Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 78

рис. дейсгшгпуп выл! ос паве н ть касательную к криво в точк на который нужно попер у й Ь в чочке юв. ап авлсниекасательнойк криво того, чтобы получить наврав об енным и пер- зх г'Г ) — это угол между от раж Другими словами, ахйгг Гго) †. вым 1 и Б в точках гв ным н авлениями касательных к кривым и в воначальным налравл рический смысл аргумента и юв соответств . евно. В этом сос'гонт гГюмегрическ ХГ! ф нкции Дэ в точке . Для другой пары кривых ! и ! в те ходящих через точку хв. пчя в те б ем иметь ах8У (хо) = аг — о! = ГГ2.

ые 1и 1! образуют' в то'пГ!' 20 образовывать в точке юе кривые и „явл кривых 1 и 1! на плоскости Г . р ю Гсм. ис. 286). Рис. 286 зьГвается сввйспчввгг свяр свойство отображении св вачпиэма) пглов в точке гв Д Отображение ю = у(2), обладающее сво ством ний в точке хв, называетсЯ коифтми постоянством растяже 539 (т. е.

отображением, .сохранягогцим форму). Если п и ется и нап г м . ли при этом сохраняравление отсчета углом, то такое отоб эжение н ь»м огпоораэн:енмем 1-го рода; если направление отсчета углов изменяется на противоположное — монфо мны нввм 2-ао рода. — монЯормным оигобразгсе- Ю кото ой т у ция 1(з) является аналитической г еТаким образом, если ф нк я р очке ге комплексной плоскости з й я . го в неизво га дная отлична от нуля, то отображ = г"( ) з и в этой точке ее прага ", ражелие ш = Дз) конформно в этой Отображение ш = Дх) называется конфо он рмным в области Р если оно конформно в каждой точке этой области. ф Справедливо следующее утверждение: если ф ег если функция ш = Г(з) аналасти, то функция ш =,Г(х) аналн — Г(х) аналитична в Р и вгг всех .игчках этой ласти г (х) ф О.

и е 7 4 д Вьгясниты'еометри, гу'ггествляемого фу!в!!„и й ' ' у кар'тину о !обре»нег!ив, О Решение: Отог . х, г.к. ш' = 2 ~ 0 .: Отображение ш = 2х конформно во в . сех точках плоскости лоскосги з равен 2. Так аким образом, отоб аж . ние гомотетии г, гб, ражение ш = 2з есть преобразова ц, ром в нулевой точке (и = 0 п = О): фф г н о г при з = ) и коэфф й 75. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 75.1. Оп е ред ление, своиства и правила вычисления интеграла Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой 7 с н о . с началом в в точке . определена непрерывная функция у(з). азобьем кривую Х на и час~ей (элементарных г) в н а!обеем г гин ' ' . ' дуГ»! В нап1завлении ч ми зг,хв,..., з„! (см. рис.

287). В каждой «элементарной дугеэ х ггк = 1,2,..., хь гз» ( =,,...,и) выберем произвольнуго точк С и с У» составим интегРальнУю сУммУ х~ гг»С )»1 Л»е !'.»з» = з» вЂ” хь !. х г!») хю Я гел .. ыприс. П сел ь=! редел такой интегральной суммы при с. ы при стремлении к нулю длины наибольшей из элемента ных р дуг; если он существует, называется 540 Рмс. 287 г»нгпеэраломот функции Г(х) гю кривой (ио монгпррр) Х и огюзггачается символом / Г(х) »Ь. ь Таким образом, (75 1) Покажем, что если ь — гладкая кривая, а Дг) - — непрерывная и однозначная функция, то интеграл (75.1) существует.

Действительно, пусть г(з) = н(х; р) + гв(х;р), х = х+ гр, С» = = х» +грю Тогда у(С») = н(хь, р») + гв(х», .рь), »1хь = (хм +гр») — (хь — ! + гр» !) = гбх» +»Лр» Поэтому м и р ~(н(х гг») + ге(х» р»)) "(Ьх» + р ) ь=! ».=. ! м , )+;~; („((»;~~„)Ь~».+н(<»'рь) М »=! »=! Обе ммы находящиеся в правой части последнего равенства, - су являются интегральными суммами для сгютветсгвующих криволиненых интегралов (см. п. 56.1).

При сделанных предгюложениях о кривой Р и функции 1(х) пределы этих сумм существуют. Поэтому после перехода к пределу (в последнем равенстве) при !пах ~г»гь! — г 0 получим: (75.2) 541 (.)( Действительно, /'х()й, у,(„)) (.,)„ ь и (75А) 11ример 75.1. Вычислить Рис. 288 543 542 Формула (75.2) по у ( . ) казывает, что вычисление интеграла от ф нк комплексного пе тегралов от де ствительных функций действительных переменных. 'ормулу (75.2) можно записать в удобном для зап г для запоминания виде: / з(г) г(г = / (и+ 1и)(гЬ+вггр). (75.3) Л ь Д Если х = х(г), р = р(г), где 1~ < 1 < 1г — параметрические уравнения кривой Л, то г = г(г) =- х(г) + ар(1) называют иолгплеиснььи парамегприческтьи уравнениелг кривой Е; формула (75.3) преоб азуется в формулу ула . и ра- Д Действительно, считая г(г) непрерывной и дифферен емо функцией, получаем ывно и ди нцируемой / Х(г) г(г = / (и+ во)(гХх+ъг)у) = ~(и+ 1о)(х'+ 1д )гй= г, ь и и ~ ~( (1)).'(1) ° гг Приведем основные свойсгпоа интеграл ф переменного.

г ног ункции комплексного З5 Л =л„ г+---+~1г = —,+гз ~-~(И)+Л(.))1 =~А(.) +~~() А ь 3. а.7(г) г1г = а (,7(г) гЬ, а — комплексное число. 3. / и г г)г = а ь —,г(г) г, т. е. при перемене направления пути ь интегрирования шг р теграл изменяет свой знак на противоположный (в других обозначениях кривой: ~ = — / ). лв вл ( ) ( 1, — 1 +1,з, т. е, шиегРзл ! Ьг Ь2 по всему пути 1 равен сумме интегралов по его частям ~г и ~г. 6. Оценка модуля инпгеграла.

Если ~Дг)( < М во всех точках кри~г, ~~д)ь~~гг~,~~--~, ~ аь ! Х(Сь)Ьгь~ < ~ ~Х(Сь)Ьгь~ < И') ~Ац,~ < М1, 1 ' ь.—..г ь=г где 2 ~Ьгь( — длина ломаной гогггг... г„„вписанной в криву гг вк ив ю1. ° Все приведенные свойства интеграла функции комплексно~о переменного непосредственно вытекают из его опред еленин (75.1) и представления (75.2). 1 = ~1шгг)г, ь где 1, — полуокружность ф = 1, 0 < < агбг < гг (см. рис.

288). (.) Решение: Используя формулу (75.3), имеем: 1 = ( д(г1х + 1 ар) = ( р г1х+ 1 ~ у г1р = А Ь Е вЂ” 1 — 2 = ~ Л:хгй*+' ~ Л:Р:,Ь= г 1 г — чу — хг + — агсьчп х Игткзльзуя формулу (75.4), имеем (г = сги й+ 1з1п1): Я Ю 1 = зш1( — з1пг+ г осе г) гй = ( — -(1 — соз И) гй + г ) зш1соз1гЮ = о о = ~ — -1+ — згп21~~ +1 — згп 1~ = — —. 2 4 ~!о 2 1о 2 75.2.

Т .. Теорема Коши. Перйообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница Ц Докажем теорему, предполагая непрерывность производной /г(к) (это упрощает доказательство). По формуле (75.2) имеем: У(к) Ь = 1,8Ь вЂ” в84у+ ~ Ь+ .ггу. г, ь в В силу аналнтичнск:ти 7(к) = и+ гв н непрерывности 7'(к) в одно- связной области Р, функции и, = и(т у) и = (; ) — и = в(т;у) непрерывны и дифференцируемы в этой области и удовлетворяют условиям Эйлера— Даламбера: — "' = — и ~ = ~'. : ф = — — = —,'. Эти условия означают равенство нулю интегралов ~ иск — еду я ~ я гЬ + и14у (см. теорему 56.5). Спе- ' в ь довательно, ~ 7(к)8Ь = О. Р.

Тео ема Коши допускает. распространение на случай многосвязной области. Расом отрим для определенности трехсвязную область Р, ограниченную внешним контуром Х и внутренними контурами 7ч и 78. Выберем положительное направление обхода контуров: при обходе область Р остается слева (см. Рис. 289). Пусть функция 7(к) аналитична в области Р и на контурах А, Е, и Хк (т. е. в замкнутой области Р. ну аст г'; функция называется аналитической в замки той области у асти Р, если она аналитична в некоторой области, содержащей внутри себя область Р и ее границу Р). Проведя два разреза (две дуги) ут и' уз области Р (см.

Рис. 289), получим новую односвязную область Рм ограниченную замкг ты ир анным контуром Г, состоящим из контуров Ы Х в тг и тквГ=7+ ++7 + в , ы к в разрезов — 'У, + 8 + Ук + ьк + Ук + У„. По теоРеме Коши Длл односвязной области ~Щ 1Ь = О,но 7 =у у.у,у=,, 21 йтг+тг+2, т+ тг 12 й из разрезов (дуг) тг и ук при и гр дважды в щютивоположных направлениях. Поэтому получаем: ~У(к)Ик= ~йк) Ь+ ~ ~(к)йк+ ~,7(к) Ь=О, г г Вк Аг т.

е. интеграл от аналитической в замкнутой многосвязной области Р функции 7(к) п г ф 7( ) по границе области Р проходимой в положительном на- 1 правлении, равен нулю. Рвс. 290 Рвс. 289 Замечание. Изменив направление обхода внутренних когггуров 7 г и 7 к, будем иметь ~,7(к) 8Ь = ~ Як) Ж+ ~ 7'(к) 8Ь, где все контуры ьг (7 А 7 ) обходятся в одном направлении: против часовой стрелки гн К) (или по часовой стрелке). В частности, если 7 (к) аналитична в двусвязной области, ограниченной контурами 7 и 8 и на самих этих контурах (см.

Рис. 290), то ~ 7(к) г)к = — ~ 7(к) гЬ, т. е. «интеграл от функции 7(к) по внешнему контуру 7 равен интегралу от функции 7"(к) по внутреннему контуру йк (контуры 7 и ( обходят в одном направлении). Следствие 75.1. Если 7"(к) — аналитическая функция е односвязной области Р, то интеграл от нее не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки ке и конечной точки к пути интегрирования.

Ц Действительно, пусть 7л и ьк — две кривые в области Р, соединяккцие точки ке н к (рис. 291). ПотеоремеКоши ~ .Цк)148 = О,т.е. ~,('(к)йк+ / Х(к)ко = О, Ь1+~2 ~1 ьг или / 7(к)г(к — ~ Як)дк=О,откуда ~,((к)гьгг ~ Х(к)гй. и 1 ь г Ьг В,1 $8 кава1ккгл квай а вкавкй вкггкггкка. Палкийкгйа 545 В таких случаях, когда интег ки и конечно точк рж зависит только от начальной точй точки пути интегрирования, пол л обо 1 уются значением А« / 7(х) сЬ = / 1(з) дг. Если здесь зафнксиро«о вать точку хо, а точку з изменять, то / 7(з) «4« Х.с будет функцией ст з.

Обозначим эту функ ию « ункцию Ряс. 291 через Р(з)1 Р(х) = / Дз) ссз. Можно доказать что еслиф и яДх) ' ия Р з фу кци Дх) аналитична в свщосвязной об1 г .0 ф ц ( ) также аналитична в Ю, причем У(х) ' ' 1асти, то срунк/ « 1 «'(О = (~ Сйь) =СО1 Д ункция Р(х) называется пернообразмо«2 для ф йк ии 1 ф для уйкции Дз) в Можно показать, что если Р(г) ость некоторая первооб азная ся р разных Г" (х) определяется с)юрмулой (х) +, где С = соней Д Совок определенным Совокупность всех первообразных ф нк ий ф( ) опре елеммым имп1евралом от функции 7(з) и обозначается символом /7(з) сЬ, т. е. Пусть фу ц Р(4 /' ««« ~( ). Следовательно, / г(з) д сложив здесь «о УР з«и«оснет'ся ин'сс сра ~ Р(хо)„а значит, " нулю1.