Антидемидович 2 - ряды (Антидемидович), страница 12

Разложение имеет вид Функция Г, разлагающаяся в ряд Тейлора, наэываетск аналитической и ее разложение (1) единственно. Практически. важными являются случаи представления остаточного члена разложения (1) в форме Лагранжа Я (х) = г(х) — ~ — (х — а) = (х — а)" г О1(а) ь у("+'!(а + В(х — а)) й! (п+1)! ь=о и в форме Коши угч+~!(а+йг(х — а)) )ь( )ььг п! гдеО<В<1,0 <бг <1. 5.4. Разложения освоввык злемевтарвацс функций. Полагая в формуле (1), п.5.3, а = О, получаем пять основных разложений: Гл.

1. Ряды бб и 1. е = ~ ~—, (х( < со. и1 ' ««О цп 2«О! П. Б!вх — ~~1~~~, )х) < оо (2п+ Ц1 1П. соз х = ~~~ ~, )х) < оо. ( цп 2п (2п)! «О 1Ч. (1+*)" =1+~ ( ) "'( +Ц ",-1<* <1. п( «1 ( 11«! 7. 1а(1+ х) = ~д( -' — ( — —, -1 < х < 1. л ««1 Разложения 1 — ГП справедливы для всех комплексных значений х, разложение 17 выполняется при )х) < 1, гл б 66, а равенство 2( — при )х) < 1, х ф -1. 5.5.

Операции иад степеииымп радами. Ряды а (х — а)« и ~~! 6 (х — а)« «О «О всегда имеют общее множество сходимости и внутри этого множества справедливы следующие операции сложения и умножения: и и Ф 6~~! а (2 — О)«+и~ 6«(2 — а)« = ~ (»а„+ ПЬ«)(З вЂ” )"; п«О ««О п«О а«(2 — а) ~6 (2- а) = ~~! с«(2 — а), О «О и«О ГдЕ С, = во 6» + а16«1 + ... + Л«ЬО, .А, П вЂ” ЧИСЛа. Если степенной ряд (Ц, п.5.1, действителен, то внутри интервала сходимости его можно почленно дифференцировать и почвенно интегрировать; при этом интервал сходнмости полученного таким образом ряда совпадает с интервалом сходимостн исходного ряда. Соответствующие формулы имеют впд: ~ У а«(Х вЂ” а)п = ~~! (П+ Ца«21(Х вЂ” а)", «О «О (й".- ) «й — "-- ' и+1 п«О и О Определить радиус и интервал сходимостн и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующих степенных радов: 146.

~~ 2 +( 2) (в+ц" и п 1 и По формуле Коши — Адамара имеем поэтому при --, < х < -2 РяД скоДится абсощотно. 4 2 61 15. Степенные ряды Исследуем поведение стеленного ряда на концах интервала сходимосги. Пусть х = -о. Нехрудно видеть,что ряд 3»+( — 2)п (-1)п ~ » (-1)п г)» 1 (2)п 1 «»1 " ..1 сходится, так как равен сумме двух сходящихся рядов. 2 Пусть х = --. Тогда числовой ряд э' " З" +(-2)п Е ВЗ» »1 в силу признака сравнения, расходится ( — ьт-)- = — — *' — > — .

Следовательно, в точке 1 2 х = -- степенной ряд сходктся лишь условно, в точке х = — — — расходится. М »1 М По формуле (2), п.б.), находим (в!)2(2в+2)!, (2в+1)(2»+2) п ю (2в)!((в+1)!)2 и- (»+1)2 поэтому при )х) < 4 ряд сходится абсолютно. 1 ООО 1 Прн з = 4 получаем числовой ряд 1 а, где ап ж ', . Поскольку — '" = 1 — — + (2п)! о„(.1 2» »1 1 — то ап < а 4!.

Это означает, что послеДовательность (а ) монотонно возРастает. 2»(п+1) Следовательно, общий член ряда к нулю не стремится, т.е. ряд расходится. По этой же причине он расходится к в точке х = -4. В 148. ~ ~(1+ — ) п»1 ч По формуле Коши — Адамара находим радиус сходнмости ряда: — = йш (1+-) =е. В, в Следовательно, при (х! < — ряд сходится абсолютно. При к = — получаем числовой рлд 1 1 Е 1! ' 1 а», где ап о» (1 + -„) — „. Покажем, что общий член этого ряда к нулю не стремится. п»1 Действительно, имеем 1 ап = ехр(-в+ в )л(1+ -)) = ехр(-в+в ( — — — +о ( — 2))) -» е 1, в оо. Таким образом, в точке х = -, степенной рлд расходится. По той же причине он расходится 1 1 и в точке х = --.

М оо 149. ~~! — 'х", а > 1. »»1 м находим радиус сходимостм ряда по формуле (2), п.5.1, имеем 1, (и+1)! 2 +1 В= Бш о' = йш — =+оо, » ооа ~(в+Ц! оо в+1 следоватшгьно, данный степенной рлд сходится по всей числовой прямой, и Гл. 1. Рпды 52 М По формуле (2), |.5.1, находим Следовательно, нри -1 ( х < 3 ряд сходится абсолютно.

При исследовании характера сходимости ряда в точках х = — 1 и х = 3 пользуемся соответственно примером 79 и признаком Гаусса. Имеем Е»Е1 2 -1» где ап и ~~~— "=-т)»1~ . Отсюда учитывая упомянутые признаки, заключаем, что в точке х = -1 =~ (п)1 1 ряд сходится при р > О, а прн р > 2 он сходится абсолютно. Следовательно, в точке х = -1 он сходится условна при 0 < р ( 2. В точке х = 3 рлд сходится абсолютно прн р > 2 н расходится прк р ( 2.

й 151 ~'( 1) ( ~ (и() ) и 2,(2в+ 1)!/ ч По формуле (2), п.5.1, получаем ( 2»(и!) (2а+3)! ~ . Г2а+3)р р и-»~ ~(2а+1)! 2»Э1((к+ 1)()2/ и о» ( я «-1 / Поэтому ряд сходится абсолютно при )х( < 2р. Рассмотрим поведение степенного ряда в граничных точках интервала сходкмостк. Для этого образуем отношение — = ~1+ — ) =1+ — +о(т — 1, с>0, п оо, ап»1 '1 2а+ 22' 2и 1и1«'/ ' где е» ю ~ — '-пт~ 2' . Пользуясь признаком Гаусса, нз этого отношения находим, что в "= ~(э.е)'! точке х = -2р ряд сходится абсолютно прн и > 2, а прк р ( 2 ряд расходится.

На основании же примера 79 устанавливаем, что в точке х = 2Р рад сходится при р > 0; абсолютна сходится прк р > 2 (по признаку Гаусса). Следовательно, в этой точке он сходится условно, если 0<р<2. и 102. ~ ~(~ и.' =1 М Длл удобства исследования представим ряд в виде „ , и — 1 — 1п)(а — 2 — рл) ... (1 — т)гп ~ (-1)пОчевидно, ряд сходится абсолютно, если т, б Еэ, а х — любое; поэтому далее будем считать, что гл Е 3с ') Уо Для нахождения радиуса сходимости применяем формулу (2), п.1.5. Имеем где (и — 1 — гп)(и — 2 — гл) ... (1 — гл)пэ а и и! т б. Степенные ряды бЗ Пусть х = — 1.

Тогда„составляя для числового ряда отношение — =1+ — + а т + 1 !в(!в + 1) (1) а е! в в(в — !в) н пользуясь признаком Гаусса, находим, что в !той точке степенной ряд сходится абсолютно, если |в > О,и расходится, если т < О. Пусть х = 1. Тогда из (1), на оскованни примера 79с заключаем, что степенной ряд сходится, если |в > -1. Следовательно, при -1 < и! < О рлд сходится условно. и 15З.'> ( ') (-в)"*".

ии! ч Применяя формулу (2), п.1.6, получаем с= — '"~» (" Следовательно, прн |х) < 1 степенной ряд сходится абсолютно. Пусть х = 1. Тогда, имея в виду утверждение примера 79 для ряда 2,'(-1)"6„, где си! 1 6« ои (-) —,, составим отношение (с) «!' — = е (1 — — ) = ехр (1 + в 1а (1 — — ) ) = ж ехр 1+ в + О ( — )) )с ш 1 + — + О ( — ), в -и 00. (1) в+ 1 2(в+1)1 1в!)) ) 2в 1») ' Теперь видим, что по указанному утвержденшо ряд сходится. Пусть х = -1. Тогда, воспользовавшись признаком Гаусса, нз соотношения (1) получим, что степенной ряд расходится (здесь и = 1).

Отсюда следует, что в точке х ы ! имеет место условная сходнмость. М 154. ~ (1+ -+ ... + -) *". ии! и Поскольку 1 + - + ... + „- = 1а в + С + е», то 1 1 1 1 и оо 2 в оо Таким образом, по формуле Кошм — Адамара, ряд сходится прн (х( < 1, В точках х = 1 н х = -1 ряд расходится, так как общий член ряда, на основании указанного выше врнмера, не стремится к нулю при в со. М !со|-1с)"!" в и 1 м Применяя формулу Коши — Адамара, получаем З+ (-1)и — = ккш „= йш —,„ 16 -ы фв ь- *Яй Отсюда следует, что прн (х( < - рад сходится абсолютно. 1 Поскольку для подпоследовательности (Яти) последовательности частичных сумм число|а+1-Ы" !" 1 1 1 ваго ряда 2 „выполняется неравенство Я!» м — 2 —, то в точке х = + — ряд п 1 Ь«1 расходится. Анааогично в точке л = -- имеем 1 1 и ои — + — — + -— + — = 2 .

2 9.21 л "' 2 -1(2в — 1) гв л 26 ~ 2"- (26 — 1)' а1 11 Гл. 1. Ряды Следовательно, Вш Яг» = +со, поэтому и в этой точке ряд расходится. !и и оо ( — 1)1!оа1 156, ~ х (ряд Прингсхейма). и ! 1 Согласно формуле Коши — Адамара, находим ) ( 1)1,Я вЂ” = Вш = Вш — „=1. )С и оо Н и оо Таким образом, степенной ряд сходится абсолютно при ]х[ < 1. В точке х = 1 получаем числовой ряд, сходнмость которого доказана в примере 21.

В тачке х = -1 получаем ряд 1)»41!Я 1)и+(,Я »! ! !о,о!6, ! и»1 !»г при А! -! соу оо о 1 И Поскольку 2 (-1)» ',, = мах, х Е] — оо, +со[, а и ! г»-! звр зшх — Д~! (-1)» ' *, =+со, < <еоо ] (2и — 1) ! и ! Поскольку первый ряд, находящийся справа в равенстве (1), лейбницева типа, то он сходится. Второй ряд также сходится. Так как, кроме этого, ряд, находящикся слева в равенстве (1), абсолютно расходится (как гармонический), то мы пркходкм к выводу, что в точке х = — 1 данный степенной ряд сходится условно.

~ 10м»1 157. 7 — (1 — х)", где и(») — количество цифр числа». н и»1 ч По формуле Коши — Адамара получаем . ЯО! »14! — = Вш г( =1 В (см. пример 45), т.е. при 0 < х < 2 степенной ряд сходится абсолютно. В силу неравенства» = 10'г и < 100! Ме! < 10!г "4' = 1Оп, заключаем, что в точках х = О и х = 2 ряд расходится, так как при этом общий член ряда не стремится к нулю. 158, Скределить интервал сходимасти разложения в степенной ряд функции у ! х ! х : а) по степеням х; б) по степеням бинома (х-5), не производя самого разложения. х' — 5х+б И Преобразовывая функцию у для случаев а) и б) к виду а) у(х) =; Ь) 1(!+5) = го(!) = х г+5 (х — 2)(х — 3)' (1 + 3)(! + 2)' , г=х — 5, и принимая во внимание то, что радиус схадимости степенного ряда определяется расстояни- ем от центра разложения до первой особой точки аналитической функции или какой-нибудь ее производной, находим: а) х = 2 — точка бесконечного разрыва функции г; х = 0 — центр разложения ее в сте- пенной ряд (по условию), а поэтому Н = 2 н интервал сходимости определяется неравенством [х] < 2.