Антидемидович 2 - ряды (Антидемидович), страница 11

При х = 0 имеем Ьп уз(0) = О. Поэтому йш уз(х) = 0 при всех х б [О, 1]. ы б) Поскольку 1' О, если п<1, йш зпр в хе""* = — йш и =~ —, если пж1, 1, а!О,П с ! !' +со, если а ) 1, то, на основании утверждения примера 103, данная последовательность сходктся равномерно только при а < 1. 1 1 в) Поскольку ]' Ьп у»(х)йх =0 а йш ) ~О(х)йх = Бш (( — ', — е "( — „', + —,',))» ) р~в~н з О !О О ! О нуаю лить прн а < 2, то предельный переход под знаком интеграла возможен только прн а<2.

М т 4. Функциональные иосаедоватеяьиости и ряды 133. Показать, что поскедоватеаьиость (у (*)), у„(х) = вх(1 — х)", в Е р), сходитсз неравномерно на сегменте [О, 1], однако 1 1 йп ] У' (х)вх 1 й!и Ги(х) "х в ооа / и ао о о М Очевидно, лредеаьная функцна равна нулш на [О, 1]. Далее, ! и+1 йп вар (вх(1 — х)и = йш ( — ] = — Оа О, ь е1о,!1 у -о !в+1 е поэтому последовательность (1 (х)) сходится неравномерно.

В то же время 1 1 Бш в х(1 — х)и ах = 1пп в ~(1 — з)хи!аз ж йп ж О. Ь / и (в+ 1)(в+ 2) Найти 1)и+1 п 1 ( 1) о1 1-ое-е в хи+1 2 с-е в 2 и! и 1 140. Вш ~~~ (хи — хио'). и1 4 Поскольку даннмй ряд скодится неравномерно на [О, 1], то мы не имеем права переко.

дить к пределу под знаком суммы. Позтому найдем этот предел, предварнтехьио вычислив сумму данного ряда. Имеем ии1 ° а 141. йп ~~! ' — „ 1 ч Данный ряд, в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно прн х ) О, Поэтому, согласно п.4.5, имеем 1, 1 и 1 1 ао 142. йи 7 ао х а 1 + во хо и 1 ч-и 1 ж~ — =1.ь 2и и 1 аа 1 аа 1 4 Поскольку ввр; — т-т = ит и ряд 1 --т сходится, то, по признаку Вейерштрасса, -оа<а<+аа и 1 аа 1 данный Рад сходитск РавномеРно. Заметах еще, что Бш -,о„т=г ж иг, на основании п.4.5 переходим к лредеау дед знаком суммы: з х ась-а 1 а аоС и 1+ввоз ~-~во и 1 139.

йп 'у и! 4 Данный ряд, согласно признаку Абеля, скодитса равномерно в области х ) О. Кроме 1-1! О! " 1 1!иеа того, йш — „' = '--' —, поэтому, согаасно п.4.5, возможен предельный переход а-1-О а +1 1 под знаком суммы: бб Гл. 1. Ряды чз43. Возможно ли почленное дифференцирование ряда ~агс16 — 7 и «! ч Функции х !«агстб — з, и Е И, непрерывно дифференцируемы при [х~ < со. На этом же интервале функциональный ряд ~ атсгб —,, как следует из теоремы 3, п.1.5 (агсгб —, =! 2 при н оо), сходится. Кроме того, ряд пронзводнмх ~ —... в силу признака Вейер«! штрасса, сходится равномерно при [х[ < оо.

Следовательно, согласно п.4Л, почленное дифференцирование ряда возможно. > г' 1 ! 144. Возможно ли почлеиное интегрирование ряда ~~! ![ хз"4! — хз"-! ) !на сегменте «=! [О, 1]2 ч Данный функциональный ряд сходится иа [О, 1] неравномерно. Действительно, длв частичной суммы Я (х) и суммы Я(х) ряда имеем ! я ( ) я( ) О если х Видим, что сумма ряда — разрывная функция, поэтому ряд не может скоднтьсл равномерно.

Следовательно, воспользоваться утверждением п.4.6 мы не имеем права. Тем не менее, поскольку ! ! х!»4! хз»-! Ых = — ~ / = г я'. и( + 1) 2' а "го =! то почленное интегрирование ряда возможно, > Упражнения для самостоятельной работы Исследовать на равномерную сходимость следующие функциональные семейства: 58.

а) уз(х) = з*л ! при у +оз, х Е]0, йсю[; б) Ях) = -!акт при р «+О, х Е]0, +со[; в) уз(х) ю ф з при р +О, х Е]1, +А[; г) ~з(х) = зад-у прн р +О, х Е]1, +со[. 09. Ях) = 16 — „, х Е]0, 1[: а) при у 1; б) при у -«2. 60. Ях) = *'", х Е]1, +оо[: а) при у +со; Ь) прн у +О. Ла 3 61. Ях) = -(е«в — 1), х б]0, +со[; а) прн у +О; б) при р — 0; в) при р — оо; г) при у-~ 1. 62.

тх(х) = дт!'-'аз-*"), х б [1, +со[: а) прн у +О; б) ири р +со. 63. гз(х) = 91п(ха+уз), х Е]0, 1[: а) при у 0; б) при р 1. Исследовать на равномерную слодимость функциональные последовательности: 64. 1„(х) = е "*: а) х б]0, 1[; б) х б [1, +со[. 66. 1„(х) = —,",,: а) х Е]0, 1]; б) х б [1, +оо[. 66. у (х) = +~: а) х е]0, 1]; б) х Е [1, +со[. 67. 1„(х) = [1+ — ), 0 < х < 1. ! 66 у«(х) = ) зщ ~-~.) лр! а) х б]0, 1[; б) х б]0, +оо[.

о « 69. 1«(х) = 1 — „у+да)-Л! а) * Е~О, 1[; б) х Е]1, +ос[. а 14. Функциональные последовательности и ряды 5? 2 " Г 221 уп(я) = Я ало!8 -1-, х б]0, +оо[. 71. Уп(х) = ~ 1п ~1+ —,„2), х Е)0, 1[. О 1 О 1 Предварительно определил область сходимости функционального ряда, исследовать его на равномерную сходимость: 72. ~ (и+1)х".73.

~ — — у.74. ) С+-2 —. ппе п»О пз «» 0« Ю и г!и!1»'— "и1- «. ~ "'. «2, О * 2»О! пз и 1 1 78. Может ли функциональный ряд разрывных функций, сходящийся неРавномеРно на интервале ]а, 6[, представлять на зтом интервале непрерывную функцию? Привести примеры. 79. Пусть йп (/(ап] = 1. Доказать, что ряд ~ апе " * Равномерно сходится при п и по х ) е > О.

Обосновать возможность почленного дифференцнрованна рядов в указанных областях: 80. ~ „„',), О < х < 2т. 81. ~; — — -гп-, ]х] ф 1. 82. ~ —,,„, ]х]< 1. »1 п! п! п! 1 88. Можно ли утверждать, что: а) если фУнкция 7 непрерывна на каждом отрезке [о, д] С]а, 6[, то она непрерывна на интервале ]а, 6[; б) если последовательность (у»(х)) равномерно сходится на каждом отрезке [о, 2?] с)О, 6[, то она равномерно сходится на интервале ]О, 6[; в) если последовательность (!»), 7 б С[а, !У], я Е Р), равномерно сходится на каждом отрезке (а, д) С]а, 6[ к функции У', то на интервале ]О, 6[ предельная функция непременно непрерывна? Найти: »1 и 1 »12 89 йю ~ ((.:Ы У«-'."« *— '"") 90 йгп ~, (-1)п) дх О О+ 3 Г 1ЕО «Х „!+ ~Х-!) 2 91.

Последовательность функций (7„), У„Е ??[а, 6], я Е ?6, называется сходящейся О среднем к функции У' б !С[а, 6], если йю ] ]Я*) — у(*)]Од* = О. Показать, что из равномерной сходимости последовательности интегрируемых функций вытекает сходимость в среднем. «« 92. ФУнкциональный РЯд д,' ап(х), ап б Я[а, 6), называетса сходЯЩзлсл О сРеднем к 1 функции Я на [а, 6), если посаедовательность его частичных сумм (Я (я)), н Е И, сходится в среднем к Я на [а, 6), доказатап что если функциональный ряд с интегрируемыми членами сходится в среднем к интегрируемой функции Я на [а, 6), то !О!хз, х е [а, 6] справедливо равенство ]' Щ 42 = 1, )' ап(2) й. пп: .. п»1щ," „ Гл.

1. Ряды 99. Доказать, что если функционааьпый ряд ~ а„(х) с непрерывно днфференцпруемыми » 1 члеиамн сходнтса поточечно на [а, 6), а ряд ~ аэ(х) сходится в среднем х непрерывной э ! 00 функции о, то функция Я ! х ! ~ а„(х) днфференцируема иа [а, 6] и 5 (х) ж сг(х). ~»! 94. Вытекает лн иэ поточечиой сходпмести иа [а, 6] функциональной последовательности (? (х)) сходимость ее в среднем на этом отрезке? Убедиться, что следующие функциональные последовательности сходятся в среднем, но не сходятся равномерно к функциям, получаемым поточечным предельным переходом: 95. У»(х) = э/йе "*, х Е [О, 1).

99. 1 (х) = — „, х й [О, 1]. 97.,У (х) = ~ -( !г — "-~ — 1[, х Е [О, 1]. 90. У„(х) = — '", х Е]0, +со[. Показать, что почленное дифференцирование следующих рядов возможно: 99. ~ е "* (=,! — -), х е]0, 1[. 100, 2 ( — ) —, х е]0, 1[. ! ! Показать, что почвенное интегрирование следующнк рядов на указанном отрезке возможно: г» 101. ~ (-1)" 'х", х й [О, 1]. 102. ~ О„ы ("„,,1, х Е [О, 2]. »»! »1 ~5.

Степенные ряды 6.1. Круг п радиус сходпмостн степенного ряда. Определение. Ряд вида Е а„(г — а)", где а„, г, а Е !1:, э 0 <1= йш (~~а„[ <+со, 1 =+оо, 1тО, ! если !' О, если +со, если или ио формуле (2) если этоса иредел существует хотя бы в несобственная сяысле. Вне круга [е — а) < В ряд (1) ие сходнтса ин в одной точке х Е а.. Вопрос сходимостн ряда (1) в точках окружности [г — а[ т В, В > О, остается отхрытмм н решаетсз отдельно для казсдого ряда. В случае, когда а», г, а Е 66, внутренность круга сходимостн вырождается в интервал )а — В, а + В[, В > О, иа действительной прямой. Прн В = 0 круг зьэрозапастся в точку з = а, а прп В = +оо представляет вогхллеисную паоскость (нли числовую прямую! если рлд (1) пействигелап), называется отененным рядом; а„— коэффициенты отененного ряда (оми ме зависят от г), а — фиксированная !ломка ма коямлексной плоскости.

Теорема. Каждый отененной ряд сходится абсолютно внутри некоторого круга ]г — а] < В, где родиус круга В ) 0 онределяется но формуле Коши — Адамара $5. Сттгеввые рицы 5.2. Основные свойства отененных рядов. Сумма степенного ряда внутри круга сходимости представляет собой непрерывную функцию. Если ряд (1), п.5.1, действитеиьный и иа конце его интервала сходимостн г ю Я+а, Я > О, расходится, то сходимость ряда на интервале [а, Я+ а[ не может быть равномерной. Если действительный степенной ряд скодится при г ю Я+ а, Я > О, то сходимость ряда будет равномерной на отрезке [а, Я+ а]. Сумма действительного степенного ряда внутри интервааа сходимости имеет производные любого порядка. Теорема (Абеля). Если дейстеительный степенной ряд сходится е точке г = Я+ а, Я > О, то его сумма Я(г) представляет собой значение непрерывной слега функции е этой точке, т.е.

Я(Я+ а) ы йш Я(г) = ~ аьЯ". =о Аналогичные утверждения справедливы и для левого конца интервала сходимосги. 5.3. Разложение функции в ряд Тейлора. Определение. Пусть 1:]а — Яы а+ Яг[ К, Я; > О, г ж 1, 2. Говорят, что функция У" раскладывается е степенной рлд на пнтереале ]а — Я, а+ Я[, где О < Я » <тщ(Яы Яг), если Эаь б !к, и б Жо, такие, что гх б]а — Я, а+ Я[ спраеедлиео раеенстео =о Теорема (Тейлора).

Для того чтобы функция 1 могла быть разложена о ряд Тейлора на интервале ]а — Я, а+ Я[, Я > О, необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно дифференцируема и остаточный член е формуле Тейлора для этой функции стремился к нулю при п оо на укаэанном интереале.