Антидемидович 2 - ряды (Антидемидович), страница 16

„з„! о 1 оо = 4 ( х Ых =— 2 о 8« = О, Таким образом, имеем 1 2 т"«соз(4« — 2)»х (х) = — — — ~, ~х) < оэ, и (2 — 1) !«1 204. у: х ~- ~~ ૠ— ". "*, )а) < 1. Б1П Х и Поскольку ««1 то, согласно признаку Вейерштрасса, данный ряд сходится равномерно на каждом отрезке, не содержащем точек х = 1», х е У. Так как, кроме того, функция х ! —, непрерывна при х ~ 1», то, согласно п.4.4, функция 1 непрерывна при х ф х». Аналогично можно показать, что функцив «П БОБ ПХБ1П Х СОБХЗШ Пх У'1х ~- ~ а« ЯП Х и«1 также непрерывка при х ф й».

Как следует нз равенств Йп )(х) = йш 7 а« . "* = 1по -» » йи БШХ и» Б1ПХ «1 па" соз пх = ~~ па (-1) щ Д», п 1«оЦ» = 1пп »и «1 х = 1» — точки устранкмого разрыва функции у. Таким образом, периодическая функция ) у(х), если х К Ьг, '( 1у», если х = й», разкагаетсв в сходящийся к ней всюду ряд Фурье. Имеем 2)хмп 2х) = а » а« У'(х) = — + 2 иу — соз(п — 1)х = — + 2а ху — соо 1»х. !ь аа 1 хэ»1 аз — 2 1 а ~'(х) = иу †.

(мп(п — 2)х соз 2х + соз(и— и«1 ='5 а« . +2') а (— «Бш(п — 2)х «1 п 1 Отсюда находим О 1)х ю -а+ а ~ а —, + 2 ьэ а соз(п — 1)х. !к «Бшпх ч зшх ««1 «=1 Ь б. Рцщл Фурье 205. Функцщо у!я! хз разложить в рви Фурье: а) по косинусам кратных луг; б) по синусам кратных дуг; в) в интервале ]О, 2з'[. Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов; г« =1 ««1 »=1 ч В случае а) функцию у, рассматриваемую в силу условия примера тотько иа отрезке [-я, х], периодически (с периодом 2я) продолжим на всю числовую прямую. Тогда получим непрерывную и кусочно-глаякую функцщо у', совпалающую с функцией у при ]х[ 4 я и разлагающуюся в рлд Фурье только по косинусам.

Для коэффициентов а„, Ь„имеем „4 Ь„= О, ао = — / х 11х = —, а = — / х соя ихйх = (-1)" —, и б К х/ 3:г/ пэ о О Поэтому Ю ° т' (-1)" соз пх у'(х) = — +4~~~ при Всех х Е] — оо, +ос[; г=1 11 ч ( 1) с!мах х = — + 4~ голы!о при [х] < х. 3 2 Для получения разложения в случае б) функцию х !«х, рассматриваемую па интерз вале ]О, х[, продолжим иа ] — я, О] нечетным образом, а затем так построенную функцию перкоднчески (с периодом 2х) продоюким на всю числовую прямую. В результате получим функцию 1 ]х — 2йт](х — 2Ья), если ]х — 2йх[ < т, О, если х = (21 + 1)гг, й,! Е К,определенную всюду иа числовой прямой и удовлетворяющую всем условиям теоре- мы 1, п.6.2. Вычислив коэффициенты а = О, Ь = — х зглохг1х = — ( — 1) + — ((-1) — 1), 2я „41 4 о мажем написать у'(х) = ~~ ( — (-1)"т' + — (( — 1)" — 1)) ив пх, ]х] < со, г, и 1ГПЗ » 1 Э э т [2Я( ) +1+ 4 (( )«1)),лпщ О < „„3 «1 Наконец, в случае в) по функции у 1 х»» хз, О < х < 2я, строим 2я-периодическую функцию у, совпалающую с функцией у 1 х ! х только на интервале ]О, 2я[ и в точках разрыва х = 2йт, Ь Е Жг равную 2яз.

Тогда для коэффициентов а„и Ь» функции 1" имеем х з зя Оз = — з[ У'(х) йх ю — / ~'(х) йх = — з[ х гЬх = —, х ту 3 -» о з « з 1/, 4 О« = — / у"(х)соя пхях = — у'(х) сОБпхех = —, пз' Г.1.Р*д Об О 22 Ви ж — ~ У'(х)юв ох ох = — д х ювпхох = — —, и Е Я. ° . 1 7,, 42. ,( и — и о Следовательно, г» ОО дяг солях юв пх ,г" (х) = — + 4 ~ — — 4!г ) —, (х( < ог, =8 пг и гиг ии! 2 4г т"и сових е юв пх х = — + 4 ~ — — 4т ву —, О < х < 2!г.

3 2, 2 ГО г Полагая в случае а) х = т и х = О, получаем соответственно ~ ,ги1 " —. Складывая почлепно эти два сходящихся ряда, находим 12 ' ги! (2п — 1)2 8 »=1 Пользуясь формулаъпг сов х = 1(2+ у), вш х = 1 (2 — д), где 2 = е'*, в = е '*, получигь разложения в ряд Фурье следующйх функций: 206. *,,2-., ° ~ )д. Ю Пользуясь указанными формулами, а также формулой бинома Ньютона, можем напи- сать 2» 2»! сов х = — (2+ 2) = — 22 С!~в = — ау (сов 2(т 2» 1 -гг 1 Ч ь 21!и-21 1 Ч» 4 4 4»г а О К=о 2» — Сг,„сов 2(т — Х)х = 4 — Й)х+ !вш 2(т — х)х) = т » — + — ~ Сг сов 2йх.

С2»1 1 'С т-а 4 2~~-~ х..в ™ 1 — 2дсовх+дг 21(1-дв) 21(1-ду) Поскольку )дв( = (дд) = (д( < 1, то справедливы разложения в степенные ряды функций двг (1 — дв) ' и дуг (1 — дй) ' ло степеням дв н дв соответственно. Имеем ОО г двшх 1 ч-и и „и е-» ие!"Π— е~"* е"и „. — ди(в" — яи) т 2 д" . = у дивтпх. и 1 — 2дсовх+ дз 21 21 =в в »иг 208. х 1 1п(1 — 2д сов х + д'), (д( < 1. и Дифференцируя данную Функцию ло х и пользуясь предыдущим разложением, получаем ОО (1 0 2 + 2))г 2~~ п 1 Здесь мы воспользоваллсь тождеством Сгт ге Сг а, а также четкостью функции х 1 сов 2йх и кечетностью функции х ги ил 2(т — й)х.

> 207. х „(д(<1. 1 — 2д сов х + дг ' ° Применяя указанные в предыдущем примере формулы и разлагая данную дробь на лросгейшие, получаем уб. Ряды Фурье 87 откуда п 1а(1 — 2ссозх+О ) = -2~ — сових+ С. 2 к~9 и-» П и 1 Полагая здесь х ж х, находим и 1(1.ь,) =~ ' ( 1)"+!+С. и »»1 Отсюда, в силу формуаы Ч, 1 5, следует, что С = О. Итак, окончательно получаем !» 1п(1 — 2осозх+ д ) ж -2~ — совах. !» 2 к~у п 1109. Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию у ! х !» 1в ~ыв *- ~, г' ц Пусть О < е < х — 21т < 2я — х, где е > О и 1 Е Б. Тогда стеленной ряд и»1 где 2 = е™, сходится при всех указанных х. Далее, покажем, что 1а ~зы — ~ = Ве ~)к — ), 1в 1 = О.

(2) Действитеаьно, пользуясь известным равенством » (И',') =»!)!=,* »И(, что н требовалось доказать. Таким образом, используя формулу (2) и рвало!кение функции з» вЂ” 1в(1 — з) в рзд (1), имеем »» х! ч- с!мпх 1а )зга -~ = -1п2 — Ке~ — = — 1п2 — ~ Ы п к п 1 ии! Так как число е можно взять как угодно малым, то отсюда следует, что полученное разложение справедливо при всех х ф 2йт. з еаО. Разложить в ряд Фурье функцию у ! х» ~1аи ~сад-~ ог, -з < х < и. 2! м Промзводнал функции у, разная 1„~ х~ 1( ~ х~ ~.

х[) н представлением и = (ы)(сох р+ 1ыв з!), где и — некоторое комплексное число, р — его аргумент, Ке 1пы = 1в(ы(, получаем (положив и ж -'(1 — х)) Гл. 1. Рицы аа является 21г-периодической функцкей и на кнтервалах О < [х[ < 2т может быль представлена раком Фурье. Действительно, на основании предыдущего примера имеем Х! т соз йх (в [з1в -~ = — 1й2 — ~ —, х ф 2ат, Х б Ж, 2[ й в 1 х! о «( — 1) соэйх 1в ~сов — ~ = -1а2 — ~~, х ф (21+1)э, 2~ 2.~ и в 1 Поэтому, если х р' хт,?г Е Е, то 1 т"«1 — (-1)в ч-«соз(2п — 1)х у (х) = — ~ соэ йх = ау 2 и лэ гп — 1 «1 ««1 Интегрируя полученный рял лочлепно, находим ) ~-«соз(2п — 1)О ч «зга(2п — 1)х ( х ) / ~ 1 ~ ( 1 ) 1„в, в 1 211.

Как следует продолжить заданную в интервале )О, — [ непрерывную функцию у в ' 2 интервал ) — т, т[, чтобы ее разложение в рал Фурье имело внл у"(х) = ~ а„соо(2п — 1)х, -ог < х < т? ° л Поскольку о = О, то функция у — четная, т.е. ее следует лрололжить в интервал ) — т, О[ четным образом. Далее, замечал, что в данном разложении отсутствуют члены оэв соэ2пх, заключаем, что 2 лэ« = — / 1(х) соа 2йх Нх = О, й Е оог. а Разбивая этот интеграл на два интеграла: э у(х)соз2йхггх = ~ у(х)соз2йх Ох+ ~ у(х)соз2йхох о а э и производя замену: в первом интеграле х = -(т — у), а во втором х = -(х+ у), получаем 1 1 « У (х) соэ 2вх ых = — ~У" г - — -) + э гт — + -) ) соз пр г(У = О, ~2 2П а о о о ( цв у (х) соз 2в х Ых = — / (~ ( — + -) + у (- — -) ) соз пу йу = О, о э Отсюда следует, что э~ [ У (-+ У) + У" ( — — -") ) соэ пУ ер = О, т.е.

функция Ф: р 1 у Я Ф л) Ф г" Я вЂ” л) являатсл нечеткой. Однако фунюгнл Ф очевилно, четная, поэтому Ф(у) = О, $0. Ряды Фурье 89 И так, должно быть у(~+д) = -у ( Ял), [у) < з или, если вернуться к переменной х з по формуле х = Г=д г(т х) ж -у(х), Следоватедьно, графкк так построенной функции 3 г должен быть симметричным относительно прямой х = О, а точки х = ж- должны быть центрамн симметрии его на иктервалах )О, т[ и ] — т, О[ соответственно.

р г'т 1 1г( 212. Функцию у: х г-+ х ~- — х) разложить в интервале 10, — [; а) по косинусам ) ) '2[' нечетных дуг; б) по синусам нечетных дуг. ° я а) Рассмотрим 2в-периодическую функцию у', которая в интервале ) — в, т[ опреде- ляетсл следующим образом: Пх) если 0<х<-", *;хь г У*: У(-х), если -г <х <О, (х я) (х г) ' (х+ л) х+-~, если -я <х < --.

Очевидно, посгроенная функция непрерывна в каждой точке х числовой прямой и име- ет кусочно-непрерывную производную. Кроме того, она четка н ее коэффициенты Фурье езе, и Е Еа, равны нулю, так как 2 взп = — ) у'(х) сов 2пхяк = — ) у'(х)сов 2пхах = 2 — ) х ~ — — х) совгдхйх+ — (х — гг) [х — -) сов2пхлх = ! г) е в з = — ( — 1)" у ( — — у) совгпуву+ -( — 1)" [у — — ) усов2пубу =0 ) (,г 2) (здесь использовались подстановки; х = — — у и х = - + у). з 3 Таким образом, функция У', совпадающая в интервале )О, -[ с функциен 1", может быть разложена в рлд Фурье только по косинусам нечетных дуг. Имеем г Г.

8 = О, аз г = — ) 1' (х)сов(2п — 1)хвх ж о з ~ х [- — х) сов(2п — 1)хек+) (х — з) [х — — ) сов(2п — 1)хг(х / 12 / 1 2) Разложения фунхцнй у" и у имеют вид гте-- Е, ',. ( ~ =1 1 4 (-Ц" ') сов(гп — 1)х, (х! < оо, х (2п — 1) г 4(-11" 1 гг -)) Гл. 1.

Ряды 90 б) Поскольку в разложении Фурье дашины отсутствовать хосинусы, то функция У", совпадающая в интервале ]О, -[ с функцией у, нечетка. Кроме того, по условию, должно быть Ьз = — / 1'(х)зш2пхйх= — / г*(х)мв2пхдх+ — ~ У'(х)мв 2пхйх=О. 2 Г 1ронзэедя во втором интеграле замену х = -(т — у), а в третьем х = -(1г+ у), подучим 1 1 Ьзэ= ~(У (- — -)-У'(-+-)) уЬО=О, о о — э~ (У (- — -) э ( — + -)) эшпуйу — О. Из двух последних равенств находим Ьэ» — ( — 1) Э~ (э ( — — -) э ( — + -))яв пузу — О, откуда следует, что функция у э у" [-" — -") —,у'(-+ Х) четная.

Но тах хав она еще и нечетна (что очевидно), то у' (- — -") = у' [-" + —,"), илн, возвращаясь х переменной х, можем записать у "(х) = г"'(х — х). Геометричесвп это равенство означает, что графин функции у' в интервале ]О, 1г[ симметричен относительно прямой х ю Г. Таким образом, дяв построенив графнва функции у" с ухазанными свойствами схедует, во-первых, график функции 1 зерхаяьпо отобразить относительно прямой х = —, в интервал ]О, т[; во-вторых, тах полученный в интервале ]О, т[ график функции 1' отобразить нечетным образом относительно точки х = О пах центра симметрии всего графика в интервал ] — з, 0[.

Тогда для хоэффициептов Фурье получим ао =а =О, Ьз„=О, 2 Ьэ -1 = — у ~'(х)юв(2п -1)хйх = о з к = — г х (- — х) нв(2п — 1)хая + — ~ ( — — х) (х — т) зш(2п — 1)х Нх = т/ (2 о з = ( ~1+ ) ~, п61э'. Следовательно, разложение фунвцин,г' имеет вид 213. Фунхцня у антипермоднчесхая с периодом а, т.е. 1(х+ х) = -У(х). Какой особенностью обяадаег ряд Фурье этой функции в интерваяе ] — э, «[2 91 6 б.