Антидемидович 4 - ТФКП (Антидемидович), страница 77

Пусть последовательность (У„) функций б б. Соответствие границ н приввип симметрии прн ковформном отображение 315 из множества Щ равномерно сходится на любом компакте К а В и 1пп У„= уа, Поскольку уп б а( !У' (а)! > !д'(а)(, то !га(а)! ~ )!й'(а)!. Кроме того, согласно сяедствию из теоремы Гурвица, ЛИбо уа ы савы, либо Са однолисгна в Р. Случай уа Ы СОПЫ исключается в связи с посЛедним неравенством. Следовательно, Уа б Щ . Рассмотрим на множестве функций Щ функционал 2(у) = у'(а). Поскольку он непрерывен на компактном в себе семействе функций Щ (см.

$4), то его модуль достигает своей точной верхней грани, т. е, существует такая функция Ь б 93(п что 'Ф~ б Щ выполняется неравенство ! г (а)! ( (!Ь (а)!. Рассузкдая от противного, покюкем, что 6(а) = О. Действительно, при 6(а) ~ О функция 6(г) — 6(а) г1 Н(г)= бЩ 1 — Ь(а)6(з) !Н (а)! = > /Ь (а)/, !Ь'(а)! ! — !6(а)!з что противоречит экстремальному свойству функции Ь.

3) Покажем, что Р— а К. Допустим, что это не так. Пусть 6(г) не принимает в В некоторого на значения Ь б К. Поскольку 6(а) = О, то Ь Ф О. Очевидно, что функция Ь не принимает в В также 1 и значения Ь' = г, так как !Ь*! > 1. Тогда можно выделить в В однозначную ветвь Ь( —,'*Т'„—,.

Обозначим ее через 4(г). Очевидно, функция 4(з), как и функция Ф(г) = 4(г) — 4(а) ! — 4(а)4(з) принадлежит множеству Ой. Непосредственным подсчетом находим: 4 (г) = Ь (з)(1 — /Ь! ), 4'(г)(1 — !4(а)! ) й (г) = 24(г)(! — ЬЬ(г)) (1 — 4(а)4(г)) Отсюда Ф'(а) = „= !Ф (а)! = 4'(а) Ь'(а) (1 — !Ь!'), )Ь'(а)! (1 + !Ь!) > !Ь (а)!. 1 — !4(а)!з 2~Ь(! — !Ь!)' 2 „4Ь! Следовательно, Ф б 9)(, и |ар'(а)! > !Ь'(а)!. Последнее неравенство противоречит экстремальному свойству функции Ь. и Следствие.

Любие двс односвлзниг области, гриници которых содержат более чем но одной точке, кон4ормно изомор4ни друг другу. 5 6. Соответствие границ и принцип симметрии при конформном отображении б.!. Теорема о соответствии границ. В теореме Римана ничего не сказано о соответствии границ при конформном отобрюкении, о поведении отображающей функции на границе области. Ответ на затронутые вопросы содержится в следующем утверждении. Теорема (Каратеолори).

Если граници областей Р и Р' ягляются криоьони Жордана, то кон4ормног отоброжекис В В можно продолжить на границу области Р до гомеомор4изма У на замыканий Р и В . Доказательства теоремы здесь не приводим. Заметим только, что условия, налагаемые на границы областей, существенны. Можно показать на примерах, что утверждение теоремы становится неверным, котла границы областей не являются жордановыми. 316 Гл. 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций Установлено также несколько более точных результатов о граничном поведении конформного отображения с жордановыми границами при дополнительных предположениях об этих кривых.

Укажем два из них'Г. 1) Реву*атома Шварца. Если границы областей Р и Р' — аналитические жордаиовы кривые, ! то коиформное отображеиие Р В лродагжаетсл до аналитической фуккции в В. ча 2) Резулыиат бииделефа. Если граиицы областей Р и Р' являются гладкими жордаиовыми кривыми, а Г осущестасяет коиформное отображение Р иа Р', то агв ~'(г) иродолисается до чепрерывиои функции в Р, причем ГГ( б дВ агврч(~) = д' — д, где д и д' — угаы поклона касателаяых к кривым дВ и дР' в точках ( и г(() соответственно. В случае конформного отображения областей, ограниченных кривыми Жордана, условия единственности отобрюкения можно определить по соответствию трех пар граничных точек. А именно, пусть а, Ь, с — три произвольные точки границы дР, а', Ь, с' — трн произвольные точки границы дР', которые устанавливают одинаковые направления их обходов относительно областей Р и Р .

Тогда существует такой изоморфизм  — В, для которого выполняются / иа условия у(а) = а, у(Ь) = Ь, у(с) = с . (1) д, й Действительно, пусть Р К, Р К, К = (г б С: !г( < 1). По теореме о соответствии иа па границ уг осуществляет гомеоморфизм замыканий Р и К, а уг — гомеоморфизм замыканий Р и К.

Пусть гс!(а) = а, гсг(Ь) = )У, Гд(с) = 7, Тг(а ) = а, (г(Ь ) = (), гсг(с ) = 7 . Существует, и притом единственный, автоморфизм единичного круга К Л: К К, удовлетворяющий условиям Л(а) = а', Л(Д) = б', Л(.!) = 7'. Очевидно, что отображение У = уг ' е Л с ~, является конформным изоморфизмом В на Р', удовлепюряющим условиям (!). Пусть теперь кроме Г существует еще изоморфизм В Р', иа удовлетворяющий условиям (1): й(Ь) = Ь, р(с) = с.

й(а) = а, Очевидно, по 97 = г' с й ' является автоморфизмом области Р,, удовлетворяющим условиям: 'тт(а ) = а, 77(Ь') = Ь', гр(с ) = с. Рассмотрим следующий автоморфизм единичного круга К: И 72 97 72 удовлетворяющего условиям Р(а)=О, Р()3)ш)7', Д(7) = 7 и, таким образом„являющегося тождественным отобрахсением е.

Из вида отобразкения д следует, что и р = е, т. е. й = г . 6.2. Принцип снмметрна, Следующяя теорема устанавливает применение принципа симметрии Римана — Шварца аналитического продолжения функций к конформным отображениям. ГГ Читателя, иишрссрюшспмя псасясиисм ксифорашсто стобраисиия иа граииис обчисти, отсмаасм к книгам: Хцмгмсодари Х Коиасрмисс стсбрамсиис. — М.-да ГГГИ, Г 93аг Г у и Г. М. Гссмстрич акая теорие Еуиагшя исмпясасисгс осГммсииогс, М.-Л., 1967. б б. Соответствие граыиц и приышш симметрии при коыформном отобрюкеыыи 317 конформио отображает область В, Ы 7! Г/ Р; иа область Вт Г/ 72 Г/ Р;. Предполагается, что В! 1! В! я3 В2 3! 'В2 Уас. 91 <ч Не ограничивая общности можем считать, что 7! и 12 — отрезки действительной оси, а Р, и Вт — области, лежащие в верхней полуплоскости (рис.9!).

Этого всегда можно добиться с помощью дробно-линейного отображения. Пусть Р, — ! В,. По теореме о соответствии / на границ функция / будет непрерывной в замыкании Р! и устанавливает гомеоморфизм Р, на Р2. При этом, в силу условий теоремы, / непрерывна на 7 и принимает на 7 действительные значения.

Согласно принципу симметрии Римана — Шварца функция / аналитически продолжается в Р; по закону /(*) = /(г), а это и означает, что продоюкенная функция конформно отобрюкает В, 13 -/, О Р; на В2 23 72 и В;. В Рассмотрим задачи. 18. Построить конформное отображение области В, Рас. 92 представляющей собой внешность единичного круга с разрезами по отрезкам тя = (е Е С~ 1 < (е! < а, агпз = — '"„) (й = О, и — !) (рис.92) на внешность единичного круга. <ч Согласно принципу симметрии, задача сводится к построению конформного отображения области П! = (2 Е С~ 1 < !с! < оо, О < агйг < — '" ) (Рис.

93) на себЯ так, чтобы лУчи Гь = (е Е С: (4 а а, агб 2 = О) и Г! - -(2 с С: 332~ > а, агб2 = 2„) переходили соответственно в лучи Га — — (3 6 С: !4 > 1, агй 2 = 0) и Г! — — (2 Е С: !4 > 1, агй 2 = 2„). Это отображение находим как композицию след)чощих отобрюкений: 2 в4 3 + т/в3 1 в4 1 — — ( в,=лт, в,= — (в,+в, ) )! гвт Вз = —,'(ау+ и-2) Отобра.каюшая функция имеет вид: 2 / в=(ау+а Т) и ~ау+а Т+ (аз +а Т)' — (аз +а 2) ) Теорема. Пусть Р! и Рг — две области с жордановмми границами, причем дР! содержит дугу окружности Ты а дВ2 — дугу округкности 72.

Пусть, далее, Р", н Рг — области, симметричные В, и Р, отиосшпельно у! и 72 соответственно. Тогда, если функция / конформно отобразкает В! / на Вт и Ъ вЂ” ! 72, то оиа допускает аналитическое продолжение в Р! и продолженная функция па 318 Гл. 8. Некоторые общие вопросы пюметрической теории аналитических функций в .вз Очевилно, что функция ю, отображает сектор на верхнюю полуплоскость с выброшенным полукругом, шг (функция Жуковского) отображает верхнюю полуплоскость с выброшенным полукрутом на верхнюю полуплоскость, причем точки А, и Аг переходят в точки ж -' (а г + а г ), Функцил пгг отобРажает веРхнюю полУплоскость на веРхнюю полУплоскость, а точки ж-г'(а г + о г ) переходят в точки ж1.

Функция аг, (обратное отображение функции Жуковского) отображает верхнюю полуплоскость на верхнюю полуплоскость с выброшенным единичным полукругом. Ф)нкция аг отображает верхнюю полуплоскость с выброшенным единичным полукругом на сектор бг. м 19. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность правой ветви гиперболы х' у' . г созга з)п а М Согласно принципу симметрии задача сводится к построению конформного отображения верхней половины заданной области на первый квадрант, при котором луч (-оо, сото) переходит в положительную мнимую полуось.

Это отобрюкение находим как композицию следующих отображений: 1 г' ю! з+ ьгг 1 юг (е ягг) егг= ) агг+ ) гег -= ".== — '((-.г" =г))"-'-(-.г"::г)) ") ъ'2 ~, Множитель ' роли не играет, поскольку преобразование ю' = йю при й > О отображает гг верхнюю полуплоскость на себя, м $7. Конформное отображение многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца 7.1. Отобрягкенне верхней нолуцлоскостн на многоугольник.

Пусть требуется отобразить верхнюю полуплоскость з-плоскости на внутренность некоторого многоугольника Ы а С, лежащего в плоскости ю (рис.94). По теореме Римана отображающая функция существует и по теореме о соответствии границ, когда границы рассматриваемых $7. Конформное отобраагеиие миогоупиьииков. Интеграл Кристоффеля — ШваРца 319 областей жордановы кривые, устанавливает гомеоморфизм замкнутых областей. Вершинам многоугольника Ан Аз, ..., А„будут соответствовать точки ам аз, ..., а лействительной оси Ие ограничивая общности, можно считать, что ~% = 1, и аь Е С (в противном случае следует применить такой автоморфизм верхней полуплоскости, чтобы бесконечность переходила не в вершину многоугольника). Рае. 94 Пусть гл = 4(з) — искомая отображающая функция.

Отрезок [ан аз[ она переводит в отрезок [А„А [. Следовательно, по принципу симметрии она продолжается в нижнюю полуплоскость через [а„аз[, н это продолжение будет устанавливать отображение нихгней полуплоскостн на многоугольник, симметричный данному относительно прямой, проходящей через точки А~ и Аз.

Аналогично можно построить аналитические продолжения и через другие отрезки [аь, аьч~ [. Таким образом, полная аналитическая функция, определяемая у, не будет иметь особых точек в нижней полуплоскости и во всех точках действительной оси, за исключением, быть может, множества (аь1 л = 1, и). Следовательно, аь (й = 1, и) — возможные особые точки продолженной функции 2 как полной аналитической функции. Величины внутренних углов многоугольника обозначим соответственно через а~х, азх, а„х. Имеем ~аь=п — 2, О<ах<2. ь=! РассмотРим 2(з) в веРхней полУокРестности точки аь.