Антидемидович 2 - ряды (Антидемидович), страница 15

Ряды 76 195. С помощью разяоженкй подынтегральных функций в ряды вычислить с точностью до 0,001 следующие интегралы: ! О Оа» 1 а) (е Йх; б) /О*О(х; в) / —; г) /х Нх. / 1+хэ ц а) Пользуясь разложением 1, п.3.4, находим О =~ —,х, (х(<оэ, -»э ( 1) 2 » О откуда 1 ~-~ и!(2в+1) О »=О Полученный ряд лейбницева типа, поэтому ески дзя нахождения прибаиженного значения данного интеграла взять й членов ряда, то погрешность не превзойдет ((О + 1)-га члена ряда.

Из этого усяовия находим нужное чисао х. Имеем О 1,< < 0,001, откуда 1 > 4. 1ООО1 ОООО~ Следовательно, 1 1 1 1 1 О 42 1 — — + — — — + — = 0,747 3 10 42 216 О б) Пользуясь формулой 1, п.6.4, и разаагая лодынтегральную функцию по степеням —, 1 1» получаем О = 2 —,„, (х( > О. Интегрируя этот ряд лочленно, имеем ° =О ) 11 1 О» Ых ю 2 + 1з 2+ ~ ~1 — — ) 2иу и(и+ 1)!2" 2 =1 Ограничиваясь Й членами ряда, находим О О Е~ ) 11 1 е* Ых 2+1в2+ ау ~1 — — ) 2») и(в+ 1)12»' 2 1 Из оценки остатка ряда Е 1 ( 1~ ( 1 (1- 1< 1+ + + ...

< в(в+ 1)!2" 1 2") (и+ 1)!2»О'(в+1) 1 2(и+ 2) 22(в+ 2)(и+3) / »=ь41 1 / 1 < ~1+ + +... <О,ОО1 (и+ 1)!2»Ы(в+ 1) ~ 2и+4 (2в+ 4)2 сяедует, что для пояучения результата с указанной точностью нужно взять Й > 3. Таким образом, О э йх щ 2+ О 6031+ -+ — + — = 2 834 ., 1 1 7 8 64 6608 (иян 2,838 с иабыгком). Гк. 1. Ряды М Двина э указанной дуги выражается интегралом Б=) ф+соБэхох. о Преобразовывая подынтегральную функцию к виду 1 11 1 4 соэ х ю 1)( — ( 1 + — соэ Зх) '9(г (, 3 и замечая, что э(сох 2х( < —, разлагаем ее в степенной ряд по стереням -соэ Зх, используя ! 1 1 формулу 1Ъ', п.б,41 '1! г ( Х (Зэ)!(3- п=1 Интегрируя этот ряд почвенно, получаем г/ ,/1 4соээхо(хм ~ х+ ~~,~~( 1)" о »п1 (г) (3) гне 1 = 1~ соэ" Зх Ых. (4) о Почвенное интегрирование ряда здесь возможно, так как ряд (2), по признаку Вейерштрасса, СХОдктоя разиОМЕриэ ПО Х, а фуНКцИИ Х и СОБ" 2Х НЕПрЕрЫВНЫ.

ИНХЕГрнруя В (4) Па ЧаетяМ, находим 1п = соэ Зхя(эш2х) = (в — 1)(1 -э 1п) 2,1 о откУда 1 = — "' 1„э, в б 1ч1(1). ПосколькУ 1о = х, а 1, = О, то из полУченной РекУРРентной формулы находим (2в — 1)!! 11 = ",г, 11 -1 юб, обИ. (2п)!! Используя этот реэуяьтат, иэ (3) и (1) окончательно имеем 3 ( т"и (4в — 1)0(2в — 1)0 ) 2 (( ~ (4в)ПЗэп(2в)!! )) ю Е 1 Оценивая остаток последнего ряда: ~оз Э ~»и~пэ. ~ « ~Л1~~П Е (4в)!!Зэ" (2п)Д Зэо+э(ЗХ+ 2)0(41+ 4)!! (, 9(41+ 8)(21+ 4) < 1+ ппо41 1 1 1 1 1 3 < ~1 1- -+ — + ...) =— б Зэооэ 1 9 81 ) 3.9"+э и учитывая, что абсолютная погрешность при вычислении данного интеграла не должна превмшать О, 01, чксхо первых членов ряда находим кз неравенства э 1/-.

- — ~~эх < 10 '. Его решенмв й ) 1. Следоватекьно, э и я,/й (1+ „— Б) = 3,92 .... М 79 36. Рады Фуръе Упрамжепил длл самостолтелъиой работы Найти ралиусм сходимости следующих степеииых радов: 00 3 Оо '" е( «!)" )'-о" ™ ео ' !)' " ' е""'..' """. ««! «1 ««! ОО 00 106. ~ вш -'вш — ... юв1 (х — 1)". 10Т.

~ ~("-))т( — "+(в — 3+в)", вл (э«), (э ).. «о «-1 108. ~ ~ Сээьо'((21 — Ц)!)~((2« — 21+3))!) („,),. ««1««о т (в «)(") ( *))(")(„„, 109. ~ „, * '*". 110. ) ««о «о Разложить в степенные ряды по степеням х функции: о 111. х ««вшв х. 112. х «« —,*,, 113. х н с «о 1 1 1 114. х «! !в(1+ х!) Й. 115. х ««( згстй(х!) Й. 116. х «! с * ' Й. о о о 117. Показать справедливость формулы в (свл) Асов м где А — постояииая квадратная матрица. 118. Пусть А — квадратная матрица.

Положим, по определению, вшА т ~(-1)" '~-,— „совА = Я(-1)« (т), «1 ««о Показать, что матричные ряды сходятся для произвольных А. 119. Пусть А — квадратная матрица. Положим, по определеиюо, )в(1+ А) = 2 (=-) — А". «1 оо Показать, что если ~ аэь с 1, где а«ь — элементы матрицы А, то ряд (1) сходится. «,ь о ~6.

Ряды Фурье 6.1. Осповиые определелпл. Определеиме 1. Система функций 1 кх . хх ккх . йхх —, соз —, мв —, ... сов —, пв —,, х е (-1, )], 2' !' !' ! ' ! Эта система ортогональна на называется основной тригонометрической системой. отрезке (-1, !). Опредепепме 2. Пусть У й Я(-1, !). Числа ао = — у! г'(х)вх, аь = — ! у(х)сон — йх, Ьь ж — ! г(х)мв — ах, й й р), 1 Г й х 1 Г , йкх !./ наэыеаттс" коэффициентами Фурье функции у но основной триго«смотри«вской систе- мс. 60 Гл. 1. Рады Определение 3. зригомометрический ряд ае ч Г йтх . Йтхц — +~ ййайсгю — +ййшп — ~ 2 ~ 1) й=1 мазываепгся рядом Фурье фу»кипи у.

В частности, если фумкция у' четкая, то ее ряд Фурье имеепг еид ог ао ч 111гх ай сог 2 й=й ряд Фурье нечетной функции имеепй вид йтх Еь"ь— 1 й 1 Определевие 4. Функция 1'1[-1, 1) й называется кусочка-мепргрыемой ма [-1,!), если ома непрерывно в каждой точке х 6 [-1, 1), зв исключемием, быть может, конечного числа точек, где ома имвепй разрывы первого рода. Определение Ь. Функция 1: [ — 1, () % мазывается кусочка-гладкой ма [-1, (), если зпйа фумкция кусочно — непрерывка и имеет мепрерывмую произеодмую ма этом отрезке, за исключением, быть мозгет, конечного числа пйочек, е казгдой из которых производмая имеегп комечмые одмостороммив предельмые значения.

6,2. Теоремы о разложеива в ряд Фурье. Теорема 1 (осповная). Пусть кусочка-гладкая мо отрезке [-1, 1) функция 1 периоди- чески с периодом 21 продолвема ма всю числовую прямую. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции г' сходится в каждой точке х 6) — оо, +со[ к значению -(Д(х-О)+г(х+О)). Теорема 2. Если для непрерывкой и кусочно-гладкой ма отрезке [-1, 1) функции 1' аыпол- мяется раве»ство 1(-1) = у(1), то ее тригомомеглрический ряд Фурье сходится равномерно ма этом отрюке и сумма его роома змачемию функции 1 гх 6 [-1, 1). 6,3. О дифферевцироваиии и иатегрировавви рядов Фурье, Пусть 1 6 С [ — 1, 1) и 1( — 1) = у(1), у'(-1) = з'(1), ...,11~1(-1) = гй 1(1).

Пусть, кроме того, функция 1' имеет па отрезке [-1, 1) кусочпо-непрерывную производную порядка 1»+ 1. Тогда; 1) сходится числовой рад ( — ) ((ай(+ (ой~); й=1 2) ряд Фурье такой функции можно пг раз почлеппо дифференцировать па указанном отрезке. Рэд Фурье интегрируемой по Римапу на отрезке [-1, 1) функции у можно интегрировать почвенно иа этом отрезке. 6.4. Разложеиие в ряд Фурье ао другам ортоговальиым системам. Ортоговальвые полввомы.

1) Полкпомы Чебышева Т„(х) = „1, сог(пггссогх) ортогопальпы па интервале ) — 1, 1[ с весовой функциек х й -э, т.е. йг'1-гз 1 1х = Гпи(х)Т (х) э' йУ) — У вЂ” 2эп 1 юп 1 где О, пгфп, 1 т=» 3 б. Рады Фурье 2) Полиномы Лежандра Рз(х) = — „„, — ~~~- ортогонаяькы на отрезке [-1, 1], т.е. ! 2 Р (х)Р„(х)бх = — 6 2в+ 1 -! а"!з"з 3) Полиномы Абеяя — Лагерра й (х) = — „, „~! обладают свойством ортогонавьности на интервале ]О, +со[ с весовой функцией х ~ е*. Таким образом, имеем й (х)6 (х) бх = 6т . з 4) Полиномы Чебышева — Эрмнта Н„(х) = '— , — '„определены на всей числовой пря- мой и дяя них справедяива формула з е Н (х)Нп(х)бх = 6тз.

з Разложить в ряд Фурье в укаэанных интервалах следующие функции: 197.У:х ~ О' ! А, есяи О <х <1, где А — постоянная, в интерваяе ]О, 2![. если ! < х <21, в Как видим, данная функциа кусочно-гладкая, причем точка х = 1 — точка разрыва пер- вого рода. Поэтому, согласно теореме 1 о разложении, функция У' может быть представлена рядом Фурье. Перкодически (с периодом 2!) продолжая функцию у на всю числовую прямую, построим функцию А, если 26! <х < (26+1)1, 1А, если х = 61, з О, есин (26 — 1)! < х < 2Ы, где 6 Е Е.

Согласно указанной теореме, функция у' совпадае! в кюкдой точке х числовой прямой с ее сходящимся рядом Фурье: аа ч»( вях . втх! ~ (х) = — +~ ~азсоз — +6„пп — ), — 2~" ! " !) я=! где з! 1 Г пхх А ! взх аз =А, а» = — ) у'(х)соз — бхш — ~ Дх)соз — !!хм — з! соз — Их мО, ! / ! -! з з 1 Г „ , втх А Г . вхх А зз! 6, = — ) У"(х)ып — Их= — ) зш — бх= — ((-1)" +1). 1/ зз Следовательно, г"'(х) = ф+ з й !, ши — ", хх при всех х Е] — оо, +ос[, а з ! А 2А с"» 1 . 2в — 1 У(х) = -+ — ~ — ! — * 2 т 2в — 1 в 1 тольконри О <х(! и 1(х(21.

> 83 16, Ряды Фурье Далее, имеем ао =2(а+1), «+ж а+зГ Ьгх 1 Г йтх 21 . Ьга соз г(х = — ~ у(х) Ом — г(х ге — х сов — ах = — зш а а аа = - у! у (х) -г г аен Ьгх 1 ! . Йхх 21 Ьга ~'(х)мп — 4х гх — ~ Дх)кп — бх ж — — соз —, х б )4. Ьг 1 — г Таким образом, 21т"«1 . пх У'(х) = а+1+ - 2 - ап — (а - х), [х~ < оо, х в 1 ««Г 21т 1, вт у"(х) = а+!+ — «у — Ип — (а — х), а < х < а+ 2!.

!в 2 «г 2 Г 2 г' 2 4 . тп а = — Г збп(сов х)сох охдх = — ~ сохах г!х — — ~ созвхг!х = — мп —, и Е Ы. т хв 2' Таким образом, имеем 4ч 1, тв 4т-«( — 1)" збп(сох х) — ~ зщ созна — ~ соз(2Й+ 1)х, ,2 ° и 2 т 2.~ 21+1 «=1 а=з -со < х < +го.к 202. 1; х г агсза(созх). М Нетрудно проверить, что зта функция непрерывна на всей числовой прямой и имеет кусочно-непрерывную производную (ока не дифференцируема только в точках х = Хх, где й Е Ж). Кроме того, она 2гг-периодическая.

Слецовательно, ее рлд Фурье сходится к ней в каждой точке х Е] — гю, +оо[. Принимая во внимание четкость данной функции, находим 2 ((-1)" — 1) 6« = О, аа еа — ~ ~- — х~ г!х ««0, а„= — ! ~ — — х~созпхг!х = - —, и Е Я. гг пт Итак, 2 ч-«((-1)" — 1) 4 ч соз(2Й+ 1)х агсз!в(сов х) ж -- аз совах = — аз та пз = „з 2.~ (20 4 1)з -со < х < +со. к г а о 202 у г * - (*) — р н х до бл жай го ц, ого нсл . разложить в ряд следующие периодические функции: 201.

У: * ~- збп(соз х). К Данная функция кусочка-непрерывна (точки разрыва х«первого рода удовлетворяют уравнению сов ха = О) и имеет кусочно-непрерывную производную у~(х) = 0 прн х ф х«. Кроме того функция ! периодическая с периодом 2т н !"(х«) = т(у(х«-О)+г(х«+О)).

Следовательно, она может быть разложена в рлд Фурье, сходящийся в каждой точке х числовой прямой. Учитывая четность рассматриваемой функции, получаем !г«=О, а«=0, Гп. 1. Радм 84 М Функция у — четнак, имеющак период Т = 1; в остальном ее свойства анаяогичкы свойсгваы функции х» агсмп(соз х), рассмотренной в предыдущем примере. Поэтому ( 1)\ о« = 4 ~хсоз2»п»4» =, «Е Ы.