Антидемидович 2 - ряды (Антидемидович), страница 9

Тогда ряд, по признаку Коши, сходится при !х( < 1. Действительио, Ьп = (х! Ьп = (х) < 1. 1*!" ! 1! в+у«оо фй+у'! Если О ( у ( 1 и х ) 1, то + „) — *, > +,. Следовательно, в силу теоремы 1, п.1.5, даииый ряд расходится, ибо расходится гармонический ряд. Если О ( у (1 и х < -1, то общий член ряда к нулю ие стремится, так как йш -хз-„- = «ея" +со. Если О » (у » (1, х = -1, то получим ряд лейбницева типа: «! ПУсть у > 1. Тогда ряд Гл.

1. Ряды в силу признака Коши, абсолютно сходится, если (х( < у. При х = жу общий чиек исследуемого ряда к нулю ие стремится, так как йп! -"-„- = 1. ' +г" Итак, если 0 < у < 1 н !х) < 1 илн ф < у и у > 1, то ряд сходится абсолютно. Если же х = -1 и 0 < у < 1, то данный рад сходится лишь условно. М 101, ~ "('+*',х>0, вг =! М Рассмотрим три случая: а) 0 < х < 1; б) х = 1; в) х > 1. В случае а) имеем 1п(1+ х") х" прн п со. Тах как ряд ~ — „, согласно признаку Коши, сходится прн !=! любом у, то, в силу теоремы 3, п.1.5, прн такик же условиях сходится н исследуемый ряд. В случае б) получаем ряд 2 — '„, который прн у > 1 сходится по п.1.4.

мэ !,=! Наконец, в случае в) имеем 11 1 1п(1+ к") = и!пх+1п 11+ — ( п1пх+ —, и оо. *-( х" » ! ! Поскольку ряды 2 — „"„, и 2 — „„сходятса прн у > 2, то данный ряд, по теореме 3, ! ,!=!" п.1.5 также сходится при у > 2. и т-» а 102. Доказать, что если ряд Дирихле ~ ~— сходится при х = ха, то этот ряд сходится и » ! также при х > хо- ц К ряду » ! Š— =Š—. а» ч а 1 »=! »=! ! применим признак Абеля. Здесь ряд г — „,", сходится по условию, ( — „„) — монотонная н ! ограниченная единицей последовательность !гх > хе.

Следовательно, по признаху Абеля, ряд сходится также прн х > хо. В 103. Доказать, что для равномерной сходимостн ка множестве Х последовательности (! ), ~»: Х -! Н(С), и б Р(, к предельной функции 1': Х Н(С)! необходимо и достаточно, чтобы йп! вар г (х) = О, .,х где г»(х) = У(х) — У»(х)) ц Необходимость. Пусть у»(х) =1 1"(х) ка Х, я оо. По онределенню 2, п.4.1, это означает, что ге > 0 ЗФ = Н(е) такое, что Уп > Ф л 1Ух б Х выполняется неравенство (У (х) — у(х)) < е. Отсюда следует, что вар г„(х) < е. К Досшаточность.

Пусть Ьп ~заре„(х) = О. Тогда по определению предела числовой К ПОСЛЕдОВатЕЛЬКОСтн 'ГЕ > 0 ВУ ж АГ(Е) таКОЕ, ЧтО !!!П > Л будЕт Зар Г„(Х) < Е. НО ПОСКОЛЬКУ х г„(х) ~ (заре (х), то г (х) < е !!!х б Х. Посаедкее, по определекню 2, п.4.1, означает, что х у (х) ш у(х) на Х при и со.

и Исследовать иа равномерную сходнмость следующие функции: 104. У„(х)=х"-х»ег,О<я~1. 34. Функциональные последозительиостп и рлдм ч Очевидно, у(х) = Поп ~„(х) ю 0 при 0 < х < 1. Поскольку аа р [~.(х)- ~(х)[= — 1+-, й а<а<! и+1 т и) )и+! т и) ) с а и+! то по критерию, доказанному в примере 103, у (х) =4 О. > 105, Уа(х) = х" — х'*', О «* 1. и Имеем Дх) = йш 1'„(х) = О, х Е [О, 1). Функция !' достигает абсолютного максимума а во внутренней точке сегмента: ха — — -~у, ха Е]0, 1[.

Таким образом, имеем 1 зор га(х) = у (х ) = —, Бт ззр г (х) = — ра О / зе!о, П " " 4' ~-аа ~ае!о, о! 4 Отсюда следует, что последовательность (!а(х)) стремнтсл к нулю неравномерно. и 106. ~„(х) = "*, О <, <1, 1+ и+с' ч Нетрудно видеть, что !'(х) ю йю — = х и сираведлива оценка зар [ — — х~ ( 14 аз ~г,,— е!0,1! —. Поэтому аа!' йт ( зор [у (х) — у(х)[ = О, Д(х) =1 х, и 'т е!а,а! 107. 1.(х) = )/хэ+ — '„-сю « * +со. ч Прн о оо Уа(х) [х[ на интервале ) — сю, +со[, причем 1 1 ! зар 1 хэ + — — [х[ = з«р „э зе1-, а [ аа)-м, аю! l=~ пэ [ )гхэ+ --г+ [х[~ поэтому !' (х) ~ [х[ на всей числовой прямой. И 108.

1„(х) = и ~/ х + — †,ух , О < х < +ос. Г 1 п М Очевидно 1 1 у(х) = Бгл = —, О < х <+со. ~~~ ! 2.ух' Поскольку 1 1 1 — зкр = +оа, -[ г:*) У то, по утверждению примера 103, последовательность сходится неравномерно. з 109. а) !"„(х) = ""*, -оо < х <+оо; и б) уз(х) = мл —, — со ( х < +ею. и л Имеем: а) т(х) = бтп '— '""* = 0; аа и б) Х(х) йэп юп -' ж О, Гл. 1. Ряды Поскольку в случае а) 1 зпр 1„(х) ж — ~ О при в -~ оо, „« е„п а в случае б) зар ]мп — [ ж1 „<э<а, в (достигается прн х = — (21 + 1), Ь Е Е), то, в силу примера 103, заключаем, что в случае а) 1 (х) ~ О, а в случае б) последовательность сходится неравномерно.

и 110. а) 1(х) = агстб вх, 0 < х < +со; б) 1(х) = х агс!б вх, О < х < +со. Ч а) Имеем 1(х) = йш агсгб вх = —. Посколысу хпр ~- — агсгдвх[= йш [ — — асс!бил~= —, о« е !2 ! -" Фз)2 ! 2' то последовательность, согласно примеру 103, сходится неравномерно. б) Здесь 1(х) = —, г (х) = х (д — агстбвх). Используя равенство д-жс1бих ж ыссб —, )' э э' х > 0 н неравенство ыссд и < а, п > О, имеем оценку ~( /я 1! ! 1! 1 1 х ( — — асс!О вх) [ ж [х агс13 — ~ < х — ж — -~ О, в сю, ~2 «*[ вх в независимо от х е]О, +со[. следовательно, по определению 2, п.4.1 1 (х) =г —.

и 111. 1„(х) = (1+ -): а) на конечном интервале ]а, 6[; б) на интервале ] — оо, +ос[. и В обоих случаях легко находим предельную функцию 1: х ~ е*. Далее, в случае а) представляем последовательность в виде 1„(х) = ехр (п1п (1+ — )) . Здесь в > У, где Ф выбирается нз очевидного условия 1 + †,*, > О при х б]а, Ь[.

Применяя к функции х ь !л [1 + -*), формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, пз (1) получаем эсэ ч 1 (х)=екр х — — "), ВЕРЬ. 2в)' Поскольку где М ж шах([а[,[Ь[), стремится к нулю при в — ~ оо независимо от х Е]а, Ь[, то по определе'- нию 2, п.4.1, 1„(х) =! е* на ]а, Ь[. В случае б) получаем (цп ~е — (1+ -) ~ =+со, поэтому зкр г„(х) = +со.

Таким образом, последовательность (1„(х)) на всем числовой <э<тээ прямой сходится неравномерно. М / 112. 1 (х) = в [ * — 1, 1 « * а. ° Легхо найти, что 1я(х) !пх на [1, а] прин оо. Далее, применяяформулу Тейлора, находим г г„(х) ж в(х — 1) — 1в х~ = ~п(ей — 1) — !их ж Ф 1гэ х Ф г в 2вэ 1 2в 2в 14. Фумюциоиальпые иосиедпвательиости п ряды при и со, 0 < С„< — "'. Следовательио, у (х) =6 1в х ма [1, е]. В пз.

0<х<-, Ъ' -<в<-, и и' э и' вэх, если уи(х) = вэ [й — з), если О, если па [О, 1]. М Поскольку у„(0) = О, то лш у„(0) = О. Далее, Ох б]0, 1] зУ 1Уи > Ф будет х > -„. и о Следовательно, у„(х) = 0 и 1пп уи(х) =бири хб [О, 1]. Такимобраэом, ~(х) = Бш 1»(х) = ОО 0 при х б [О, 1]. Поскольку звр 100(х) = и (и достигается при х = -), то йш (злруи(х)) =+со, в силу *я!е, 11 00 чего последовательность сходится меравиомермо.

В 114. Пусть 1 — произвольная функция, определеппал па отрезке [е, 6] и уи(х) ш —. И(х)] в Доказать, что Уи(х) =) у(х) при а ( х ( 6, в оо. ч Иэ опредеиепмя целой части следует, что [ву(х)] = иу(х) — ри(х), О ( ри(х) < 1, Поэтому ~„(х) можно представить в виде 1 (х) ж 1(х) — г"-~~. Отсюда находим )пп у„(х) ж у(х), а также ]у„(х) — у(х)] = ~~~ ( — ~ О, т.е.уи(х) щ у(х).

Ь Исследовать иа равпомерпую скодймость следующие ряды: и 115. ~ — па отреэхе[ — 1, 1]. »1 <О Сцеммвая остаток ряда следукпцим образом: 00 ь 00 з ч-» 1 ]о(х) — Яи(х)] — ) — ~( — -0 0 при и со, 1 »41 где Ь'(х), (о„(х)) — соответственно сумма п последовательность частичных сумм данного ОО „] ОО 1 ряда, сходящегося в силу прпэиака сравнения Я вЂ”, < 1 —, <+со, заключаем, что 'и)» 1» рассматриваемый ряд сходится равномерно. го п 116. ~ —, па интервале ]О, +со[. и О и <О ПОСКОЯЬКУ СУММа ЭТОГО РЯДа Я(Х) = Е*, тО ОетатОК РЯДа Ги(Х) = Е* — 1 О, .

НО Ьио зер ]ги(х)] = +оо (функция х 0 е* стремится к +ос при х 0 +ос быстрее любой степепО< (Е пой функции х 1-Охи), поэтому ряд сходится иеравиомерпо. и 00 11Т. ~~1 (1 — х)хи ма отрезке [О, 1]. иие ч Частичиая сумма ряда Яи(х) = 1 (1 — х)х = 1 — х"е', 0 ( х ( 1; отсюда находим Ь О сумму ряда 1, еслв О (4мх ~ 1, ~ О, есии х=1. следовательно, звр ]о„(х) — Я(з)] = 1, т.е. данный ряд сходится меравмомерио. ги е< (1 Замечвиие.

Если фувкпвовальвмй рлп пепреш0впэгх ва отрезке фуввпвй сзоквтся па этом Отрезке в раарааипей фупшши, то реп скодгп.се вераашлиерво. 48 Гя. 1. Ряды 118. ~, о < х < + о. ! М Находим частичную сумму ряда: х у-(х) = =Е (( — )* И*+)= ~( — )*+ *+ Гж ь=! ь=! откуда пояучаем, что 31х) = йш бп(х) = 1, О < х < +со. Далее, поскольку звр †' = 1, и 0<псе то ряд сходитсв неравномерно. М вх 119. Г: а) 0 ( х < е, где е > 0; б) а ( х ( +со. (1+*)(1+2*) ... (1+ *) ! ч Представляя общий член рада а„(х) в виде 1 1 а„(х)— (1 + х)(1 + 2х) ...

(1 + (я — 1)х) (1 + х)(1 + 2х) ... (1 + (и — 1)х)(1 + нх)' находим частичную сумму ряда: 1 (1+ х)(1+ 2х) ... (1+ пх) Отсюда следует, что Я(*)=й-'()ж ' "'" *='0' Далее, в случае а) имеем зер ~Я(х) — о„(х)( = (о(+0) — Вп(+0)~ ж 1, поэтому ряд о«+„ сходится неравномерно.

В случае б) находим 1 ,«з, (1+с)(1+2е) ... (1+па) зер )8(х) — Я (х)) = -и 0 при о со, в силу чего ряд сходитсв равномерно. М Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходнмость в указанных промежутках сведующих функциональных рядов: 12О. ~' —,"*...~.~<+ . и! и найдем зер !а„(хИ, где а„(х) — общий член ряда. имеем И 1<+ вх ! 1 вер )а„(х)) = зер 00<4 ! !<е !1+ я!ха ~ 2ез ! ! н достигается прм х = -г. Следовательно, ряд 2 — является мажорантиым двя данного !э э ряда.

Так как мажорантный ряд сходится, то исходный ряд, согласно признаку Вейерштрасса, сходится равномерно. М 2 121 ~ — (*"+* ") — < !4 < 2. 4я) ' 2 =1 ч Легко найти, что яер (х" +х ") = 2" + — < 2"+, ! 2п 2 -<1Щ<э пп Поскояьку, к тому же, ряд 2 д;2пез, в сину признака д'Авамбера, сходится, то нссяедуеи ! мый ряд сходится равномерно. > 49 2 4. функциональные последовательности к рцды а 122 ~1, -„.г-, !з) < а, где а > О. 1-~" г) г ч Микорантным для данного ряда является ряд ~ ф-, сходимость которого при а < 1 е=! 1г!! очевидна, тах как в зтом случае г г Е~)-, Е = —,'.

Пусть а В 1. Тогда, обозначая через о„последовательность частичных сумм мажорантного ряда, в силу оцею!и а а а 2 3 а 2 гг21 и+1 о„< Яг„+1 = — + — + — + ... + — + — < а+ 27 — = 8, О! 1! 1! и! п! л г 1! г=! получим Я ( Я. Следовательно, последовательность (Я„), будучи монотонной возрастающей, ограничена сверху. А тогда, по известной теореме, она сходится, т.е. сходится мажорантный ряд.

и ыз. у'!.(~г н1я н/ г 2 ч Исходя нз неравенства 2 ! 2 а2 О<! 1+ — ~ < —,< —, н!зп) и!пгн и!нгп г и сходимости числового ряда 1 -„-;зг-о, мажорантного для данного функционального, при=2 ходим к выводу о равномерной сходимостн предложенного ряда. М Исследовать на равномерную сходимость в указанных промежутках следующие функциональные ряды: г Ч г 81ВНЯ 1 24. ~ —: а) на отрезке с ( з ( 2я — с, где с > О; б) на отрезке О ( з ( 2з.. а ч а) Поскольку частичные суммы 2 мийт ограничены: ! ! «г ° +1 Е мн — з!в — з 1 мв- зш — зш г=! 2 2 2 /1! а последовательность („-! ! О при а оо, то, по признаку Дирихле, ряд сходится равномерно.