Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 77

284 параллельной действительной оси (оси х), т. е. Ьх = Ьх -+ О, Ьу = О (рис. 284). Тогда (н(х+ Ьх;у) +4о(х+ Ьх;у)) — (п(х;у) + ге(х;у)) у (е) = 1пп (и(: + Ах; у) — и( ну)) + г'(е(х + Лх; у) — е(х; у)) йш Ьж — Ф 0 А и Ь,ю дн .дв Ьеи+1Ь,е,п 1пп — = 11п1 — „+ г пп а: е Ьх аь-+о Ьх а.-+о Если же точка г + Ье приближается к точке э по прямой, параллельной мнимой оси (оси у), то х = ' ( О ) то Ьх= гну — гО,Ах =О. Вэтомслучае (п(х;у+ Ьу) + ге(х;у+ Ьу)) — (н(х;у) + ге(х;у)) 11ш Ьгн + гсъге дн дп дг дн — =-'ь'г=д -'дц — Лу у у где О«+ гвг оз — — —, Дх+гДр т4 5 днндготмческдя фун 535 Р' ««ин найденные пределы, пол ° ди .д ди х д~з др Им О,.„.

„„,. д. а, д„ Доснгапн«чностп Пусть теперь услония (74.5) выполняются. Докажем, что функция Х(з) дифференцируема. Так как функции и(х;р) и н(х;р) дифференцируемы в точке. х др ' ' дт + д Р + — малые более высокого порядка, чем «Де о« и Ог — бесконечно малы ~Дг~ (Дх)г + (Др) г Тогда Дю (и(х+ Дх; р+ Др) + гн(х+ Дх; р + Др)) — (и(х; р) + ге(х р)) Д р Ер гн хер з Дх+ гДр Да+ гдн (двДХ+ а дДр+ О ) + г(~О ДХ+ а Др+СЕ ) Дх+гДр Дх+ еДр ада Ов + о Дх+ д Др+гщДх+га Др о«+гог Дх+гДр Дх+ «Др Заменяя в числителе правой части д†" на — до д" ди, и — на — о —, — на —, согласно условиям (74.5), получаем: д двд . двд, + дед, + дад — — +аз, р дю ф(Дх + гДр) + гф(дх + гдр) ди дн Дз +оз = — +г — +е«з г р дх дх а Оз — бесконечно малая высшего порядка относительно ~~Ы.

Отсюда Дол беда (74,б) у ' цин Х(з) можно нахо нть, '()=,— +г- — '", Х(з) +г. дт, дх' = др (з) = д— — г —, (74 б) д др ' =д Правила диффеРенциРованиЯ Функци д ий дейстнительного перемен- ливы и для ункций комплексного переменного, днффе- ренцируемь«х В тО'«кг.' г. ЭТО Означает, чтО если «3 и г г цируемы в некоторо точк з й е з комплексной плоскости, то нерио следу- ющее: 1 (Х«( ) + Хг( ))' = Х«( ) ~ Хг(г), 2. (Х«(з) ' Хг(з)) = Х«(з) ' Хг(г) + Х«(з) Хг(з), к«'~*>~ Йы'.«ео:.бнг;.«'г««ц ~ ~ ее Хз (з) 4. Если уг(з) дифференцируема в точке з, а Х(ю) дифференцируема в точке ю = ~о(з), то (Х(фз))) = Х' (уг) .

уе' (з). 5. Если н некоторой точке з функция Х(з) днфференцируема и сущестнует функция гг ю, ю = ф гг '( ) днфференцируемая в точке ю = Х(з), причем (Х "(ю)) ф О, то Х'(г) = 1 „«де Х «(ю) — функция, обратная функции Х(з). ф ем П ем без доказательства тпеорелгр о дегй«еХ«еренциррелгостпи основнъьх элелгеип«аривгх гбрнкци к нкции ю = е', ю = з«««г, ю = сонг, ю = зг«г, ю = г, — Рг) ффе енцируемы в любой почке комплек е енцируемы в лю- кости; функции ю = ; ф ции ю = гкз и ю = 1Ьз также,пифференци = — + яй и з = ~ — + 2яй) ° г бой то~~с плоскости, кроме точек г =— ~2 к йю Епз,ю г" в (к = О,т1,х2,...) соотнетстненно; для функци ой точки з ф О можно выделить однозначную ветвь, которая является дифференцируемой н «очке г функцие . Фундаментальным понятием в теор фу ии ф нкций комплексного пего является понятие аналитической функции.

Однозначная ункция морфно ) в юоч условия йлера-Дэл Э вЂ” Д амбера) в некоторой окрестности э если она Функция Х(з) называется а у ) . налегтпегчесхой в областпи Хе, есл ифференцируема в каждой точке г е ' чк зсХ«. ди Как в но нз этого определения, условие аналитичности в и«очке ф нк и вэтойжеточке не совпадает с условием дифференцируемости функци ое условие — более сильное).

(первое Я Точки плоскости 2, в которых однозначная функция Х(2) впали тична, называются правильными точками Х(2). Точки, в кото-. рых функция Х(2) не является аналитической, называются особым ' точками этой функции. Пусть функция ш = Х(2) аналитична в точке 2. Тогда 1пп а -+О ~Ь = Х'(2). Сггсюда следует, что ~~~ = Г(х) + п, где и — г 0 прн 222 -э О.' Тогда прирагцение функции можно записать так: Ьи~ = Х'(2)Ь2+ оЬ2. Если Хч(2) ф О, то первое слагаемое Х'(2)г52 является при Ьх — > 0 бесконечно мююй того же поряппа, что и Йх; второе слагаемое аЬ2 есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Ью Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции ш = У(2) Я Дифференциалам дш аналитической функции гв = Х(2) в точке 2 называется главная часть ее приращения, т.е.

ЙО = Х'(2)Ьх или г(ш = х'(2)дх (так как прн и = 2 будет гь = 2'ьх = ьх). Отсюда ' ч следует„что Х'ггх) = — ', т. е. производная функции равна отношению ' дифференциала функции к дифференциалу независимо~о переменного. Замечание. Если функция Х(2) = и(х;у) + Ы(х;у) аналитична в некоторой области В, то функции и(х; у) и и(х; у) уловлетворякп днфд2 дз ференциальному уравнению Лапласа ( — у + — у = О, см. и.

72.2). дх ду ( 1 Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Даламбера по у, а второе по х, получаем: д2 д2 д2, дз дхду дуз' дхз дудх' откуда †+ — 2 — — О. дп дп дх ду ч ункпии и(х; у) и в(х; у) являются гармоническ ми функциями. ХХример 'Ц.З. Проверить, является ли функция ш = 22 аналитической. Найти ее производную. О Решение: Находим действнте.льную Ксш = и н мнимую Хгпш = и части функции: 2 ш=х =(х+гу) =х — у +22ху. Таким образом, и = хх — У2, в = 2ху. Проверяем условия Эйлера — Даламбера (74.5): д, д — =2х, — =2х; дх ду ди дв — = — 2у, — — = — 2У. ду ' дх 536 .я во всех точках комплексной плоскости Условия (74.5) выполняются в — фф" нцируема, следовательно, аналитична во всех точках этой плоскости.

Ее производную найдем по одной из формул (74.6), например по первой: ( )' = — (хв — У2) +1 — (2ху) = 2х+ рйу = 2(х+гу) = 22, .д т. е. (2' )' = 22. 2 Э сгим что производную фун»"'и найти воспользовавшись определением производно ( . ): н й (74.4): ф 5 ( Х )2 2 2, +( )2 Ь.+О ЬЛ ~. +О -' '„и' = 1пп — = 1пп 2 1пп (22+ Ьх) = 22, ° Ь*-+О Пример 74.4.

Найти аналитическую функцию ш = и + 1и по ее заданной действительной час ги и = з — .У2 = хз — Зх. + 2. О Решение: Отметим, что функция и является гармонической функ+и" = 0). Для опред Д еления мнимой части и воспользуе у моя словиями ,3, 2 г 2 2 Эйлера — Даламбера (74.5).

Так как — = ( з— к — и = (хз — Зхук+ 2)' = Зх — Зу, то, согласно пергюму условию, д = Зх — Зу . От д, "егр — 2 — 3 2. Отсюда интегрируя по у, находим: = Х '~' ду = ~(з ' - з 2) ду = з .'у - уз+ ( ). ду Для определения функции у(х) воспользуемся вторым условием эйлера-Даламбера. Так как — = (хз — Зху + 2)„' = — 6ху, ду д— = (Зх у — уз+ Ю(' ))* бху+~( )' дх + г(, )) (1тсгода г2~(х) = 0 и У(х) 3 2У уз + С. находим фут'кцшо 'О +, з Зхув+ 2+ 2(зх у У' +С) = х +13х у — ху 2 - 2+ 2+ С1 = (х+ гу) + 2+1С = Ю + 2+" 537 74.6. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении Пусть функция ю = у(2) аналитична в точке хв и ХГ(хе) ф О.

Выясним геометрический смысл аргумента и модуля производной. Функция ю = Х(2) отображает точку гв плоскости 2 в точку юв = У(хо) плоскости 2о. Пусть произвольная точка 2 = хв + 252 нз окрестности точки хв перемещается к точке гв по некоторой непрерывной кривой 1. Тогда в плоскости ю соответствующая точка ю = юв + Ью будет перемещаться к точке юв по некоторой кривой А, являГощейся отображением кривой 1 в плоскости ю (рис.

285). Рис. 285 По определен!по производной уГ(гв) = 1пп ю. Ото!ода следует = 12 — го~ представляет собой расстояние между точками хв и хв + Ьх, а (Г."!ю) — расстояние между точками юв и юв + ггю. Следовачельно, 1уГ(гв)~ есть предел отношения бесконечно малого расстояния ме отоб раженными точками юв и юв + Ью к бесконечно ал ия меиГггу .

но м ому расстояниГо между точками хв и гв + ьг. этот предел не зависит (у(2) аналитична в точке гв) от выбора кривой 1, проходящей через точку хв. Следовательно, предел 1пп ф = ~уГ(хо)~ в точке хв постоянен, т. е. одинаков во всех напрввленйях. Д юда вытекает геометрический смысл модуля производной: ве- Д Отсю ' личина ~~'(гв)~ определяет коэффициент растяжения (подобия) в точке хе при отображении ю = у(2). Величину 1Х'(го) ~ называют яоэффицчгвиогом расгплзГсеиил, если )У'(гв)~ > 1, или моэффтщиенглом сзгсатил, если )~Г(хо) ! < 1. 12 е12 4 Найти коэффициент растяжения (сжати ) функции ю = — 2 в точке хв = 3 — 4!.

1 2 2 538 1 г лисичка это е 3 4$ ПРи (~ре е е Фун ю' = 2 Следовательно, У (хе)~ = ~хв = ,~ = ~3 — М = 5 > 1. 1~ ффгГ— и ю = 122 в точке хв равен 5 (плоскость пие 1 ию — 2 вто 2 растягивается) . Для аргумента производной в то . 2в в точке го ИмЕем: 1пп вхйЬю — Ип! агяЬ2 =- Г22 — ам ГЧ2-ГО вым 1 и 1 где а! и Г22 — у , ' е — глы, которые — е образуют касательные к кри и юв с положит л е ьными направлениями гоответс пенно хо, чх осей на плоскосчях 2 и ю (см.