой мнозиества А С Х, есяи дб ) О: Ог(хь) П Аг(хз) =й2, т.е. хь — точка прикосновения мнозиества А, не являющаяся его лредеяьной точкой. Определение 7. Пусть Š— нелустое ладмножество мноясества Х. Сужение рЦ2 называется 2 Р расстоянием, индуцированным в Е расстоянием Х К. Метрическое пространство (Е, р), ояредеяенное этим индуцированным расстоянием, называется лодлространством метрического яространства (Х, р). Теорема 5. Пусть (Е, р) — лодяространство полного метрического яространства (Х, р). Оно яаачетсч лояным метрическим пространством тогда и только тогда, когда Š— замкнутое лодмножеонво множества Х.
ц Необходимость. Пусть (Е, р) — полное метрическое пространство. Предположим, что Е не является замкнупям подмножеством множества Х. Тогда существует последовательность (х„) точек множества Е, сходящаяся к некоторой точке х й Х1Е. Поскольку последовательность (х„) фундаментальная (метрика в (Е, р) заимствована из (Х, р)), то вследствие полноты пространства (Е, р) существует 1пп х„= х', х' б Е. Получили последоватеяьноеть точек пространства (Е, р), имеющую два различных предела — адин в Е, другой — вне Е, что невозможно вследствие единственности предела. Источник противоречия — в предположении, чтп множество Е не замкнуто. Гл. 1. Основные структуры математического анализа !8 Достаточность. Пусть Š— замкнутое подмножество множества Х.
Кюкдая фундаментальная последовательность (у„) точек метрического пространства (Е, р) сходится в (Х, р) вследствие полноты последнего, и ее предел принадлежит множеству Е в силу предположенной его замкнутости. Поэтому множеству Е принадлакат все его предельные точки, т. е. метрическое пространство (Е, р) полное. м $ 4. Компактные множества Определение 1. Множество К С Х лазывоетсл компактным в мегприческом пространс те е (Х, р), если всякая последовательность (х„) элементов из К содержит сходящуюся подлоследовательпость.
Если их пределы принадлежат .множеству К, то оно называется компактным и себе, или компактом. Если же зти пределы принадлежат зчножеппсу Х, не принадлежа, может быть, множеству К, то К называется компактным в пространстве (Х, р), или относительно этого пространства. Очевидно, что множество К компактно в себе тогда и только тогда, когда оно компактно в пространстве (Х, р) и замкнуто. Пример 1. Пусть Х = (О, Ц и ч(х б Х, у б Х) р(х, у) = ~х — у~.
Метрическое пространство (Х, р) компактное в силу классической теоремы Больцано — Вейерштрасса. Пример 2. Метрическое пространство (В, р), р(х, у) = !х — у~ У(х б В, у б В) некомпактно, поскольку подмножество его точек И С В не содержит никакой сходящейся последовательности. Однако, всякое ограниченное множес~во Х С В компактно по теореме Бсльцано — Вейерштрасса.
Для компактных множеств точек метрического пространства (Х, р) докажем аналог теоремы о вложенных шарах полного метрического пространства без предположения полноты. Теорема 1 (Кантора), )уусть дана убывающая последовательность К).гКз.г ... ЭК„З непустык замкнутых компактных множеств метрического простралства (Х, р). Тогда пересечение К =.
1 ) Кз не пусто. гт в В кюкдом множестве К, выберем произвольно по точке х,. Получим последовательность (х,), причем (х,; у б ч() С Кы Так хак мнохсество К, компактное, то из послеловательности [х,) можно извлечь сходящуюся подпосле11овательность (х„). Пусть хь — — 1ип х„. ь-. Так как чль б Г( начиная с номера уь > иь все члены этой последовательности принадлежат множествУ К„„и К„, замкнУго, то х, б Кчы Но тогда х, б Д К,. М з =! Определение 2. Пусть (Х, р) — метрическое пространство и е > О. Множество Х1 С Х называет~я с-сетью множества Хг С Х, если чх б Хз существует такой элемент х, б Хы что р(х, х ) ( г. В частности, множество Х, может совпадать с множеством Х. Определение 3. Множество Е С Х называетсл вполне ограниченным в метрическом пространстве (Х, р), если че ) 0 для него имеется в Х конечная е-сеть.
Последнее условие эквивалентно следующему: з(е ) 0 существует такое конечное множество РСХ,чтоухбЕ р(х, Р) <е. Заметим, что из ограниченности множества точек метрического пространства не следует его вполне ограниченность. Определение 4. Пусть М вЂ” произвольное мнолсество. Покрытием множества Е С М называется такое семейство (Вл)лел подмножеств множества М, что Е С О Вх. АЕА Связь между компактностью и вполне ограниченностью множества точек метрического пространства устанавливает следующая теорема.
$4. Комвактиые мнив(яства 19 Теорема 2 (Хаусдорфа). Всякое компактное множество К С Х вполне ограничено в метрическом пространстве (Х, р). т Предположим, что К компактно, однако лля некоторого еь > О не имеет конечной еьсети. Возьмем произвольное х, б К. По предположению множество (х,) не образует еь-сети для множества К, т.е, р(х„К) > е,.
Выберем любую точку х, б К, удовлетворяющую условию р(х(, хз) > еь. Поскольку множество (х(, хз) не является еь-сетью лля множества К, то найдется такая точка х, б К, что р(х„х,) > еь(( = 1, 2). Пусть выбраны точки х„х,, ..., х„, удовлетворяющие условию р(х(, х,) > еь (( ~ 5 д (, )' ( и). Найдем такое х„ы б К, что р(х„х„„) > г, () = 1, и). Инцукпией ло п б Я построена последовательность (х„) точек множества К, члены которой удовлетворяют условию р(х„х)) > еь (( и' 5).
Из послецовательности (х„) нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность, что противоречит предположению о компактности множества К. Источник противоречия — в предположении, что К не является вполне ограниченным. Ы Теорема 3 (Фреше). Если метрическое пространство (Х, р) полное, то каждое вполне огра«иченное в нем множество Е С Х компактно.
т Если Е С Х вполне ограничено, то че > О в множестве Х существует конечная е-сеть для множества Е. Пусть (х„) — произвольная последовательность элементов из Е. Поскольку существует конечное покрытие множества Е открытыми шарами с радиусами, меньшими е, то по крайней мере один такой шар содержит подаоследовательность (х„).
Таким образом, ((е > О из любой последовательности элементов множества Е можно выделить подпоследовательность, расстояние между элементами которой меньше е. Пусть чп б М с„= — „'. Выберем из последовательности (х„) подпоследовательность (х~,") с расстояниями между элементами меньше 1. Из этой лодпоследовательности выделим новую (х'„в) с расстояниями, меньше -,'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
