Антидемидович 2 - ряды (Антидемидович)

Глава 1. Ряды 01. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 82. Признаки сходимости знакопеременных рядов 83. Действия над рядами 84. Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов 85. Степенные ряды 58 86. Ряды Фурье 79 87. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 96 Глава 2. Дифференциальное исчисление функция векторного аргумента 81. Предел функции. Непрерывность 82.

Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента. 03. Неявные функции 94. Замена переменных 85. Формула Тейлора 86. Экстремум функции векторного аргумента Ответы 3 3 25 38 40 113 113 124 147 167 186 196 220 ИИЛя«<ко, А.КБоярчук, ЯГГай ГЛГоловач МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: РЯДЫ, ФУНКЦИИ ВЕКТОРНОГО АРГУМЕНТА Справочное пособие по высшей математике. Т. 2 М.: Ел>порвал УРСС, 2003. — 224 с.

<<Справочное пособие по высшей математике>> выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики— математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной. Том 2 по содержанию соответствует первой половине второго тома «Справочного пособия по математическому анализу» и включает в себя теорию рядов и дифференциальное исчисление функций векторного аргумента. Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физикоматематических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику. Оглавление Глава 1 Ряды ~1.

Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 1.1. Общие понятия и определения. Определение 1. Прешь а„— произвольныг злгмснты линейного пространство Е, в котором определено сходимостсэ и б Ы. Рядом элементов а„называют выражгнис аз + аз + ... + а„+ .. = ~ ~а„, а злгмснты а„— его члгнамо. В частноспзи, если а б !й или а„б С, пю ряд(1) называют числовым.

Определение 2, Сумма и первых членов ряда (1) называгшся частичной суммой и часто обозначается через В„, гл.г. Б = аз+ аэ + ... + а . Определение 3. Если сущсствусгп конечный предел !ио В =В, ВбЕ, то ряд (1) сходится в Е, а элемент 5 называют суммой ряда. Если !пп Вь = со или нг сущссгпвуст, пзо ряд (1) называют расходящимся. Определение 4. Ряд (2) а ь= эз называсшся и-м остатком рядо (1) или остатком после и-го члвна. Ряд (1) сходится или расходится вместе со своим остатком, поэтому часто нрн исследовании вопроса о сходнмости ряда вместо него рассматривают и-й остаток.

Определение б. Пусть аь б !й. Если а„> О, то ряд (1) называют положит сльным; если а„> О, п б И, шо ряд (1) называют строго положит гльным. 1.2. Необходимое Условие сходимости ряда. Для того чтобы ряд (1), п.!.1, сходился в Е, необходимо, чтобы йзп а„ж й, й б Е, и ю где й — нулевой элемент линейного пространства Е. 1.3. Критерий Коши. Дуста ь есть !й или С, для того чтобы ряд (1), и, 1.1, сходился в Е, необходимо и досках~ э» ч обы у > О Эпо такое, что уп > по ЛЗгр б р! выполнялось бы неравенство )В+, — Вп(ж! + + аз+ "+в+э)( Гл. 1. Рады 1.4. Обобщенный гармонкчесюй ркд.

Определение. Числовой ряд 1 называется оБоБщенным гармоническим рядом, а яри р ы 1 — гармоническим, Он сходится при р > 1 и расходится при р ~ (1. 1.5. Признаки сравненбя чнсловых рядов. Теорема 1. Если ряды (1), и. 1.1, и Пп1 положительны и ап ( Ьп гп > пе, то из сходимости ряда(1) настоящего пункта вытекает сходимосзпь ряда(1), п. 11, а иэ расходимости ряда(1), п. 11, вьзтекает расходимоспзь ряда (1). Теорема й. Если ряды ~ ап и ~Ьп строго положительны и Чп > пэ выполняются неравенства аэз ЬЕ1 — <— ап Ьп тв справедливы вьиоды предыдущей теоремы.

Теорема Я. Если ряды ~ап и ~ Ьп строго полоыительны и ап Еш — = с, О < с < +со, Ьп то они сходятся или расходятся одновременно. Теорема 4. Если при п -+ оо „=о*( — '), то при р > 1 ряд (1), и. 1.1, сходится, а при р ( 1 расходится. 1.6. Признаки дзАламбера н Колэн. Если ряд (1), п.1Л „строго положителен и Мш — = Е, оп+1 п-эп ап ао при Е < 1 этот ряд сходнтсв, а при Е > 1 расходится. При Е = +со ряд (1), п.1.1, также расходится, а если Е ы 1, то вопрос о сходимостл ряда остаегсл открытым (признак д'АламБера е предельное форме). Если ряд (1), п.1.1, положителен и бш Г(а„ы Е, то относительно сходкмости ряда (1), п.1.1, делаем те же выводы, что и в признаке д'Аламбера (признак Коши е простебшей предельноб форме).

Ыт. Прнзнак Раабе. Если ряд (1), п.1.1, строго положителен и 1по и — — 1 =р, то прн р > 1 он сходится, а прн р < 1 расходится. Прн р = +оо ряд (1), п, 1,1, схопвтся, а если р 1, то для взгяскення вопроса о его сходнмостн нлк расходнмостк слезП1ет прнмеияэз другке прищеми. 11. Числовме ряды. Признаки сходимости зиакопостояиных рядов 5 Если функция у иеотрицательна при х > 0 и не возрастает, то ряд 2 г(п) сходится или =1 расходится одновременно с несобственным интегралом Доказать непосредственно сходимость следующих рядов и найти их суммы: 1. — + — +...+ 1 4 4 7 (Зо — 2)(зп + 1) М Покажем, что сходится последовательность частичных сумм (5„) этого ряда: 1 1 1 5„ж — + — + ...

+ 1 4 4 7 (Зо — 2)(зп+1) Для этого с помощью очевидных преобразований приведем 5 к виду Легко видеть, что последовательность (б») сходится, т.е. сходится, по определению, данный числовой ряд. Сумма его Я = йщ 5 = йщ — (1 — ) = —. В З (, Зп + 1) З 2. а) дала+ дэ ил2а+ ... +д" зщпа+ ...: б) дсоза+ да сов 2а+ ... + д" созна+ ...; (д( < 1. и Пусть (о„) и (е„) — последовательности частичных сумм рядов б) и а) соответственно, е и е — их суммы Тогда. использовав формулу Эйлера е'т ж соз я+ ~ зщ да можем написать я »+1 д 40 т 2 эя и„+дэ» = де' + д е ' + ... + д е' 1 — де'» Принимая во внимание условие )д( < 1, имеем )де' ( < 1; отсюда следует, что Б»+1 ц»з П») 0 (д е » А тогда иэ предыдущей формулы находим де'» ( соз а — д япа и + го = йщ (э + эе») = —, +э » 1-де' т 1 — 2дсоза+дэ 1 — 2дсоза+дэ Поэтому соз а — д и =д 1 — ' 2д оси а + дэ 3 ~~~,(»го+2 — зт/в+1+ т/в).

дива з= 1 — 2д соз а + дэ » з 1.8. Привили )Гаусса. Если ряд (1), тв.'1.1, строго яеложителен и д р» яд+ — +,+,, л, дж сонет, о»+1 в в'+' где е > О, (В ( < с, то прм А > 1 рлд (1), п.1.1, сходится, а при 2 < 1 расходится. Если же 1 = 1, то ряд сходится при и > 1 и расходится при д < 1. 1.0. Интегральный признак Коши — Маклорена.

Гл. 1. Ряды и Непосредственно находим б = (ъ/3 — 21/2+ 1) + (!/4 — 2ъ'3+ ъ/2) + (Л вЂ” 21/4+ ъ'3) + ... + + (ъ/и — 22/и - 1 + ъ и - 2) + (!/я + 1 — 22/»+ !/з- 1) + (ъ/н + 2 — 2 /и + 1 + 1/и) = 1 =1 — ъ/2+2/н+г — / +1=1 — ъ2+ ъ/о + 2+ ъ'» + 1 Следовательно, Я= Вш Я =1 — 1/2.М 4. Исследовать сходимость ряда ~ маля. »1 и 1!усть х ~ )ст (1 — целое) и ряд сходится. Тогда должно выполняться необходимое условие сходнмости ряда: йш ип ох = О, х ф )ст. (1) » Отсюда следует, что йгп ыл(»+1)х = О, или йш (нпкксозх+созптыпх) = О. Принимая во внимание (1), из последнего соотношения находим, что (2) йш сов ох = О, х ф )ст.

Из (1) и (2) получаем равенство )пп (соз»я+зги»2) = О, г . г которое противоречит известной формуле зш о+ соз а = 1. Источник противоречия — фор- 2 г мула (1). Следовательно, если х ~ йт, то данный ряд расходится. Сходимость же ряда прн х = )гт (й — целое) очевидна, и сумма такого ряда равна нулю. > р„.р, -1 5. Доказать, что если ряд ~2 а сходится, то ряд ~ А, где А„= 2 а„рг = 1, !»1 »1 »Р рг < рг < ..., полученный в результате группировки членов данного ряда без нарушения порядка следования их, также сходится и имеет ту же сумму. ч Нз сходимости ряда ~ а вытекает существование предела любой подпоследователь- »1 ности последовательности его частичных сумм, равного сумме ряда Я. Возьмем эту подпоследовательность в виде а, = Брг, аг +аг + ...

+ ар, 1 = .5рг, з1 +з2+ ... +зр2 1+Яр!+ ... +Яр!-1 =Яр!, ... з1+о2+ ... +ЙР ! -1 =~Р 1. Тогда )гш Яр„— ш о' по условию. Но так как последовательность частичных сумм второго ряда А! +Аз + ... +А равна Вр,ю, то йш (А! + Аз + ... + А») также равен б, что и требовалось доказать. Обратное утверждение неверно, так как из сходимости подпоследовательности еще не вы. текает сходимость самой последовательности. Возьмем пример. Пусть а» Р» (-1)"ш ряд РО 2 '( — 1)»+', очевидно, расходится, хотя, напримеР, Ряд Х (1 — 1), получаемый из предыду- »1 »=1 щего в результате группировки его членов по два, сходится. М 6.