Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 80

С~ Величина ~зо) = й называется Радиусом сходимости ря- да (76.5), а круг ~зо~ < й — кругом сходимости рцца. В круге ~го~ < й рцц (76.5) сходится, вне етого круга — расходится; на окружности ~хо~~ = могут р ~ — й располагаться как точки сходимости, так и точки расходимосги ряда. 553 Принято считать, что 27 = О, ког да ряд (76 5) сходится в одной = оо, когда рцц сходится на всей комплексно Кру~ом сю~диыосж Р '76.6' точке 2 = 2О. яда ( . ) является к г . ) Ру ~2 — зо1 < Л с цент1юм в 1ь адиус сходимости ряда (76.5) мо . 1) можно вычислить по формуле 1 (илн В = — ) п — йю Сп.1.1 1 йп1~ ~ =- 1 ) „ . †), получаемой после применения признака Даламбера (или Коши к исходного ряда.

1и оши) к ряду из модулей его членов П риведем (без доказательств нек да. тв) некоторые сваествва очиненного ря- 1. С . Сумма степенного ряда в литическая ф а внутри га е ункция. а в кру .го гходимости есть ана- 2. Ряд гутри круга сходимости можно почленно 1- 2. Степенной в1 РЯД. имеет тот же Пэимер 7в.1. Н в .ти обласп сходимости р и 1' О Решение: Здесь с„= 1 г1Р +' ~+ 1)т т.е. Л= , — оо.

Следовательно, областью схо тью сходимогти яв1тяется вся плосПример 76.й. Н-й р .й. Найти область сходимо " ° у' 2 — 2) пп ° и и О и+1)2 О Решение: Здесь и = й (2"~~(21 + 2 ! и+ 1)2 ~ = Данн1 ~й Ряд сходится области ~з — 2! < 2. О Решенно; Воспользуемся признаком Даламбера. Здесь ~'и"! и ЧГИ ~/И+ 1 — нп~ и, ~ п — пх ЬЯ+ цзтп~ Ряд сходится при всех г, удовлетворя1ощих неравенству 12~ < 1, т. е. 2 И < 1. Крутом сходимости является круг с центром в точке 2 = 0 и радиусом 1. Точка 21 = 0 лежит внутри круга сходимости, в этой ~очке ряц сходится абсолютно. Точка ж2 = 1 лежит на границе круга сходнмости, в этой точке ряд может сходиться (абсолютно или условно) и расходиться. Подставляя значение 22 = 1 в выражение общего члена ряда, Одзп 1 и-~-г 1)п ~ Пзп+1 получим ( — 1)"+2~-' — — — -' 7- — = — —.

Числовой уЯ ~/й ч)ги1 Ки ' ряд с общим членом и = — ра1ходится согласно интегральному при- 1 'и / знаку Коши (теорема 60.5). Следовательно, в точке 22 — — 1 степенной 2п ряд 2 ( — 1) ~г зт- Расходится. п=а ь Г1 Точка 22 = 3 — 21 лежит вне круга сходимости, ряд в этой точке , расходится. 76 3. Ряд Тейлора Теорема 76.4. Всякая аналитическая в круге ~2 — 2О! < В функция 7(в) может быть единственным образом разложена в этом круге е степенной Ряд г(2) = у с„(2 г 'за) (76.7) п=а коэффициенты которого определяются формулами с„= = — ~ „+ й~ (и = 0,1,2,3,...), (76.8) (с )(д,) и! 2яг 1 'К вЂ” 2О)"+ где 1„— произвольная окружность с центром в точке 2О, лежащая внутри круга. Рис.

295 555 554 ПРимер 7л. 8 () Рсде11ить Радиус сходимос 'ти ряда С:Ю 2п ( 1)п+2 2 ..=О 4И и исследовать сходимость ряда в т аз точках 21 = О, 22 =2',22 — — 3 — 221 Степенной ряд (76.7) называется рядом Тейлора для функции У(2) в рассматриваемом круге. ( 5 Возьмем произвольную точку 2 внутри данного круга и проведем окружность с центром в точке 2О и радиусом г < И так, чтобы точка. 2 находилась внутри круга ~2 — зо~ < г (см. Рис. 295). ни е! Так как функция 7(з) аналитична в круге !з — зо~ < — зо < г и на его грац „тосе значениевточкез можнонайт и фо ..К ти по рмуле оши (75.9)7 — Я м, д . ~~ — точка на окружности 1,. Имеезп 1 1 1 1 1-ло К-") -(я- ) К-")(1- — "-') 4-«а 2 — «О о! Ы во~~7 то ! ~ < 1, следовательно, выражение 1 — можно рассматривать квк сумму членов бес ,конечно убываюгцей геометрической прогрессии с первым членом †, и знаменате- 1 7 — ЕО лем .

'Хаким образом 4 — зо 1 — + (з — зо) (з зо)7 обе обе части этого равенства на величин 1.з(с) у —.7 (с) и проинтегрируем его почленно по контуру ! . Получим: '2т Х (' — з 2яз .7' ~ — ' з — о з : Х вЂ” в.з У вЂ” зо 22гз (~-зо)з У16 т. е. 7(з) = 2 (в — во)о 1. '~® 2 7!7 — У Л4= К~О-аГ ! о=о «лес„= — Х ~® б и =О "=-2' 77 7. ( =0.7.2'") И'" "'"2 2"7"7~7'72) получим представление коэффициентов ряда через и-е производные «!72! 7 функции 7(з) в точке зо2 с„= -" 2-'-~« ',и = О 1,2,...). Таким об образом, мы получили разложение ф нк пенной (7 . ) ряд ( 6.7), коэффициенты которого определя фс лам (76.8).

пред.ляются по «рормуДокажем единственность этого разложения. Допустим, что функция у(з) в круге !в — зо! < «72' п другим степенным рядом в — зо', < представлена .Х(в) = Ьо + Ь,(з — зо) + Ь (з — ~о)з + . " + Ьо(з — ;)" + ... Полагая в этих равенствах, а также в исходном ряде з = зо, полу- вая найденные коэффиционты Ьо ряда с коэффициентами ряд ( . ), а (76.7) устанавзтиваем,что Ь„ = с„ (п = 0,1,2,...),а это означает,что указан- ные ряды совпадают. Функция Х(з) разлагается в степенной ряд единственным обра- зом. Приведем разложения некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена) 2 з зз зз е" =1+ — + — + — +..., П 2! 3! т я з в!аз = в — — + — — + 3! 5! 7! з~ з з в сов« = 1 — — + — — — +...

2! 4! 6! „з з !п(1+ «) = з — — + — —..., 2 3 а а(а — 1) з ( — 1На — 2) з (1+в) =1+-з+ зз+ — з + Первые три разложения справедливы во всех точках комплексной плоскости, последние два — в круге ф < 1. Заменив з на зз в разложении функции е*, получим: зв (зз) (зз) е«« =-1+ — + — + — + 1! 2! 3! з з 77 4! ''') ~, 3! б.

т е формулу Зй пера е = сов з + з впз з Последовательно дифференцируя почленно этот ряд бесконечное число раз, будем иметь: У'(з) = Ьз + 2Ьз(з — зо) +3Ьз(з — з,)'+... + пЬ«(з — во)" '+..., и — 2 Хо(з) = 2Ьз+3 2Ьз(з — зо)+... +п(п — 1)Ь„(з — зо) +. о«' .7в'(з) = 3 2Ьз+-..+п(п — 1)(и — 2)Ь7.(з — зо)" з+ 7 «)„17"7(В) =- И! .

Ь„+ (и+1)! ° Ье Ы (З вЂ” ЗО) + 557 Уб.4. Нули аналитической функции У() = ( — .)-+,.( —;)""+. + .(.— )-+..., (76.9) а точка зе называется нулем кратности т (или пулем вп-го порядка). Если т = 1, то дв называется прост м надем. Из формул (76.8) для коэффициентов ряда Тейлора следует, что если хе яв,ляется нулем кратности т Функции У(з), то У(зо) = = У'(хе) = ... = У1 П(хе) = О, но У( >(зэ) ~ О. В этом случае претлставление функции степенным рядом (76.9) можно переписать в виде У(х) = ( — э) ~в(х), где д(я) =от+от+в(з — ~0)+--- (76.10) Для функции вв(з) точка з = хв уввве не является нулем, так как р(хе) =- =с фО.

ф Справедливо и обратное утверждение: если функция У(х) имеет вид (76.10), где ьч — натуральное число, а вв(х) аналитична в точке хе, причем ~р(хе) ф О, то точка хе есть нуль кратности т функции У(х). Уб.5. Ряд Лорана Теорема 76.5. Всякая аналитическая в кольце г < ~х — зо~ с Л (О ( г < Л ( со) функция У(х) может быть разложена в этом кольце в яд Р +ОС У(з) = ~~' вв,(х — хо) коэффициенты которого определяются формулой с„= — ~ в((' (и = О,+1,+2,...), и) )и+1 ь (76.1Ц (76.12) где Ь вЂ” произвольная окружность с цен.гром в точке хе, лежащая внутри данного кольца. Как показано выше, всякая функция У(х), аналитическая в окрестности точки хо, разлагается в этой окрестности в спиленной ряд (76.7): коэффициенты которого определшотся по формулам (76.8).

Д Точка зе называется нулем фрнмцми У(з), если У(хе) = О. В этом случае разложение функции У(х) в окрестности точки хе в степенной ряд не содержит нулевого члена, т.к. се = У(хе) = О. Если не толькоге=О,ноисв =св — †...=г д =О,ас ф.О,торазложение функции У(я) в окрестности точки хе имеет вид 1 (г — ) — ( — о) Ы ~о) (1 в— ( — а )" + -+( )+в х ) — зо Тогда 1 У~~) 1 УЫ)+'(, 2яв 4 — г 2вгв' ( — хо 2вгв И) — хо) в + --. (4 — хо) .И) ... + г (х — хв)" — + — в +... Ы хо) Проинтегрируем это равенство по контуру Т в 114) 2яв . ( — х 2вгв — го 2вгв Ы вЂ” хо) ьв ...

+ (я — хо) — ~ „, И~+. ° °, (76.14) 2яв (( — яв)"' в. 559 Ряд (76.11) называется рядвьн Лорана для фу ции У( ) ф нкции У(я) в рассматриваемом кольце. — ~ с Ви в.з Возьмем произвольную точку у 1 х вп т ви кольца г ( !я — хо~ < чтобы и А с ев >ами в точке зе так, ч ы проведем две окружности Ьв и в ц, гг1 " каждая окружность находилась внутри точка г была между ними и ка данного кольца (см.

рнс. 296). .Э госвязной области имеем: ЛО 2вгв в г — .в кв+Ав = —, у — д( — — Х вЂ” вЦ, (76.13) Ряс. 296 2яв У ~ — з 2яв Х с — я с, т.', против часовой стрелквл. Преоб ем слагаемые стоящие в правой части равенства 7 . реобр азу ч Н . ости А выполняется неравенство 1х — хв~ < ~ф — ко, или а окружности х: — ~ц ~ < 1. Поэтому дробь — можно пред 1 п ставить в виде ь — хо г(~= Е с (г — во)" где А, э=о У(~) 2хг' У (~ )гг+гггс (в=0,1,2,,„) 'Х., У(о) ~го) (здесь св Ф ь — л так как ! " фУ ш У(),; ожно „, „,,„,„, в точке го).

Н ' ! ' е. ~- — '-"-~ 1 т в — во 1 во) Ы го) ( )<1 е— г го) 4- О (б,о)- (г — во) (з г в+г Значит, Проинтегрируем это равенство почленно по контуру бг.. — — ~ — 1~= У(0 "А, 1 2вг' У 2хг' У А, '*вг — (в+г) ".+(в — ) ' ' —. У У(с)Ы вЂ” зо)" с+".= "Ь, „1 2ггг У ь, УЫ) ) .„~16 (л=1,2,З,."). А, Подставив разложения (76.14) и (76.15) в равенство (76.13) получим ), получим ОЗ О0 +ОО У(в) = ~ с„(я — во)" + ~~) с „(я — во) "= 1г с„(г — го)".

в=о о=1 560 Формулы для коэффициентов со и с ..„, можно объединить, взяв вместо контура Ьг и Е~ любую окружность А с центром в точке во, лежащую в кольце между Е~ и Е~ (следует из теоремг г Коши для мно- У Ус) госвя зной области): с = —. а +,г)с (в = О,т1,л2,...). 2гг1 у (~ —,„,)" ь Можно доказать, что функция У(в), аналитическая в данном коль- це г < )г — го) < В, разлагается в ряц Лорана (76.11) единственным образом. Ряд Лорана для функции +~х СЮ СО с „ У(г)= ~ 4(г — о)в=,') . ( — го)" +~~ П = — ОО п=о состоит из двух частой.

Первая часть ряда Лорана, т. е. ряд Уг(в) = ~св(в — го), =о Я н ь называется правильной час)лью ряда Лорана; этот ряд сходится к аналитической функции Уг(г) внутри круга <г — го( < В. Вторая часгь ряда Лорана, т. е. ряд Уг(в) = ~~', гг=.г Я н называется елавной частью ряда Лорана; этот ряд сходится к аналитичегзгой функции Уг(в) вно круга )в — го~ > г. +СО Внутри кольца г < <г — го~ < В ряд ~ с„,(в — го)" сходи'гся к аналитической функции У(г) = Уг (г) + Уг(в).