Антидемидович 2 - ряды (Антидемидович), страница 3

1. Ряды Пере»но!кая почяенмо эт» неравенства, получаем ан(0 — з) < а„< (О+а)" ан, откуда Теперь видно, что увеличением числа и можно достигнуть неравенства и а -н э+е — „<ан(О+с) ( — ! <е, О! Д! показывающего, что а„= о(д!"), И азэ! 26. Доказать, что если Вш — = а с 1, а„ > О, то ряд " а„ сходится.

а„ и=! » Выберем е > 0 таким, чтобы выполнялось неравенство с < 1 — О, В силу существования конечного верхнего предела, для выбранного с найдется такой номер Л', начиная с которого справедливы неравенства 0( — <у+с, !=!!',и — 1. а,+! Перемножая зти неравенства, находим 0 < а„< (д + е) (к+ )" Поскольку ряд 2 (О+с)" сходится, то, в силу теоремы 1, заключаем, что рлд ~ а„также сходится. Обратное утверждение неверно.

Рассматривая, например, ряд ! 1 1 1 1 1 — + — + — + — + — + — + ..., 2 3 2' 2! 2з Зз замечаем, что — а„эг, 1 гз!" йщ — = йш — (-) =со, з- а -«2 !2) в то время как ряд а„= ~~! ( — + — ), образом, из того, что ряд ) а сходится, не следует, вообще э=! 1. И очевидно, сходится, Таким говоря, что 1пп — '"-З-' = е < 27. Доказать, что если пш "/аэ ж О, а„> О, то: а) при а < 1 ряд ~ а„сходится; б) =! при О > 1 этот ряд расходится (обобщенный признак Коши).

и Пусть д < 1. Для фиксированного с, удовлетворяющего условию 0 с с < 1 — е, в силу условии примера, найдется номер Л!, начиная с которого выполняются неравенства 0(анэ! <(О+с) э,, 0<а,((д+е), 0+а<1 Но так как ряд ~ (е+ е)" сходится, то, по теореме 1, из последнего неравенства вытекае что ряд ~ а сходится. Пусть д > 1.

Тогда для е, выбранного из условия О < е < Π— 1, найдется номер йу такой, что при всех й > М члены последовательности (а ь) ( т/а ь О при пь оо) будут удовветворять неравенствам а + >(т а) м+! а >(Ф е) и+э,...,а ь>(9 а) ь, 9 е>1. 14 Гл. 1. Ряды зз ~('"" о" — о)' а=1 Ч Составляя отношение — "=(" ' )'(+Ч'=(" ' + (Ч) ("-'+ (Ч) = =1+ + — +о( — ) =1+(-+д) — +а(-), и оо, получаем йш п ~ — '" — 1) = д+ 4 и, на основании признака Раабе, заключаем, что данный (,1 2 ряд сходится при г + 4 > 1, И ~-~ (,д(д+ 1) ... (0+ и — 1)/ и Приводя отношение —" к виду а — "=( — ",.)'=( я) = """(-') при л со н пользуясь признаком Раабе, устанавливаем, что ряд сходится при а(д-р) > 1 35.

Доказать, что если для строго положительного ряда ~ а выполняется условие =1 ао р /11 1 — = 1-Ь вЂ” + о ( — ) при и оо, то а„= а ( — ), где с > 0 произвольно мало, причем, ады и 1п / ьп если р > О, то а„( О при и оо, т,е. ао при н > па монотонно убывая, стремится к нулю, когда и со, М Начнем со случая, когда р > О.

Фиксируя произвольное со, 0 < сз < р, из условия существования предела йп и ( †'" — 1) = р находим и ю 1+ . « — ' 1+ —., г = М в-1, р — сс а, р+ сс а,ег 1 где М вЂ” достаточно большой фиксированный номер. Из написанных неравенств следует, что (1 Р— ."И"". ") ("'=").— '" (""")(""") (""— ",) Отсюда, учитывая, что а„> О, а также пользуясь неравенством Бернулли, получаем ( + йю) ( + 'Ф) " (1+ Б'-) 1+ ( -") (-'+ — '„+ " + —.',) Поскольку р — со > О, а л + —,, + ...

+ —, оо при и со, то из неравенства (А) 1 1 1 вытекаег, что а„0 . Принимая во внимание еще, что при р > 0 последовзлельность (а ) г1г монотонна (зто видно из того, что при п > по, где вз — достаточно большое число, с > о (-), следовательно, — "" > 1), убеждаемся в справедливости второй части утверждения. ег Для доказательства первой части утверждения (р — любое, а с > 0) покажем, что 1пп (и" 'а ) = О. Вводя обозначение с„= пт 'а„и составляя отношение — ", получаем ю' — = (1+ -) — ж (1+ — ) (1+ — +о(-)) = =( — '."(Ц) ("$" (Ц) ="-."( ) "-" З 1.

Числовые ряды. Признаки сходимостн знаконостоянных рядов 15 Замечаю, что это отношение имеет тот же вид, что и — ", на основании доказанного выше, 41 приходим к выводу, что с„-! О при и со. и Исследовать сходимость ряда ~ а, если: =! 36. а„= (г/и + 1 —,/и)р1п —, и > 1. и+ 1' М Преобразовывая выражение для общего члена ар и используя при зтом разложения (1+ х), 1п(1+ х) по формулам Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, имеем а„= 1п(1 — — ) =и ! (2+а( — )) (- — +а( — )) = =и з2"Р(1+о( — )) (- — +о(-)) жО' — р, и со. !,и'~р/ Видим, что, по теореме 4, ряд сходится при р > О.

н 37. а, = 1об! 1+ — ), а > О, 1 > О. ",/а ! и Пользуясь приемом предыдурцего примера, имеем Следовательно, по теореме 4, ряд сходится, еспи 4 ф 1. р 38. а„= (с — (1+ -) ) и Попьзуясь разложениями функции х ! !и(1+ х) цо формуле Маклорена, находим а„= (е — ехр (и1п (1+ — ) )) = е (1 — ехр ( — 1+ и (- — — + о ( — )))) =ся(1 — (1 — — +о (-)) +о (-)) =О ( — ), п оо.

Таким образом, если р > 1, то, согласно теореме 4, ряд сходится. и и 39. Доказать признак Жамз: положительный ряд ~~ а„сходится, если (1 — ~/ао) — > 1п и =1 и р > 1 при и > ио, и расходится, если (1 — фара) — < 1 при и > ио. р! р!" Ч Непосредственно из первого усяовия находим О < а„< (1 — — ) (заметим, что прн и > ир выполняется неравенство 1 — —" > О ), откуда р! О < ар ( (ехр(и(п (1 — —.)) . Используя разхожения функций х р-! 1п(1+х), е по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, из последнего неравенства имеем неравенство О<а < — ехр — р — +о — рж — — рз — +о —, и со, ир ( 2и ( и / 1 ир 2ир+' 1,ире! ) ' из которого следует (иа основании теоремы 4), что ряд сходится црн р > 1. Поступая аналогично, из второго неравенства условии примера можно найти, что а > — — — +о~ — /1 =О (-), и со.

2' 1, '/ 'ь/' Последнее неравенство оаначает, что ряд расходится. н Гл. 1. Ряды 40. Доказать, что ряд ~~1 а», а > О, сходится, если существует о > 0 такое, что »! 1в а„' 1» — > 1+ а при и > из, и расходится, если —;„-'„- ч 1 при и > ио (логарифмический 1п и признак). 1 М Из условий примера легко получаем неравенства 0 < а„< -;-хх пРН и > иа (ПЕРвый 1 случай), а также неравенство а„> — „при и ) ио (второй случай). Следовательно, по при- знакам сравнения, можно утверждать, что в дервом случае ряд сходится, если о > О, а во втором расходится.

М Исследовать на сходимость ряды с обшим членом а„, если: 1 (1п(1п и))м " ' М Поскольку -"-,-з- = — (и(;--)с — = 1п(1п(1пи)) > 1,1 прн и > ехр(ехр(ехр1,1)), то, согласно логарифмическому признаку, ряд сходится (см. пример 40). м 1 42. а„= ...и>1, й В силу оценки 1п па„(!и(!и и)) 1п и !в и ~й~~и и' справедливой при достаточно большом и ~ Ьп, = 0), на основании логарифмического признака утверждаем, что данный ряд расходится. !» Пользуясь интегральным признаком Коши — Маклорена, исследовать сходимость рядов с общим членом а 1 43.

а = —,и>1. и!лги' м Функция 1: х» —,, при х > 1 является положительной и, судя по знаку производной, убывающей (при любом р и достаточно большом х ). Позтому для исследования данного ряда иа сходимость можно применять интегральный признак Коши, Имеем 2 2 при р > 1. Следовательно, ряд также сходится при р > 1, и 44. а 1 , и > 2. "= и(! и)г(!п(1пи))ч' м Как и в предыдущем примере, нетрудно установить, что здесь применим интегральный признак. Рассмотрим интеграл 1= ах / аг х!вгх(Д (),х))ч= 1 Г М Г' Если р = 1, то отсюда находим, по и!ыз1 при 4 > 1.

Следовательно, ряд сходится при р = 1 и 0 > 1. Если р ) 1, то в силу того, что Бш — '„= О при а > 0 и любом т, можем написать г +с —,„,, < —,„при достаточно большом Г > О, где р ~ >а > 1. '1 1. Числовые ряды. Првзиакя сходимости зпакопостояииых рядов 17 Аналогично, если р < 1, то при достаточно большом ! > О справедливо неравенство г 1 — „... > —,„,гдер<а<1. А тогда, на основании признака сравнения, можем утверждать, что рассматриваемый интеграл сходится, если р > 1, и расходится, если р < 1 (в обоих случаях Π— любое).

Это же, согласно интегральному признаку, относится и к данному ряду. В 45. Исследовать сходимость ряда ~~, где и(п) — количество цифр числа и. к =г ч Легко показать, что «(и) = ()Оп) + 1 < !ап+ 1. Так как -"~4 < '-Ч + — ', и ряды ! 1 — -„и сходятся, то, согласно теореме 1, п.1.5, сходится и данный ряд 46. Пусть Аю и Е 74, — последовательные корни уравнения гбз = х. Исследовать сходнмость ряда ~ ~А„ =1 П ГрафИЧЕСКИ МОЖНО уетаНОВИтЬ, ЧтО дпя А„> 0 СнразсдЛИВЫ НЕраВЕНСтВа Пт < Ао < пя+ "-.

Тогда г ' 1 1 1 г< г< гг (пт + х) ~~й и, в силу гь! 4, данный ряд сходится. Аналогично поступаем в случае А„< О. В 1 47. Исследовать сходнмость ряда ~ 1п(п'. ) з=г 1 и Согласно интегральному признаку Коши — Маклорена, ряд 2 — расходится. Поль»=г зуясь неравенством 1в(и!) < и!и и и теоремой 1, п.1.5, заключаем, что данный ряд также расходится. В 48. Доказать, что ряд ~г а со строго положительными монотонно убывающими чле- нами сходится или расхоцится одновременно с рядом ~~ 2 аг =с М Поскольку 0 < аг+аг+аз+аз+ ...