О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии

ун -': (). Н. ЦУБЕРБИЛЛЕР ЗАДАЧИ и --УНРАЖНЕНИЯ '0АНАЛИТИЧЕ СКОЙ ГЕОМЕТРИИ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕИИВ 75 75 64 91 100 Юб 107 110 Нб 119 127 130 !33 136 139 147 160 156 156 164 167 171 !74 184 184 168 193 Г а а и а У, Ел»ментарные свойства крнвьнс второго порядка 2.

Эллипс............ °... ° ° °: ° ° ° 3. Гипербола.... ° ° . - ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °- 4. Парабола .. ° 5. Полярные уравнения зрнеых второго норядка.... ° Глана У!. Общая теория кривых второго норндка.... 1. Общее уравнение кршюй пто!няо поргдюь Преобрыювзяие етого уравнения прн Параллельном перенесении осей координат, Пентр крнвцй ............ 2. Условие распадении крнесй второго порядка на пару прамых. Йссзедовавие общего ураепеквя второй степени °..... ° °......

° .. ° °..... ° 3. Пересечение кривой второго норадка с примой. Уравнение касатальной 4. Лнаметры кривой. Главные аса Аснмптоты. Уравнение кривой, отнесенной к сопряженным юшраелевиям; уразнение кривой, отнесенной к аскмптотам..... ° 6. Прсобразоеаиие уравнения крнВОй втер»го передка с помощью инеариантов .............. ° 6, Поле»и поляра ° . °.............,... 7. Задачи ва фокальные свойства кривых, не отнесенных к главным невраеленнвм .............. ° 8.

Смешанные задачи................. ° чхсть тгетья АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРНЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Глава УП. Прям»утильные координаты . °... ° ° . ° Гл а в а Ч!Е. Геометрическое значение уравнений Г да в а 1Х. Плоскость Гаава Х. Прямая ливня в престраиствв..... ° .. 1. Уравнение пряной. Угол между двумя прямыми. Усаовне пересечения двух пряных в пространстве ° ° ° ° ° 2.

Пряная в плоскость . ° ' ° ° °, ° * ° ° ° ° ° ° ° Глава Х!. Сфера ..',............ ° ° ° - ° Глава Х!!. Конус в цилиндр . ° ° * ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Глава ХШ. Поверхности второго порядка, данные простейшими уравнениями ° '..... ° °... Г л а е а хпг. Общая таерпв поверхностей втер»го вор~дна 1. Общее уразневи» йовярхности второго порядка в его преобразование при переносе начала координат. 11ентр поверхности. Условие. ири юмором уравншше изображает конус' кли Вару йаоскостяк 2. Пересечение доверхяестя'с прямой и с шюскосгтые. Асимптетнческие направления, Касательная плоск»си, 3. Лизметральнав плобиостг ! ктзвые канравлеиня, исследование общего уравнения пееерхности втОрого Порадка и првведевие его к просшйшеиу, пнйу ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ' И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ Где за ХУ, Векторы н действия над иимн....,... 199 1.

Векторы. Равенство векторов. Сложение н вычитание векторов. Умножение вектора на число. Разложение векторов....,................., 199 2 Проекции векторов. Скалярное умножение векторов .. 208 3. Векторное умножение. Смешанное нроиззеденне трех векторов. Лзойиое векторное произведение...,... 212 Глава ХУ!. Прнмепепве векторной алгебры в аквавтпческой геометрии'............., 2ГТ . 1. Опрщелснне положения точки прн помощи радиуса- вектора.

координаты Вектора. Лейстеия нтд вектораии, зздзнныин се»ими координатами. Основные формулы . 217 ' й Геометреческое значение векторных уравнений .'... 225 3. Плоскость: ..;............,...... 230 4. П!ишак линия в пространстее............ ° 235 5. Припав н шюскость ... '. ° °,,......... 240 Ответы в указания...........' . '...,..... 2И 6 пгвдисловнв ц швстцлдцзтому нздлнню геометров Московского университета. которые строили курс аналитической геометрии, пользуясь началамн проеитпвной геометрии. а потому вводили довольно рано понятие о несобственных элементах, очень тщательно разъясняя смыса и значение этого понятия.

Но за последнее голы. параллельно блестящему развитию советской науки, изменился и характер читаемых курсов. С елкой сторомы, курс аналитической геометрии для студентов-математиков базируется теперь на,аффинно-метрической геометрии и только в конце курса даются основы кроектнвной геометрии. С другой стороны. ао втузах в общий, чрезвычайно насыщенный, курс математики окааалось невозможным' включить мзчзлв проективной геометрии, а потому в современных учебниках, составленных специально для втувов, 'несобственные элементы совершенно исключены. В свяаи с этим в Хт' нзденпи настоящего сборника были изменены теоретические пояснения м изменена релакция всех задач. в которых раньше упомниалвсь'несобственные (бесконечно-удаленные) элементы.

После этих изменений оказалось нецелесообразным сохранять прежнюю классификацию кривых н поверхностей второго порядка. основанную на особенностях мх пересечения с прямой линней. Поэтому дла ХМ издания настоюпего сборника был переработан и перегруппировав материал„относмцийся к общей теории кривых второго порядка (гл. т)) и к общей теории пояерхностей второго порядка (гл. ХИ).

Первым вопросом при нсследованип кривых второго порялка ставится вопрос о существовании центра", непосредственно к нему примыкает рассмотрение и исследование кривых. Рас« пазшихся на пару прямых. Окончательная классификация иераспавшихся кривых свяаынается с прмведенвем их уравнений к простейшему валу. Аналогичный план проведен н в обшей теории поверхностей второго яорадка. Такое рзспрелеление материала больше соответствует современной постановке преподавания во втузах.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ ГЛАВА ( ПО))ОЖЕННЕ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ ОСНОВНЫЕ ФОРЮгЛЫ Одна кз главных особенностей метода аяазнтняесзой геометрии заключзетса в употребления чисел дла определения положе пня, гжыщтрическкз обрезов, Чнсня, определяющие положение геемвтрнчвавиз образов, иааыезвтеа пк к не рд н н а та и н.

Югрзввчннеи,южа ржнмотреииен тячев, распозоженимз на визой прямой лиань Чтобы иметь возюжяость опредемпь позожеще тачек на.втой праной. установим на ней систему координат слелузювю образом." 1) выберем начало координат, т. е. точку 'О (рвс. 1], яо аямошепвю л которой определяется шаоженне остззьных тачек; 'зт выберем единицу длины (е=рО) для изпереющ рзс стояния рзссматрвмземой тачки ев начала 'юордииаят 3) выберем' положительное,на.правзейие нз прямой (иа чертеже аю указано стрелкой), что позволит различать отрезам вракой ие тольао по мх абсолютной аелнчвие, но н д 4 по-анену: отрнюв считается е рнс.

3. Рке. 2. полаеитезьаым нзи отрицательным в зависимости от того, совпз лает зе направление от начальной его точки к конечной е полозппеаьнмм, изпрзвленямм еремей мзв. с Нзправзеннем протюопезазнмм (из рис. 2 отрежж ОА —. шжаюыезьеый, О — отрицательный).' После жмо ван система координат, иа нрзмой установлена, нзжлой точке л( етой пряюФ соответствует одно единственное отвлечеюмп число, лармаернэуззяже ев положение,-кеордената 1б ' диллитическлй Геом1з'гРия нд пРямОЙ х -тй-, абсолмтная аеличвв вжарой дает расстоапна заве А» Ой( ат начала координат, измеренное данной единицей длины, а знак указывает, по кзкуй сторону от начала координат рзспо1вменз точка, Обратно„каждому числу соатзетстзует одна едннстэеннаи точка иа пряной. Пусть, например.

требуется построить точку А, координата которой х -)-3, т. е. — =3, нлн ОА=3 РО, Точка А О определится однозначно, как конев от- Ф резка, отлаженного вправо от начала кеердииат (рис. 2) и имевщега ллкну а в 3 едвпщы маспизба; Есле вврпеизта точки В равна — Чэ ° . (отметим это, поместив в скобках около абюэиачеве точки ее, коарднизтут Уис. 3, В ( — 11 )), то точку В мы,построим, отло,жив влево ег накала ие1рдвзт пве вину выбранной едвищы Щ (уис. 2), пастренм еще течку с(+у'2)1 в данном еаучае ОС )г2ьРК 1пабм получить «туаиж уааэаа- эвй даем. строим квадрат ма мгуезке РО, как на атаровы дваге ааль квжрага а =)г2 Р© поэтому, отжжпе равный ей атрежв и положительном напраиаевни от начала координат, палущ1ы тючау С (р .3).

Когда, ви говорим, чтю дана точка,-эта значат, чте взвесив ее каорзейзщ когда йю тем плн пиым услоавам туебувгса найти точку, — эта значит,: пю пулов вычпсанть ее координат~. таким образом, установлено взанмпе одпоапачное са о т е е т с т в н е мезцгг тачками прямой и действитеаьпымн числзти1. Втим соответствием мы мажем воспользоваться для графмиескв« 6 д1дт дз да Аэ Аз рис.

4 иэображения изменения какой-нпбудь переменной веапчнньь Пусть, например, переменила величина х принимает послеовэтелыв зка чева, равные членам геометрической прогрессии: 1)о Уз, 1, 2. », ...; атя значения перемепнагю яиобрамиси на прямой тачкзми1 А1(+1/1) Аэ(+1(э). Яз(+1) А1(+2) Ат(+») Яз(+й) ° (рпс. 4); и иы ясно вадим, что перемевиая величина ввеаяется скачканн в что каждый уаэ аяа получает приращение, вдвое боль пке предыдущего прирэавнпа 'Если гм)вменила величава пэпе гстлась бы по закону иаменевв члепав арафнепагеской прагрес син, наернмер: 1; 1,3; 2; 2,6; 3, ..., то мы получнав бы иа врягвй ю1в тачек, узспаложеипвщ ва разнес расеэввек друг от прута Ц1нс. 3), Ва многих вамаритеаьамх прибирал мы судам об нэменевин изучаемой веапчв1м во пажквепвэ точка на арией.

Нзаргвеу, е рнс. б. о температуре мы судим по поэаженкм уроеня ртутного столба на ирквжийейпой яертнкальной щкзле. В агам саучае за нательную анку юрнвио' положение.уровня ртути прн температуре таяния льда,' за певжнтельнае направление выбраню направление снизу вверх, и. емввца длвв рвани 111ы вщъема ртути прн переходе от теиэжрзтурм,таяния 'льда к температуре кипения воды (екала Иельспя). Есмт изменить нмвлю, коордввт, направление ва пранаб нлн единицу длины, та соответствие между точилин прввй и числами будет. уже иное, — каждая точка получит повум координату. ' 1; Формулы преобразовании координат Еслм перенестн начало каардгеат в точку О"(е),'то некту старой координатой х любой тачка прямой н новой координатой х' тей зе точка будет мметь место саатиопвнне1 х=х'+а.