Антидемидович 2 - ряды (Антидемидович), страница 8

2 (,2 2з/ 2з 2 Л2! 2»/ 2» 2 'т2« 2»/ 2» »»! 2~г2з» 2Л «2» 7 » ! 3.2. Правкдо Коша. Под произведением двух рядов (1), где а», 6 — числа, понимается третий ркд, общий член которого имеет вид 39 3 3. Действия иад рядами 95. ') к(э)у~ 1 1, )яу) (1.

л«0 О» М В сиду сходимости ряда 2 (ку)", иа основании утверждения п.3.1, имеем Е''' *"'у' ' ' =1+у+яр+яр'+к'у'+к'у'+" = о =~,(эу)" +у~( у)" =(1+у)~~ (эу)" = 1,„> «О » О «О 98. Показать, что 1 " (-1)и и«О л 0 < Ряд 2 †, сходится, поэтому, согласно п.3.2, имеем 1 п 1 1 ««1 л Э где с - ~ аь6 ОО1 - (-1) эл (6 ).( 6).. Оэ —,, 4 = —,. ПосколькУ 2 э»~ ~ —; = —,(1 — 1)л = О, и Е )О, то ь о с«01 = (-1)и ~ = О, и Е )О, (-1)" 2 6.(»-6). = ' э о что и требовалось показать. О» (-1)"М 97. Показать, что квадрат сходящегося ряда 7 " является рядом расходящимся.

1/В «1 и Прежде всего заметим, что данный рэд сходится (усяовно) по признаку Лейбница. По правилу п.3.2, имеем п 1, 1 Э+Э п »Г-»»О ~;„»»! -Т+О' Посхояьку -л ': ==) -',вкй),6=1,п,то »»ггээ11«-0011 ' л' 1 и ~и, »»Ь-»»»!»" 0« Следовательно, ряд Я си, в силу необходимого признака, расходится. И и 1 98. Проверить, что произведение двух расходщнихся рядов Гл. 1.

Ряды есхь абсошотно сходящийся ряд. < Легко установить (хотя бы с помощью признака Коши), что зги ряды расходятся. По правилу перемножеиик радов имеем -1 сп =а!6»+6,а»+ ~! аь6 -ь+1, Ьпг где а!=1,а»00 — (-),61=1,6п=(-) (2» + — ),н=2,3, Следовательно, и 1 ! 2 и 1 сп 00 (-) (2» '+ — ) — (-) — 4 3" ~ — ! — — ~ 2 = Н ! г Тогда ОО ОО с» — - Ц~! (-) = 4.

> »1 Упражнения для самостоятельной работы Используя правило Коши, перемножить следующие ряды и найти суммы произведений: т 00 00 00 ОО 49. )'~— , ) „1,. 50.~ еп ) у".51. Я~ ~ — „. 52.~ О»1 »1 »1 О»1 »=1 =1 Е(- )" (~)" Е,. „",.„, Е "Е ~ ! — 1 ! ( 41)(»42) п»1 »1 55. Доказать следующие свойства матричной экспоненты: а)е е =е *!А пгл (*! 1*1)А, А — 1 -*А 5)(е ) =е где А — любая числовая квадратная матрица, хг, хг, х б )й. бб. Показать, что в общем случае АВ, А+В е с фе где А,  — квадратные матрицы.

57. Показать: а) (ел)' = ел, где А' — эрмитово сопряженная матрица; б) если А' = -А, то матрица ел — ортогональная; в) если А' = -А, то матрица ел — унитарная. ~4. Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов 4,1. Понятие равномерной скоднмости последовательностей рядов. Определение 1. Последовательность функций (у„), уп ! Х ЩС), и Е р), называется сходящейся по!почечно к функции У! Х 0 66(С), если при каждом фиксированном хв Е Х числоваЯ последовательность (Уп(ло)) сходится к числУ У(хе), т.е.

Уе А 0 3))( т )У(е, хо) такое, что ун > )у справедливо нераеенсп!во )У»(хе) — Х(хо)( < е. ФУгшЦна У называетса пуедвланоб Дше иосаеДовательиости (Уп). ,.' ' Ьпвп..г:. 4 4. Функциональные последовательности н ряды 41 Определение 2, Последовательность функций (гь), г'„! Х К(С), а б И, ногьюается равномерно сходящейся к функции у! Х К(С) на множесзпве Х, если Уе > О ау = 1у(е) такое, что Уп > 1У Л Ух б Х выполняется неравенство (~.(х)-лх)~ <.. В этом случае пишут У„(х) г 1(х) на Х. Определение 3. Функциональный ряд зь ~ ий(х) = и!(х) + из(х) + ...

+ ий(х) + .. й=1 где ий: Х! К(С), Х! Э Х, называется сходящимся поточечно но множестве Хк своей сумме Я(х), х б Х, если сходится поточечно последовательность его частичных сумм (Яе(х)), пз.е. Ыхо б Х д йп Я (хе) = 5(хе). о Определение 4. Функциональный ряд(1) называется равномерно сходящимся к своей сумме Е(х) на множестве Х, если последовательность частичных сумм (Я (х)) этого ряда равномерно сходипзся на Х к Б(х). 4.2. Критерии Коши. Для равномерной сходимосги ряда (1), пд.1, на множестве Х необходимо и достаточно, чтобы уг > О дзЫ = Лз(е) такое, что уп > Лз л ур б И Л ух б Х выполнялось неравенство ~Я йг(х) — Ян(х)~ < г.

4.3. Важнейшие достаточные признаки равномерной сходимости рядов. Мажорантиый признак Вейерштрасса. Если Зай б К такие, что Ых б Х справедливы неравенства (ий(х)( ( ай, 6 б Я, и ряд ) ай сходится, то ряд (1), п.4.1, сходится й 1 равномерно на Х. Признак Дирихле. Если частичные суммы ряда ~ ай(х) равномерно ограничены 1=1 на Х, т.е. ЭМ > О пзакое, что Ух б Х Л Уп б Я выполняепзся неравенство )Яь(х)| = ай(х) ( М, а функциональная последовательность (6„(х)) удовлетворяет двум услоеи. й=! ям! а) Ух б Х: 6 г! (х) (ч Ь„(х) Уи > по,' б) Ь„(х) =6 О на Х при и оэ, то функциональный ряд Ю ~ ай(х)6й(х) й ! сходи!ноя равномерно на Х . Признан Абеля. Ряд (1) сходится равномерно на Х, если ряд ~ ай(х) сходится раей=! номерка на Х, а функции 6й удовлетворяют двум условиям: а) дМ > О !покое, что Ух б Х л Ый б Я выполняется неравенспзво 16й(х)) ( М; б) Ыхо б Х последоызтельносзпь (6й(хо)) моно!ионна при Ь > Ье.

4.4. непрерывность предельной фупкции и суммы ряда. Если последовательность непрерывных функций (~ь), гь -' Х К(С), сходится равномерно иа Х а функции У ! Х К(С), то у непрерывна на Х. Если все члены ряда ~ ий(х) й 1 непрерывны на Х и ряд сходится равномерно на Х х сумме Я(х), то фуикцня 5 непрерывна иа Х.

Гл. 1. Ряды 42 4.$. Почлеюсый вредельвый пере!сод в рада!с к фуккцвовальпык последовательностях. Если функциональный ряд (1), п.4.1, сходится равномерно в некоторой окрестности точки хо и если Иш ий(х) = сй, 6 Е М, то числовой ряд 2 сй сходится, причем »»о й ! ОО йгп ~ ий(х) = ~~! сй.

й 1 й»! Если последовательность фуихций (у»), п б И, равномерно сходитса в окрестности точки хо н ои б М й (пн у»(х) = 4», то последовательность чмсеа (А„), и б М, также сходится н » оо 4.4. Предельный пере!сод под знаком интеграла п почлеввое вптегрпровавве ряда. Если последовательность интегрируемых фуикцкй (у ), у» .' [а, 6] К, и б М, сходится равномерно иэ [а, 6] к функции У: [а, 6] П, то охо б [а, 6]: 1„(С) !(С ~ ~ 1(!) с(С у~ б [а, 6], Если рлд (1), п.4.1, члены которого ннтегрнруемы на [а, 6], сходится равномерно нэ [а, 6], то справедливо равенство ОО я(с)бс=~ /ий(с)бс, й»1 оо оо т.е. ряд (1), п.4.1, можно почвенно кнтегрнровать на отрезке [хо, х] С [а, 6!.

4.7. Предельмый пере!сод под знаком проюводной в почлеввое дпфферепцвровавве рада. Если последовательность непрерывно днффереицируемых функций (!») У»: [а, 6) 11, п б 6(, сюднтся а функции у ! [а, 6] К, а последовательность (у»), и ч М, сходитса равномерно х функции э! . "[а, Ц П, то функцил у также дифференцируема на [а, 6] и / (х) = р(х) = Йп 1„(х), т.е. допустим предельный переход под энаюм производной. СЮ Если рад (1), п.4.1, с непрерывно днфферекцнруемымм членами сходится на [а, 6], а ряд производных о(х) = ) вй(х) й»! сходится равномерно на [а, 6], то сумма ряда (1), п.4.1, диффереицмруема на [а, 6], причем на этом отрезке выполняется равекство ~'(х) ж а(х)ж ~) Ий(х), й»! т.е.

рак (1), п.4.1, мол!но почленю дифференцировать. Опредеюпь промежутка сходимосгн (абсолютной к условной) следующих фунхциоиальных рлдов: В 06. ~иэ- х,е>б, б<.<.. 1+ во »» ! у 4. Фуикциопальмые посдедовательмости п ряды ч Для сходимости ряда необходимо, чтобы,+, — — — „,, —,, О при е оо, т.е. чтобы «е Ч >Р.

Абсолютная сходиыость. Поскольку 1мпвЦ > зшз ах = — '"' "*, то ряд « СО ОР я" 1 пз 1 соя 2вх р ~ — 1 мп нх~ ) — ~~! — — ~~! яз 1+пе ° 2 1+па 2 1+пи «! расходится при О < д — Р ( 1: Действительно, первый ряд справа, в силу теоремы 4, п.1.5, ! ! расходится к +со, поскольку —,, —,„при в оо, а второй ряд справа при О < д-Р » (1, по признаку Дирихле, сходится, ибо « Ой мп их созга + 1)х 1 соз2йз = ( мах ~ ма х~ ««1 Р и — 40 при п- оо. !ф ю Кроме того, посколысу !мвпх! (1, то ряд е" пз — (ми ах! ( ~~~ „е ! в силу теорем 1, 4, п.1.5, сходится, если д — р > 1 !! —,„, „—,, при в оо).

Таким образом, исследуемый ряд сходится абсолютно только прп у — р > 1. Условная сходимость. Представляя данный ряд в виде Е= зших 1 ее з 1+и е и пользуясь признаком Абеля, находим, что при Π— Р > О ряд сходится. Действительио, в этом случае последовательность ( —,,) ! 1 при в оо, а ряд 2 ' —... в силу признака !«! Дирихле, сходится. Следовательно, при О < у — р ( 1 исследуемый ряд сходится условно. В « 100. ~ ~— х,у>О, и+ у" ' «! ч Пусть О » (у ( 1.