Антидемидович 4 - ТФКП (Антидемидович), страница 80

101) и углами: а,зг, аззг, аззг, где а, =О, аз=2, аз= 1 Полагаем а, = О, аз = — 1, аз = со, По формуле Кристоффеля — Шварца получаем: =/( ) =С, / < '(1+0)й(+и=С,( +1+0! — Ы)+ ' . 330 Гл. 8. Некоторые общие вопросы нометрической теории аналитических функций уае гог Зля определения С, воспользуемся тем, что при обходе точкой г полуокружности Т„ = (х Е С: !х( = г, 0 < ага г < л) по часовой стрелке фуггкпия в, определенная равенством (1), получает приращение -)лС, в О(г).

С другой стороны, при этом обходе соответствующая точка в переходит с луча А~Аз на луч А,Аз. Следовательно, приращение функции гьв мачо отличается от -гл. Таким образом, С, = 1. Окончательно имеем в = 1'(а) = а Ч-1 Ч- )па. и 23. Найти конформное отображение верхней полуплоскости 6 = (х б С ~ 1т г > 0) на в— плоскость с разрезами вдоль лучей Т, = (в б С ! Кев < О, )щв = -л) и Тг = (в Е С ! Кев < О, 1гп в = гг) (рис. 102), при котором точки г = Т! переходят соответственно в точки в = ллй гв, гоз М Введем в рассмотрение вспомогательную ('-гщоскость. Функция в = уг(() = (+! +!и( отображает верхнюю полуплоскость плоскосгн ( На ВЕРХнюю полОвиНу Области в и-плоскости (см.

предыдущую задачу). При этом действительная пололпительная полуось 1 = (( Е С ! Ке( > О, 1т( = 0) переходит в действительную ось в-плоскости. По принципу симметрии функция ( г уг(С) аналитически продолжается через эту полуось в нижнюю полуплоскость и это продолжение конформно отображает (-плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси на всю заданную в в-плоскости область. Отобразив ('-плоскость на верхнюю полуплоскость 6, окончательно получим.

в = -а + 1+ 21пг — гл. В 2 24. Найти образ верхней полуплоскости 6, = (х Е С ~ 1щ х > 0) при отобралгении Найти расстояние между параллельными полупрямыми для каждой из пар, составляющих границу области. м По виду функции г' заключаем, что искомая область является четырехугольником с лвумя вершинами на бесконечности: аг = О, а~ — — О, А~ = оо; аз — — а, аз — †-', Аг = 0; аз = Ь, из = О, Аз — — оо; а4 = со, а, = †,, Аг — тРебуется найти. б7. Кввформное отобравгение миогоугольиюгов. Интеграл Кристоффеля — Шварца 331 г .газ Исследуем поведение производной 7'(г) на интервале (а„аз). Имеем 1 У(х) =, ~(з) < 0 згх й(аз, оз), з(з — Ь) ъ'л — о' Г А( гага = — / + О(г) = — — + О(г), / (ЬьгаС Ьх/а г,.

Г„= (7„, 7'"). Следовательно, Ь, = ф-, Аналогично находим Ьн определяя приращение функции га при обходе точкой г полуокружности с центром в точке Ь; "'- Ь,/Ь-. При Ь = 2а, 6~ — — Лз. м 25. Найти конформное отображение круга К = (х Е С (х( < 1) на внутренность п-конечной звезды — 2п-угольника, стороны которого, а также углы (через один), равны.

° Пусть тупой угол звезды равен я(1+ А), тогда ее острый угол равен а. (1 — Л вЂ” т ) . Используя принцип симметрии, считаем, что прообразы вершин острых углов являются корнями и-й степени из единицы, а прообразы вершин тупых углов — корнями и-й степени из — 1. По формуле Кристоффеля — Шварца получаем: м=У()=С~),, 0<Л<1 — —. Г (!+ С")х ДС 2 (1 С-)" о Принимая во внииа~ ие, что 2(1) = Ам находим С. М 26.

Найти вид функции, осуществляющей конформное отображение внешности единичного круга на внешность произвольного и-угольника с внешними углами аья. м Требуемую функцию получим с помощью формулы (5), п. 7.6, заменой х = —,', отобралгаюшей единичный круг на его внешность: ш = У ~-) = С~ / ~~(( — еь) ' —, + Оз. а т.е. ага У'(г) = я и образом интервала (оп а,) является отрицательная действительная полуось. Принимая во внимание, что ог = -,', образом интервала (а„а,) будет отрицательная мнимая полуось.

Теперь очевидно, что вершина А4 принадлежит третьему квадранту, а сама область имеет внд, изображенный на рис. 103. Чтобы найти Км рассмотрим приращение функции 21гс при обходе точкой г полуокружности 7 =(хЕС~х=ге*", 0<зг<я) 332 Гл. 8. Некоторые общие вопросы помегрвчеожой теорвв аналитических функций Заменив переменную интегрирования, полагая Г = — ' и приняв во внимание равенство гг по = и+2, Е ью преобразуем полученную формулу к виду г тт, ь го(Гг го = гг(г,) = С, ~ П((г — аь) ' — + Сг.

М 0 *о 27. Найти конформное отображение внешности круга К К' = (г Е С: 1г~ > 1) на внешнюю г (ь-и часть правильного и-угольника с вершинами в точках Аь —— е' » (6 = 1, и), которые остаются неподвижными при этом отображении. м Отображающая функция определяется формулой (1) предыдущей задачи прн аь —— 1+ -„, аь = А„, С,' = 1, х, = 1, а С,' определяется из равенства А, = уг(Аг): г ' е» вЂ” 1 е 2гз(л д пяп -" С!— гы .)' ((" - 1) = Я г 2 2 / (яп (о) г((о о г ' ) е-"(е*- — 1)к АВ о Упрагкнения дяя самостоятельной работы 1. Доказать, что при Л > 1 уравнение ге" * = 1 имеет в круге К = (г Е С: ~г~ < 1) лишь один и притом действительный корень, 2. Сколько корней имеет а круге К = (г Е С: 1г~ < 1) уравнение е — 4з" +1 = 0 (и Е К)? 3.

Доказать, что уравнение е* = аг" (и Е?() при а > е имеет а круге К = (з Е С: 1г( < 1) и корней. 4. Сколько корней имеет в круге К = (з Е С: ф < 1) уравнение +аог +а,г+аг = О, г имеет в круге К = (х Е С: ~х! < 2) и корней. 8. Разложить в ряд по степеням ю функцию г = д(ю), определенную уравнением ю = е *(е* — 1), а Е?Ч и условием д(0) = О. Найти радиус В сходимости полученного степенного ряаа. 9. Доказать, что внутри области„ограниченной линией уровня модуля функции 7' (т.

е, линией, во всех точках которой 12(х)) = сопзг) и компанию принадлежащей области аналитичности у, найдется хотя бы один нуль этой функции (/ й сопя). 18. Доказать, что когда Р(х) — многочлен степени и и 1Р(х)~ < М ча Е К = (з Е С: 1х~ < 1), тог(е бК' =(е Е С: )4 >1) (Р(х)) » (МЦ".

11. Пусть Р(з) — многочлен степени п„Ег, Вг — два софокусных эллипса с полуосями а„6, и ог, Ь, (а, < аг, Ьг < Ь,) и птсть, палее, М, = игах 1Р(з)(, М, = шах)Р(х)1. Доказать, что *елг *ело мг > мг ггч+ь,г" ' мгьь,г" ' если ~ао) > 1аг~ + )аг) + 1 (и Е И)? 5. Доказать, что уравнение го + аг+ Ь = 0 (а > О, 6 > 0) имеет в первом квадранте один и только один корень, и его аргумент больше —,. й. Доказать, что уравнение (г — 1)е* = г — 2 не имеет решений с отрицательной действительной частью.

7. Доказать, что уравнение Р(г) = Ь, где Р(г) = П -„Яь;, ~аь~ < 2 ой = 1, и и 1Ь! < 2 ьщ Упражнения лая саектоятельиой работм 333 12. Пусть функция у аналитическая в круге Кп — — (х б С: ~х~ < В), уловлетворяет при )4 = В неравенству !1(х)/ < М и обрашается в нуль в точках а„х„..., х„этого круга. Доказать неравенство Ч(х)! < М П !н)*:,*,—,'(! 64 < В) й=! 13. Пусть функция 1 аналитическая в круге Кл — — (х б С: !х! < В) и удовлетворяет тх Е Кп неравенству (~(х)~ < М, а )(0) = О.

Доказать, что !у'(0)~ < м, причем знак равенства возможен только для функции 3(з) = Ме'" л, р Е !й. 14. Пусть -со < а~ < аз < ... < а„< чоо, 0 < оь < 1 (Л = 1, и), ~ аь — — и — 2. Доказать, ьш что любая ветвь функции 2( ) =3'П(( — аь) ' ' К а ью в полУплоскости Сч = (х б С ~ !те > 0) однолистнаа в этой полУплоскости и конфоРмно отображает ее на конечный выпуклый и-угольни. 15.

Найти область, на которую функция х ~-~ м(з) = ) -'м"-)2-ы-, нГ(0) > О, — 1 < Х < 1 — — „ и-Гш отображает единичный круг К = (з Е С: !г~ < 1). Рас. 155 16. Отобразить верхнюю полуплоскость на область, укаэанную на рис. 104 (дуга АС вЂ” полу- окружность) при заданном соответствии точек м(А = аг, В = оо, С = О) -~ х(0, 1, со). 17. Отобразить верхнюю полуплоскосгь Сч = (х б С ! 1пге > 0) на область м-плоскости, указанную на рис. 105, при условии м(А=-Л, В=со, Смй, В=со) — ~х(-1,0, ),оо). Ответы Глава 2 1.

а) о; б) йп — -'. 2. ю = йх. 10. В = ' "в * гол *' *+"" * 'вьюн*""*ь'в" 1 — г! о*вяо о 1 16. з~ — — — 1, и, = 1. 19. а) Окружность с центром в точке а радиуса )2; б) прямая х+у = 1; в) луч, выходящий из начала координат и образующий с положительным направлением действительной Ог г 3 о оси угол а; г) действительная ос!4 д) гипербола (х — !) — у = -„е) эллипс з 4 хо- = 1; ж) парабола у' = 2х+ 1. 20. а) !щ з' = 2; б) !т —.' = -'; в) а'+ у' = 1; г) Ке(г + 1) = (з); д) !з)4 Ке з = 1. 21. а) Кольцо с центром в точке хо и радиусами г и Л; б) правая пачуплоскбстгч включая мнимую осел в) полоса между прямыми х = а и х = Ь; г) область, заюгюченная между окружностями (х — 1) + (р — 1) = 2 и (х — 2)' 4 (у — 2) = 8; д) правая половина единичного круга с центром в точке х = 0 22. х = 12 + 1бо. 24.

а) Ни при каких а; б) =, в) ч'2; г) ни ,з! при каких а. 25. а) ! + г; б) — „', 30. 6) Отрезок (-1, -']. 31. 1) Окружность и + и'— —" = О, если с ~ 0; при с = 0 — ось и = 0; 2) окружность и + "д + —," = О, если с ~ 0; при с = 0 — ось и = 0; 3) окружность (и — —,') 4 (и+ -') = —,'; 4) луч агбго = -а; 5) прямая е = -'; 6) е = — /и/; 7) полуплоскость и > 0 без круга и + о~ — и < 0; 8) полуплоскость и < 0 без круга и'+ с'+ о < 0; 9) окружность х'+ у' — '-, = О, если с и' 0; при с = 0 — ось х = 0; 1О) окружность х'+р'+ х = О, если с и' 0; при с = 0 — ось у = О.