Антидемидович 2 - ряды (Антидемидович), страница 14

Гл. 1. Ряды 7О м Разлагая функцию х г-г сЬ |/х в ряд по степеням чох, получаем Очевидно, это разложение справедливо при всех х. > 177. У; х !п2(1 — х), и Возводя в квадрат ряд — 2,' †' = !в(1 — х)г получаем 1(х) = 1 с«хи+', где и«1 »1 1 2 7 1 1 11 '"ж2 = — ~1+-+-+ ... +-). (и+1 — й))г и+11 2 3 пу 1«1 Так как Иш ГУОи «ж 1, то разложение справедливо прн (х! < 1. > и и 178. у ! х г е*соах. и Разлагая функцию у г х г е*!'т'! в степенной ряд и(Д)» '" Дх) = ~~у = лз — !1соз — +гмв — ~ и! и! ! 4 «О и О и замечая, что )(х) = Ке у(х), получаем )(х) = ~ — соз —.

е-и (хтг'2)" вгг и! 4 и»О Поскольку ~ , соз — ~ < „1,В и ряд ~ ! 1,о сходится при (х! < оо, то полученное и О разложение возможно также при (х( < со. > 179, ( (игггии) при я~О, 1 при х= О. М Принимая во внимание результат примера 1О7, находим (2 -1)ИХ" ) ( - (2 -1)П! 2« ) х-г (2а)И(2в+ 1) ~ ~ х-и (2п)И(2в+ 1) / где ' яо-гг-гд ггг-гггг!гггг1-' (2п — 2й)И (2п — 2й+1)(2й+1)' По индукции доказмваем, что 2п — 21 — 1)И(21 — 1)И 22«~~(п! ~ ~~ (2в — 21)И(21)И(2п — 21+ 1)(21 + 1) (2п + 2)! и п 1(х) = (1 — 2х + хо) ~ — = ) (2п)! (2в)! г» хи =1+-+~— 2 (2и)! 41 'и и+2 -2~,'* +~; * ж (2п)! (2в)! о о «О! «42 — 2х — 2~ — + ~~ (2в)! (2в)! и! «О 2 ~ ),(2п)! (2в — 2)! (2в — 4)! / и«2 з б.

Степенные ряды Поэтому (1) ««о Легко установить«что этот ряд сходится нри )з) < 1. Для выяснения вопроса а сходимостн ряда (1) в концевых точки з = ж1 воспользуемся признаком Раабе: Видим, что рлд (1) сходится абсолютно также и в концевых точках интервала сходимости (з) < 1. Следовательно, разложение (1), в силу непрерывности функции 1 на отрезке [-1, 1] и теоремы Абеля, справедливо на указанном отрезке. 180. Пусть о = (1 — А) ' и Ьп А" = О, где А — квадратная матрица, 1 — единичная ««« матрица. Разложить матрицу а в матричный ряд по степеням А. ч По условию имеем (1 — А)В = 1, откуда Я=1Ч.АЯ Я=1+А(1+АЗ) =1+А+АзЯ Я 1+А+Аз+ +А«Я Поскольку Вш А" = О, то Ьп А"о ж О.

Следовательно, З=~ Я".> «о 181. Пусть о = (21-ЗА+А ) ' к 1по А" = О, где А — квадратная матрица. Разложить ««о матрицу Л в матричный ряд па степеням А. и Представим матрицу а' в виде о = ((21 — А)(1 — А)) ' = (1 — А) '(21 — А) ' = а(1 — А) '+й(21 — А) где а, б — некоторые числовые коэффициенты. Для нх определения умножим о' слева на 1 —. А, а справа — на 21 — А. В результате получим тождество 1 = о(21 — А) + б(1 — А), из которого находим о = 1, б = -1. Таким образом, 1/ А11 Я=(1-Я)-'--~'1--) г~ 21 Используя разложения из предыдущего примера, окончательно получаем я ~;яп '~-" ~ (1 ')яп «о ««о ««о 182. Доказать, что если: 1) о„> О; 2) существует Вщ 7 я«з« = о", то ~ ~е«Л« = о.

-п-о « ««о ч В силу условкя 2), имеем «« и «Э Вщ ~~~ е«з« =" о„Л" + Йп „"~ е«з« = Л, п«о иег откуда и Я вЂ” ~ е«Л« = он, Гл. 1. Ряды где оп= йш 7 а х". в и-О «»в О1 н Поскольку далее а > О, то он > О. Поэтому из (1) сяедует, что О < ~ О„М" ( 5. О Посаеднее означает, что посяедоватевьность ) а Я" ограничена. Но так как она еще и 1,» О монотонна, то, в силу известной теоремы, сходится, т.е. сходится чксяовой ряд ~ а»й". А «О тогда, по теореме Абеля, будем иметь СО С» Бш ~ ах =) а»Я.

О-Н-О в О Отсюда, приняв во внимание условие 2), найдем а Я"=Я.м «»О Разложить в степенной ряд функции; 183. У: х . 1 ~ 1!. / О и Разлагал функцию ! ! ~— ,, г р О, в степенной ряд —, = ) ((тз-„)+11,, )г! > О, и »=О интегрируя последний, докучаем в О 1 Ошг г«21 й*) = ~' — й! = ~(-1)" У 1 (2п+1К2«+1)1' , )х(<оо.и О 184. у: х 1в(1+ !) О М Коэффициенты а„степенного рада подынтеграяьной функции найдем из тождества 1 ы ~ =, ~ а„г, которое дает систему алгебраических уравнений относительно аь: в О ве ч. ОО(-1)ьь1 ОО = 1, в — х + 1 в + 1 О»1 Из втой системы уравнений посяедоватедьно получаем О1 = -, аз = --, аз = †, и т.

д. 1 1 1 2' 12' 21 Таким образом, имеем в 00 »1 2 3 О ! (Х) = / — ж ~а„— ю х+ — — — + — + / 1в(1+!) а+1 4 Зб 96 О «1 Поскольку функция р ! т в», 1,, 12(0) ю 1, Оиаяиткчиа всюду за исключением точки м1ьь11 ° » ! = -1, то радиус сходимости ряда ~ а„1" равен единице. Саедоватеяьио, такой !ке раянус в О сходимости имеет и полученное после интегрирования разяожеиие. И 1 5. Степенные ряды Примепал почленное дмфференцирование, вычислить суммы следующих рядов: 3 ь 188.

х — — + — — .... 3 5 М Данный рлд, согласно формуле Кошм — Адамара, имеет радиус сходимости, равный единице. Согласно п.5.5, степенной ряд моясно почвенно дифференцкровать внутри интервала сходимости, Имеем 1 — х + х~ — ... ю —,, ]х] < 1. Отсюда интегрированием получаем 14«« ' «« х — — + — — ... = агстб х + С.

Полагая здесь х ««О, находим, что постоянная С = О. з з Окончательно имеем х х' х — — + — — ... = агстзх. 3 5 Заметим, что в концевых точках интервала сходимости этот рлд сходитсз. Поэтому, согласно теореме Абеля, сумма ряда есть непрерывная функция на отрезке [-1, 1]. Поскольку функция х «агстз х также непрерывна на этом отрезке, то последнее равенство справедливо при всех х б [-1, 1].

Ь г Ф 186. 1+ — + — + .... 2! 4! М Очевидно, этот ряд сходитсв на всей числовой прямом. Обозначая через о(х) сумму данного рада, пачленным дифференцированием ега получаем уравнения Я(х) + Я (х) = е*, а(х) — а'(х) = е Отсюда Я(х) = -(е*+ е *) = сЬ х, ]х] < са. М 2 187, — + — + — + х хг хз 122334 ° Дифференцируя почленно рлд внутри интервала сходимости, получаем+-'+ — '+... ю а(х), ~х( < 1. Умножая обе части этого равенства на хг, х 14 О, и пользуясь формулой М, п.5.4, находим Я(х) = --— 1 )л(1 — х) (1) х хг При х = 0 полагаем 5(0) = — (х = 0 — устранимал точка разрыва функции Я). Интегрируя (1), имеем а(х) йх = — 1в(1 — х) + С. (2) Так как Иш Ы+ — *+ — *+,, ю О, то кз (2) находим С = — йш 1в(1 — х) = 1.

э 1гг гз зч Следовательно, х хг хг [ 1 + ~ « )л(1 — х), если х ф О, — + — + — +" « 122334[0, если х = О. (3) При ]х( < 1 это равенство гарантировано теоремами о возможности почленного дифферен- цирования и интегрирования степенного ряда внутри интервала сходимости. Покажем, что и в концевых точках интервала х = ш1 это равенство кри некотором условии справедлива. Действительно, поскольку рассматриваемый степенной ряд в точках х = ж1 сходится, то, на основании теоремы Абеля, его сумма является непрерывной функцией на отрезке [ — 1, 1]. Если значение функции в равенстве (3) справа в точке х ю 1 положить равным единице, то, как легко видеть, эта функция на сегменте [-1, 1] также будет непрерывной. Поэтому окончательно можем запмсать г э [ 1 + †,« )н(1 - х), если — 1 ч х < О, О < х < 1, — + — *+ — *+...=~ о 2 З З ° 4 если х=О, 1, еслм в=1. М Гл.

1. Ряды 188.1+ — + — х + — х +.... х 1 ° 3 з 1 З.З з 2 2 4 2 4 б ц Нетрудно проверить, что радиус сходимости рида Я = 1. Умножая производную тай»з» з 5 (х) ж - + — 2х + —,Зх + ..., [х] < 1, суммы данного ряда на 1 — х, х ~ 1, получаем уравнение (1 — х)5'(х) = -'5(х).

Общее решение етого уравнения есть 5(х) ж -(с, С = солят. Полагал здесь х = О н учитывал, что 5(О) = 1, находим С = 1. Следовательно, 5(х) ж ««2», ]х] < 1. Сходимость рассматриваемого ряда в концевой точке х = -1 легко установить, если воспользоватьсл примером 70; расходимосгь ряда в точке х = 1 следует из признала Гаусса. Таким образом, сумма ряда, по теореме Абеля, есть непрерывная функция на [-1, Ц. Поскольку фунхцил х » «7 также непрерывнана [-1, 1], то окончательно имеем 1 х13»133»1 1+ — 4 — х + — х + ... = при — 1 < х < 1.

В 2 24 24б ~/1 — х Применяя почленное интегрирование, вычислить суммы рядов: 189. х -4*'+ Ох' -1бх'+ .... ц Общий член етого ряда имеет внд а (х) = (-1)" 'взх". По»тому легко можно найти, что радиус сходимости ряда Я = 1. Разделив на х, * ф О, сумму 5(х) данного рада, а затем почленно его интегрируя в интервале ] — 1, 1[, получаем — »(хжх — 2х +Зх — 4х +...+С= 5(х) з з =(х -х +х — ...)' — х+х — х + ... +С= з» з х (1+ х)з +С. Дифференцируя полученное равенство, находим 5(х) = -*~ф, [х] < 1, х ~ О. Нетрудно видеть, что ограничение х 7«О здесь можно снять. В 190.

1 ° 2х+ 2 Зх +3 4х + .... М Общий член ряда имеет вид а„(х) = в(в+ 1)х", поэтому 1 Я= = 1. йш ~/и(в+ 1) Таким образом, степенной рлд сходится к своей сумме при [х[ < 1. Почленно интегрируя рассматриваемый рлд в интервале ] — 1, 1[ дважды, получаем — ~ 5(х)йх =х+х +х + ... — — +С» = — — — +Сз, 4х / ) ~ 3 3 С! х С1 (1) .з [,/ / х 1 — х х где С», Сз — постоянные интегрироваши, х ф О. Дифференцируя равенство (1) дважды и учитывая, что 5(0) = О, окончательно находим 5(х) = —,'* „[х] <1. В Пользуясь соответствующими разложениями, вычислить с указанной степенью точности следующие значение функций: 191. зш 13' с точностью до 10" .

ц Пользуясь разложением функции синус в степенной ряд,можем написать ( ц«-1 з«-1 зш 13' = зш 10 х-«(2в — 1)! 10з" п 1 Так зах зтот рлд лейбмицева типа, то остаток ряда не превышает по абсолютной величине » е «» первого нз отброшеюцях членов. Платону, зах следует ив неравенств й»р < РЗ < а»»р» й 5. Степенные ряды двя получения результата с требуемой точностью достаточно взять три члена разложения.

Имеем Х Х К Х Х 3 3' Б мп — ж — — — + — = — 1 — — + — 10" = 0,309017 .... > 10 10 31103 5!103 1О ~ 600 12 192. 359' с точностью до 10 '. ч В силу оценки Яз = 1 ( — ) < 0,0005 (у(х) = збх), дяя получения приближенного значение 36 — с указанной точностью достаточно взять два члена разложения функции 23 тангенса в степенной ряд. Имеем 3' 1Г т 1Г х 389' =38 — - — + — = — ~1+ — ~ =0,158 .... М 20 20 3,20з 20 (3 1200) 1 -1 193. Исходя из равенства — = атома —, найти чисяо х с точностью до 10 6 2' и Пользуемся разяоженнем функции х Г-» агсзьзх в степенной ряд (см. пример 167).

Имеем 1 1 ч-3 (2н — 1)!! 2 2 с-» 2з»1в1(2п+1)' =1 Поскольку для остатка данного ряда справедлива оценка (23 — 1)!! (2в + 1)!! 22»+111(21+ Ц 3 2з +2(в+1)!(2в+3) » э»1 и неравенство 62,„, " >",,2 1 < 10 выполняется прн н 3~ 4, то для получения приближенного значения числа » с требуемой точностью достаточно взять пять членов указанного разложения: х 1 1 3 5 35 — + — + — + — + = 0,52359 ..., 6 2 48 1280 14336 72 . 8192 откуда 11 = 3,1415 .... > 1 1 194. Пользуясь формуяой 1и(о+1) =)пи+2 ( — + ! 2в+1 3(2н+1)2 + ..., найти 1п2 и (в 3 с точностью до 10 и Покажем сначала, как получена эта формула. Разлагая функции х ! 1в(1+ х) н х Г 1в —, в степенные ряды по степеням х, затем складывая ня в общей области сяодимостн 1 (х~ < 1, находим 1+ )' З 1 1в — =2 х+ — + — + ... 1 — х (, 3 5 Полагал здесь х = —, получаем указанную формуяу.

1 2341 ' Найдем теперь соответствующие чисва й членов ряда (1) дяя вычисления ириближеннык значений )и 2 и )в 3. С этой целью оценим остаток Я» этого ряда.. Имеем )Г ы»1 ы»з 3, 2 ыз! 1»2Й+1 25+3 '' / ~ (25+1)(1 — 32)' Отсюда следует, что если х = — (в = 1), то Н» < 10 3, начиная с й = 5, а если х = — (н = 2), то 71» < 10 3, начиная с й = 3. Таким образом, /1 1 1 1 1 1в 2 вГ 2 13- + — + — + — + — = 0,69314 ..., 13 81 1215 15309 177147) )в 3 аз 0,69314 + 2 ~- + — + †) ж 1,09860 .... М /1 1 1 15 375 15625 Гя. 1.