Антидемидович 4 - ТФКП (Антидемидович), страница 76

Допустим, что существуют две различные точки з, б Р, хг б Р и 1(хг) = 1(хг). Рассмотрим последовательность функций (д„), где д„(г) = 1„(г) — 1„(хг) и круг К„= (х б С: )х — ег! < г), г < 1хг — хг~. Имеем )пп д„(х) = 1(х) — 1(зг) = д(х), д(х,) = О. Отсюла, согласно теореме Гурвица, получаем, что все функции д„, начиная с некоторой, также обрашаются в нуль в круге к„.

Это противоречит свойству олнолистности функций Т„. м 312 Гл. 8. Некоторые общие вопросы иометрнческой теории аналитических функций 55. Существование и единственность конформного отображения 5.1. Конформные нзоморфизмы и автоморфизмы. Конформное отображение Г области Р, на Рз назовем канформным изаморфизмам Р, на Вз, а области В| и Рз — канфармна-изоморфными.

Конформцый изоморфизм области на себя называется канфармным аетаморфизмам. Совокупность автоморфизмов произвольной области Р образует группу, которая называется группой автамарфизмае этой области и обозначается символом Л(Р). В качестве групповой операции берут композицию ()зз о (с~)(з) = (сз(уо,(з)), единицей является тождественное отображение е: х з, а обратным элементом к уо является обратное отобрюкение з = чо '(т). Замечание. Слово "конформный** в выражении *'конформный нзоыорфнзи (овтоиорфнзм)" часто булем ллл простоты опускать. го Теорема. Если Р, Хгз — какой-нибудь фиксираеанный изамарфизм, то санакунвкть всех на изоморфизмаа Р, на Вз анределяетсл формулой У =Р ° Уо, где оз — нраизеальный аетаморфизм облатки Рз.

М 1) Очевидно, что тР О Л(Р,) композиция (о о Хо лвляется изоморфнзмом Х), на Р,. 2) Пусть Х вЂ” любой изоморфизм Р, на Р,. Рассмотрим композицию (с = Хо Хо '. Очевидно, что (о О Л(Рз), Т = уоо То 5.2. Примеры автоморфнзмов. 1) Р = С. Пусть )о — любой автоморфизм С. Тогда существует единственная точка х, О С, такая, что )о(зо) = со. Поэтому функция л уо(з), аналитическая на множестве С 1 (зо), в точке зо имеет полюс первого порядка (полюса выше первого порядка не может быть, поскольку функция уо дояжна быть однолнстгюй). Поэтому по теореме Лиувилля имеем А чо(з) = + В. х — хо при зо ,—~ со и ы(з) = Аг + В при зо = со. Таким образом, совокупность всех дробно-линейных отображений образует группу автоморфизмов С.

2) Р = С. Рассу:каая аналогично, получим, что группу Л(С) образует все множество целых линейных функций (с(з) = Аз + В. 3) Р = Ь = (з б С: ~з ~ < 1) . Пусть уо — произвольный автоморфизм единичного круьа К и пусть (о(0) = то. Построим дробно-линейный автоморфизм Л круга К: т — то Л(т) =, Л(то) = О. 1 — тот Рассмотрим композицию Х = Л о уо. Очевидно, !Х(з)! < 1 )гз б К, У(О) = О. Следовательно, )г удовлетворяет условиям леммы Шварца и ЗГз б К 1У(зИ < )4. (1) Рассмотрим обратное отображение Х '(и) = х. Огю также удовлетворяет условиям леммы Шварца и, таким образом, ) Х '(т)) < /т/, или )х) ()Т(з)) 'оз б К.

(2) Из (1) и (2) получаем равенство /Т(з)) = )з/, т. е. Х(з) = еь» з — простейшая линейная функция, а ы = Л ' о У вЂ” дробно-линейная функция. Следовательно, любой автоморфизм круга К является дробно-линейным и, таким образом, имеет вил (формула (3), п.!.3, гл. 3): з — о дт т=еь», )о(<1, обХХ, отагз— 1 — аз' дз 313 $5. Существование н единственность конформного отображения Получили, что автоморфизм единичного круга К зависит от трех лействительных параметров: двух координат точки а и а. Покажем теперь, по, подбирая эти параметры, можно найти олин и только олин автоморфизм Л б й(К), удовлетворяющий следующим условиям нормировки: Л(а) = Ь, ыКЛ'(а) = а, (3) где о и Ь вЂ” любые фиксированные точки из К, а а — любое действительное число.

Действительно, построим два автоморфизма круга К с — о в — Ь (ой()=е", (= (»= 1 — са' 1 — Ьв и рассмотрим автоморфизм Л = и о р. Имеем Л(а) = Ь, Л'(с) = —,, агК Л'(а) = агК р'(а) — агК и'(Ь) = а — 0 = а. и'(()' Таким образом, мы построили автоморфизм единичного круга Л = и о н, удовлетворяющего — 1 условиям (3).

Рассмотрим композицию Т' = и о Л, о р где Л, — другой автоморфизм круга К, удовлетворяющий тем же условиям. Очевидно, у(0) = О, агК у (0) = агзи'(Ь) + агКЛ~(а) — агзр~(а) = 0 е а — а = О. Следовательно, Л,(0) = О, агКЛ~,(0) = 0 и по лемме Шварца Т = е — тождественное отображение, т. е. е = и о Ла о р ~ Л1 = и о р = Л. У(со) = во, агКУ'(со) = В, (1) где зо б Р„во б Ра — нроизвольныс точки, В б Ж вЂ” произвольное число. < Пусть Т), — К, Р, К. Тогда отображение уо — — уа о у, явяяется конформным изод /2 на на морфизмом Р, на Р,. По теореме п.

5.1 совокупность всех отображений Р, на Ра определяется формулой 1 Ч о Уо где (о — произвольный автоморфизм области Ра. Поскольку группа й(Ра) автоморфизмов области Ра зависит от трех действительных параметров, то и совокупность конформных отображений В1 на Рз также зависит от трех действительных параметров. Таким образом, первая часть теоремы доказана.

Пусть Л(зо) = а, агКЯхо) = Вн Уа(во) = Ь, агКУа(во) = В„ а Л вЂ” анюморфизм единичного круга К с нормировкой Л(а) = Ь, агв Л'(а) = В+ Ва — В„ (такой автоморфизм, как мы уже знаем, определяется единственным образом). Рассмотрим следующий изоморфизм Р, на Р,: у = у;"л.у,, (2) (3) 5.3.

Существование и единственность изаморфизмов областей, нзоморфных единичному кругу. Отметим следующее: поскольку группа автоморфизмов единичного круга зависит от трех дей- ствительных параметров, то н группа аатоморфизмоа любой области Р, нзоморфной единичному кругу, также зависит от трех действительных параметров. Следующая теорема устанавливает существование и единственность изоморфизмов областей, изоморфных единичному кругу.

Теорема. Если области Р~ и Ра иэоморфны единичному кругу К, то совокунность изомор- физмов Р, на Ра зависит от трех дсйствительньах нарометров. В частности, существует одно и г только одно отображение Р~ Ра, нормированное условиями на 3 14 Гл. 3. Некоторме общие вопросы геометрической теории аналитических фуикпнй Имеем У(зо) = мо~ агйу(зо) = — ыйуз(по)+агйл(а)+ агйу~(зо) = -Вз+ В+ Вз — В~ +В, = В, Таким образом, доказано, что существует изоморфизм Р, на Р,, удовлетворяющий условиям нормировки (1). Теперь докажем единственность такого изоморфизма.

Пусть существует изоморфизм В| — ~ Рю удовяетворяюший условиям (!). Тогда на Р = г е д Е Л(Рз), Эг(па) = по, агйЭз'(шо) = агйу (зе) — агйд'(ле) = О. Рассмотрим автоморфизм единичного круга К р = Уз е ы е у . Имеем -1 р(Ы= Ь, агйр (Ь) = агйр'(по)+агЛУз(юо) — агйУг(що) = О. Отсюда следует, что р = е и, следовательно, ю = е, т.е. у од ' = е, нли д = Т, м 5.4. Теорема существования.

Теперь естественно возникает вопрос: какие области конформно изоморфные единичному кругу, а значит и конформно изоморфны друг другу? Ответ на посташгенный вопрос содержится в следующей теореме. Теорема (Римана) . Любая односаязиил область, гранича которой содержит белее одной точь ки, конформио изоморфиа единичному кругу К = (з Е С: )з) < 1) . Замечание 1.

Ограничение, наложенное на гранину области, существенное. Расширенную коыгпексную плоскость нельзя конфорыно отобразить на круг, плоскость С даже не гомеоыорфна кругу К (сфера не гоыеоыорфна кругу). Если взять 'С с выколотой точкой, то можно дробно-линейно отобразить ее на С, но С отобразить конформно на круг К нельзя. Действительно, если бы отображающая функиня существовала, то она была бы иглой и ограниченной по модулю еднниней, а гакая функаня по теореме Лнувнлля тождественно равна постоянной. Замечание 2. Если граница олносвязной области содержиг более одной точки, то она обязательно будет содержать бесконечное множество точек, поскольку она связная.

М 1) Покажем, что в области В существует по крайней мере одна аналитическая однолистная функция, ограниченная по модулю единицей. Пусть а Е ВР, Ь Е дР и а ф Ь. Рассмотрим полную аналитическую функцию з ~-~ ы(з) = ф=', допускающую выделение в области Р двух однозначных ветвей л ~ (з~(з) и з ~ (зз(з), так как тз Е В ='„~ ( е . В каждой точке з Е В их значения отличаются знаком. Покажем, что кажлая из этих функций однолистна в В. Допустим, что это не так. Пусть Рь(з,) = ыь(зз) (Ь = 1, 2). Тогда Эзь(з,) = р~ь(зт), что эквивалентно равенству з| — а зз — а (1) з~ — Ь лг — Ь Отсюда, в силу однолистности дробно-линейной функции, получаем равенство зз — — зы ю Фг Пусть Р— ~ Вы В л Вз. Покажем, что Р, н Рт не имеют общих точек.

Предполона ' на жим, что Р, и Р, имеют общие точки. Это означает, что в Р имеется пара точек л, и лз, для которых (л~(л~) = грз(зз). Из этого равенства следует (1), а из (1) — равенство зз = зп т.е. РПз,) = узз(лг). Принимая во внимание, что (е,(лг) = -Эзз(л,), получаем равенства (ль(з,) = О (Ь = 1, 2), которые невозможны, т. к, тз Е Р (лл(з) ф О. Пусть круг Кл = (щ Е С: )ш — ше! < р) С Рз такой, что функция (е, не принимает значений в этом круге, т.е.

Уз Е Вг ~(л,(з) — пе) > р. Поэтому функция л ь-~ д(з) = — (л — —, очевидно, аналитическая и однолистная в Р и Чз Е Р ~д(з)) < 1. 2) Пусть 99 — множество всех аналитических и однолистных в области Р функций, ограниченных по модулю единицей. Оно непустое, поскольку д Е 9Л. Согласно принципу компактности, это множество компактное в Р. Пусть а — некоторая фиксированная точка области Р. Обозначим через ОЛ, часть множества ОЛ, состоящую из всех функций у Е 9Л, для которых 12'(а)) > )д'(а)) > О (послелнее неравенство является следствием одиолистности функции д). Покажем, что множеспю Щ компактное в себе.