Антидемидович 4 - ТФКП (Антидемидович), страница 79

Обращение эллиптического интеграла первого рода называется зииптичесним синусам, его обозначение; тв = зп(г, й). Эллиптический синус является аналитической функцией в прямоугольнике Р, и отображает его на верхнюю полуплоскость С+ — — 1м б С | 1гл тл > 0) . В силу гомеоморфизма замкнутых областей, функция зп переводит отрезок (К, К + (К,) в отрезок [1, ь1) . Следовательно, к ней применим принцип симметрии, по которому она аналитически продолжается в прямоугольник Р„симметричный с Р, относительно отрезка (К, К + (К~), 57. Коиформиое отобразкение многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца 325 причем продолзкенная функция (мы снова обозначим ее через зп) отображает Р, на нижнюю полуплоскость б = (ш б С ] (ш ш < О) (рис. 98). Продолженная функция также удовлетворяет условию принципа симметрии и по этому принципу аналитически продолжается в прямоугольник Рз, симметричный с Рз относительно отрезка [ЗК, ЗК+ зКз] и отображает его снова на верхнюю полуплоскость.

При этом зп(з ф 4К) = зп л )тк Е Ра. Более подробно: точка кы симметричная с к относительно отрезка [К, К+ зК,], переходит в точку зп з, а точка зз — — з+ 4К, симметричная к, относительно отрезка [ЗК, ЗК ф зКз], — снова в точку зп з. р .зз Точно так же можем продолжить функцию зпл в прямоугольник Р,, сиььчетричный с Рс относительно отрезка [ — К+ зК„К + (К,], только это продолжение будет иметь в точке зК~ полюс первого порядка. Продолженная функция зп отображает Р, 'на нюкнюю полуплоскость и азалитически продолжается в прямоугольник Р,', симметричный с Р, относительно отрезка [-К+з2К„К+з2К ], и этот прямоугольник она снова отображает на верхнюю полуплоскость.

Как и выше, получим, что (2) зп(з+ 2г'К,) = зп к 'ьсз Е Ре. Рассуждая в точности так же и далее, мы можем продолжить эллиптический синус на всю плоскость С. Продолженная функция будет мероморфной: в точках зК, + 4Кпз+ 2зКзп, где пз и и — яюбые целые числа, она имеет полюсы первого порядка. Формулы (Ц и (2), очевидно, будут выполняться для любых точек з Е С. Это свидетельствует о том, что функция зп имеет два независимых периода Тз — — 4К и Т, = 2зК,: для любых цельзх гп и и справедливо соотношение (3) зп(з+ 4Ктп+ 2зКзп) = зп з. Мероморфная двоякопериодическая функция, отношение периодов которой янляется строго комплексным числом (не действительным), называется эллильяичвской функцией. Проведенные исследования показывают, что зп з является эллиптической функцией. Равенство (3) свидетельствует также о том, что функция зп л инвариантна относительно группы линейных преобразований вида з к+4Кпз+2зК,п (нз Ело и Е л.). Функции, облапаюшие свойством инвариантности относительно некоторой группы дробно-линейных преобразований, называются авлзпморфными з.

зз зз для автоморфнык фунынзя сущесзвуст откельная короыо разрваотвннвя теория, с «оторо» можно ознакомиться, например, по «нитез л.Р. вирд. Автоморфные функпии, ОНТИ, 1934. 326 Гл. 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических фуикний 7.6. Отображение единичного круга на многоугольник. Найдем общий вид функции, осуществляющей конформное отображение единичного круга на многоугольник. Для этого отобразим единичный круг на верхнюю полуплоскосзь, а затем воспользуемся формулой (1), п. 7.1. ОтобРажение веРхней полУплоскости Сь = (г б С !!шз > О) на кРУг К = (г! б С: !х!! < 1) имеет вид х — Ь х!=, !тЬ>0, г — Ь откуда находим отобрав!ение К на С!.! Ьг, — Ь х! — 1 Подставив в формулу (1), и.

7.1, вместо г правую часть равенства (2), получим: П) (2) *! — ! юму(.)=У( — ) =(,(г,)=С, ~! ЦК-а,)" И(+Сь ~ -1( а ь=! Полагая в интеграле ь = -!з — !, нахолнм: Бс — ь гь,!=с,) П < !' — ) ь Щ + С! —— 1)г + ! -! т-т ! „!!(! = С, / П<(Ь вЂ” аь~! — (Ь вЂ” а„)) ПК! — 1) ", + С,. К, — 1)! ь ь=! ь Поскольку ПК вЂ” 1)'-"ь ! =! = (а! — 1) '=' = ! К! — 1)' (так как и — 2 оь — 2 = О), то ь=! )Д(г!) = С, / П<(Ь вЂ” аь)(! — (ь — аь)) щ+ С! и ь 5 < !,-! (! — Щ +Сз = С! / П(6 — аь) ' 'ьК!+С!, (3) аь — Ь г ь Б = 1п ь Б зь(а!) = С! / ЦК, — аь) ' 'аь!+Сг.

ь=! (4) где аь — точки единичной окружности, в которые переходят точки а„, Если в интеграле, входящем в формулу (3), изменить нижний предел интегрирования, полагая его равнмм нулю, то изменится лишь постоянная С,, а общий вид формулы останется прежним: б7.

Коиформное отображение многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца З27 Заменяя з1 На а, аь — На ах, 2'~ — на 1', полУчим общий вид функции, осуществляющей конформное отображение круга К = [г б С: [з[ < 1) на многоугольник: ((а) = С1 / П(( — аь) ' ~2((+ С2, [аь[ = 1. а=1 (5) Для отображения единичного круга на многоугольник общий вид формулы Кристоффеля — Шварца не изменился. В качестве примера рассмотрим отображение единичного круга на правильный многоугольник. Считаем, что центр многоугольника находится в точке ю = О. Этого всегда можно добиться линейным преобразованием заданного многоугольника.

При построении отображения воспользуемся принципом симметрии. Рне 99 Пусть Обозначим через 7' функцию круга 5 = [х Е С 1[а~ < 1, О < 2 У(1) = А„г (е' [ = А,. 1'(О) = О, Очевидно, что [О, е' 1 — и [О, А2[. Согласно принципу симметрии, функпия 7' аналити- 2 нн чески продолжается в сектор Я' = ~з Е С: [з~ < 1, — '" < ага г < — 7, причем ее продолжение (которое также обозначим через 7) отображает его на треугольник ОА2А2. Рассукдая аналогично, продолжим 7 на весь единичный круг.

Продолжение функции 7 будет аналитической функцией в единичном круге К = (г б С: [з[ < 1), осуществляя конформное отображение его 22ь — О на весь многоугольник, причем 7" (е' ) = Аь (й = 1, и), т. е. точки е' = а„являются прообразами вершин многоугольника. Поскольку ~; пь = па = и — 2, то аь -- а = 1 — — и 2 Ь=1 2 ~(.) = СЗ~(1 — (")7 и А(. о 2 П((-")"ь-' = ((" — 1)-=, Ь=1 П(( - аь) = (" — 1. Ь=1 По формуле (5) получаем: .21Ь-О Аь — — А1е' (й = 2, и).

осуществляющую конформное отображение сектора единичного агд х < — ') на треу2ольник ОА,А2 (рис. 99) при условиях: в силу того, что аь являются корнями и-й степени из единицы и 328 Гл. 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналмтвческих фумкций Определим константу С из условия откуда 2 Полагая в интеграле Г = 1, получим: Ы( = 11 ~ г(1, з 1 Г А, г ! (! (->-х „( Г1; —,,)-х, В (2 1 3) и ! и гле  — блага-4уяхция Эйлера. Окончательно имеем Замечание. Поворотом плоскости» на угол о вокруг начата координат можно побиться того, что прообразом вершины А| будет любая заданная точка с' единичной окружности. Из формулы (2), п. 7.3 с помощью дополнительного дробно-линейного изоморфизма плоскости» легко получаем формулу отображения внутренности единично~о круга на внешность многоугольника (6) Здесь предполагается, что центр круга переходит в бесконечно улаленную точку.

Рассмотрим задачи. Рес. ню 20. Отобразить верхнюю полуплоскосзь С+ — — (» б С ~ 1пг» ) О> на ромб в ш-плоскости с углом хи при вершине А и стороной г( (рис. 100). Соответствие точек задано схемой гв (А = О, В ы г(, С = г((! + ег "), В = нег"") -г»(0, 1, со, -1). Обосновать возможность такого отображения. ° 4 Пусть функция гв = у(») осугцестшшет конформное отображение первого квадранта на треугольник АВС.

При атом 1(0) = А, у(1) = В, 1(со) = С. 57. Конформное отобракеине многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца 329 Согласно свойству соответствия границ, прообразом стороны АС будет мнимая полуось х = гр (у > 0). По принципу симметрии функция / аналитически продолжается на всю верхнюю полуплоскосгь и это продолжение осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости на ромб. При этом /( — 1) = Р. По формуле (3), п. 7.1, имеем в=с/С" (1 — Ь ) "а'(. Постоянную с находим из условия с /(1) ~ + (1 () А( Р(,1 а), о откуда с =, . Окончательно получаем: в(я,з- ) ' !' 21.

Найти конформное отображение верхней полуплоскости 6, = (х Е С [ 1гпх > О) на область, содержащую первый квадрант, граница которой состоит из полупрямых 7, = (в Е С [ Кев ( О, !гпв = Ц, 7, = (в Е С [ Кев > О, !шв = -1), а также из отрезка [-з, г[ Соответствие точек задано схемой в(г, — з, сс) — ! а( — 1 1! со). и Согласно формуле (3), п.7.1, при а, = -1, аз — — 1, аз —— со, а! = —, а, = — имеем 3 ! ! //1+(Х, з = /(х) = С, 7 [ — [ А( + Сп l ~1-д ! ! / /1.!.»гзз 2 2! в(П=С = — ', в( — 1)=!=С!/! ~ — ~ !(( — 1= — Сзя — г, Сз=- —, l [ -(,) зг ! 2! //1+(~з 2! г г —; в = /(г) = — — з( 1 ) А( — ! = — (Х/1 — г' — асса[па) . 1» ту 11 — () т ~~ ! 22.

Найти конформное отображение верхней полуплоскости б» = (х Е С [!шх > 0) на верхнюю полуплоскость Р» = (в Е С [ 1шв > О) с разрезом вдоль луча 7 = (в б С [ Кев < О, 1шв = зг). М Область в плоскости в является треугольником с двумя вершинами А!, Аз на бесконечности (рис.