Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 76

Записывают: 1пп Х(«) = юо. Это определение коротко можно записать так: (ое>0 лб>0 Р«:0<!« — «о)<б=Р(1(«) юе)<е) «=» й 2«( ) «-««о Из определения следует, что если предел юо существует, то существуют и пределы 1пп о(х; р) = оо. 1пл и(х;р) =ил и Р +Ро Верно и обратное утверждение. Теоремы об арифметических свойствах пределов для функции одного (или нескольких) действительного переменного остаются справедливыми и для функции комплексного переменного. Так, если функции Л («) и Я«) имеют пределы в точке «о е !), то йт (с1Л(«) ~ с«««2(«)) = с1 !пп Л(«) л«: с«йп1 Я«), « -««о ' .

+«о где с1, с« — постоянные; .1„'"ю Л( ) . Лз(~) = 11щ Л(«) . йю Уз(«) « -««о 2«( ) 1пп Л(«) «-+«о Я«) йп« Л2(«) ' «-+«о если 1«п1 Лз(«) ~ О. Пусть функция ю = 1(«) определена в точке « = «о н в некоторой Я ее окрестности. Функция ю = 1(«) называется непрерь«виой' в пм«псе «о, если 1пп ((«) = 1(«о). « — ««о Определение непрерывности можно сформулировать и так« функция 1(х) непрерывна в точке «о, если бесконечно ма,лому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: йп с1|(«) = О.

л — о Функция 1:(«) непрерывна в области 1), если она непрерывна в каждой точке этой области. Модуль непрерывной функции комплексного переменного обладает теми же свойствами, что и непрерывная функндя действительного переменного (см. теорема 43.1). 74.3. Основные элементарные функции комплексного переменного Определим основные элементарные функции комплексного переменного « = х+ Рр. Показательная функция Я Показательная функция ю = е«определяется формулой ю = е' = е' (соз р + 1 зщ р) . (74.1) Положив в этом равенстве р = О, устанавливаем, что для дейсп«ительных значений « = х показательная функция е' совпадает с показательной функцией действительного переменного: е' = е«. Показательная функция ю = е' обладает «извоатным» свойством: е" - е«« = е" +".

Действительно, по правилу умножения комплексных чисел («модули перемножаются, а аргументы складывщотся», и. 28.3), имеем: е ' е'« = е*' ° е «(созЬ1 + р«) + оз1п(р1 + Уз)) = — Е««+«о . (СОЗ(р +рз) +18!в(р) + р2)) Е Аналогично можно убедиться в справедливости свойств: е" ое«« =е" ", (е')" =ео«(п Е Ы). Учитывал, что )е'! = е*, а е«ф О, утверждаем, что показательная функция е" нигде в нуль не обрзлцае 1ся, т. е. е' ф О.

Исходя из определения (74.1), легко убедиться, что йгп е = О, !ш« е'= оо, н„, ' но +, («-+ — оо) (« — «+со) выражение е' при « — ) оо не имеет смысла. влт Положив в равенстве (74.1) х О, р ~р, получим классиюскую формулу Эйлера е"' = соню +1зш 1а.

С ее помощью, в частности, можно представить тригонометрическую форму комплексного числа г = г . (соз <р+1зш ~р) в более компактной форме г = г еяг(= Ц е "ж') называемой поккзагаельной формой комплексного числа (см. и. 27.3) () 1в Показательная функция комплексного переменного обладает и специфическим свойством: она является периодической с мни- мым основным периодом 2яв'. ( 1 Действительно, 2+гк1 к гк$2 е ' =е е ' =е .(соз2к+1з(п2к) =е', ~2+зги г ю~. . е. е = е . Отметим, что е не всегда болыпе нуля. Например е '= — 1<0.

Логарифмическая функцня Д Эта функция определяется как функция, обратная показательной число ю называется логарифмгьи числа г ф О, если ем = г обозначается ю = Еп г. Так как значения показательной функции е" = всегда отличны от нуля, то логарифмическая функция ю = Вп г определена на всей плоскости г, кроме точки г = 0 (стало быть, имеет смысл и выражение Еп( — 2)). Положив г = г е"',ю = и + гп, получим, согласно определению логарифмической функции, е"+'" = г ° е'", илн е" - е" = г .

е'". Отсюда имеем: е" = г, е = ю + 2Ьг, т. е,. и = )п г, и = ю+ 2Ьг (й = О, к1, к2,...). Следовательно, ю=Епг =и+1и=(пг+г(~а+2йя) =1п(г)+1(агкг+2Ьг), (742) т.е. 1,пг = 1п)г! + 1(агав + 2Ьг) нлн, 1 па = 1г1Ц + 1Агбг, где Агб г = агй г + 2Ьг. Формула (74.2) показывает, что логарифмическая функция комплексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т. е. ю = Вн г — многозначнвя функция. Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в формулу (74.2) определенное значение Ь Положив к = О, получим однозначную функцию, которую называют ааавны и значением логарифма 1.п г и обозначают символом 1и г: 1п г = )п ~г! + ь', агб г, где — я < агб г < я.

(74.3) Если г — действительное положительное число, то агав = 0 и 1пг = = 1пЦ, т. е. главное значение логарифма действительного положительного числа совпадает с обычным натуральным логарифмом этого числа. К2Я Ф (74.2) можно переписать так:1пг =1пг+ 2кят. ю = 1,пг обладает известными свойствами логариф д ифма ействительного переменного: 1,п(г1 гг) = Епг1 + Епэм = ~,пг~ — 1з гю /гг1 гг Та~в = и '~"г'г 1 Еп Чг= и П 74.2.

Вычислить 1п( — 1) и 1п( — 1); 1п2Е ри иер = — 1 имеем ф = 1, агав = к. Следовательно, Еп( — 1) = 1п1+1(к + 2кк) = иг(2Й+ 1), 1п( — 1) = к( формулы и (74 3)); 1п 21 = 1п )21~ + 1аг321 = 1п 2+ 1п. Степенная функция ю = кя Š— атуральное число, то степенная фу цня р, ф. нк оп еделяется слнп — н ту ' — " — о означравенством ю = г = г (сози1о+1з1п и1а). Функция ю = г — дп ная. Если и = — (и б И), со в этом случае агбг+2кя, вгбг+2Ьг'~ ю = гб = (Б = ~/Я ~ соз + г' зш где й = 0,1,2,...,п — 1. 1 = г г есть многозначная (д-значнвя) функция. Одно- Здесь функция ю = г значную ветвь это этой функции можно получить, придав опрсд значение, например 1с = О. Если п =, где р, а, го б И, степенная функция определяется а г 1 „ / р(агав + 2кя) .

р(агав + 2Ьг) ю = гч = (г г )" = ~Я~ ~соз Ч Ч в Ф кция ю = гч — многозначная. ф = ' с роизвольным комплексным показа- Степенная функция ю = г с пр телем а = о + 117 определяется равенством а выл» ю=в =е 529 ( 1 Докажем, например, первое свойство: 1п(гг гг) = 1и ~гг гг$+мАгб(гг.гг) = 1г!Ог1).1гг~)+1(Агягг+Агбгз) = = (1г1 ~гг)+1Агкгг) + (1п)гг~ + 1Агйгз) = 1 пгг +1пгг. «Р Ункпии и2 .= »а о определена дл, Функвией.

Так, 11= е»ь»2 14Щ+е ь) П Рн "= 0 имеем: 2',2' — „, г Т ригонометрически ф кие функции Т Ригономе определяются "кцникомплексн Равенствами 2» е — е 1» 1ПЕ = Е«» + Е-2 27 Ри действнтелг, ных е этн о СКИМ ФУ1 пределения прн действ итал ь ног 1» го пеРеменного. е — е 22 ( пах+2 нпх — (совх — 1 Т иг Р оно метрически ф 1От МнОгИЕ Свай .

Птн комплексног тнк1 .Вч,,„, "Р е ФУ ц ства тригономет В»п»+ со 2 2 чп2з — 2ап,ю (~1+ аг) = ссне, еЬ»( +2 ), 1е«пез, 1 сое ег — в1п х щ 2 (-.) = ~) = — сбпе СК(г+ е.) = еб = 0 ,рн , 2+Ь (Ь=0,~1,~2 те 2 = 2 2те г » е е1п(е+ 2') сое е, Е1В 37Г 2 д. Докажем, нап пример, первое свойство: + Е«»+ Е-" — е — 2+с 'з»» тм 2 2 -~- 4 22» е +2 — е — е«» и» +е +2+ -и 4 — — — 1. ° 4 530 Отметим, что тригонометрические функции егп» и сове в комп- лексной плоскости е неограничены: 11щ ею» = оо, 12»»-2:Ьо» !пп сове = со.

!»2 «-212»» — 1 ак, например, совг = + е и 1,34 > 1, сов 32 > 10. иперболические функции Эти Функции определяются равенствами е' — е ' е'+е ' вЬ» = — сЬ»= ' 2 ' 2 вЬ» сЬ» »Ьг = —, ссЬ» = —. сЬе еЬ» Легко заметить связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями. заменяя в указанных функциях г иа 1», получим: илн 81пе = — 1вЬ1» еЬ»е =те»пе, сЬее = сове (а также айте = 11бе, с132» = — »сфг).

Пользуясь этими равенствами, можно получить ряц Формул, связывающих гиперболические функции. Так, заменяя в формуле впР»+ сове е = 1 тригонометрические функции гиперболическими, по- лучим ( — 1вЬкв) +(сЬее) = 1, )или — вЬ ге+сЬ 1» = 1. Так как здесь е — любое комплексное число, то е ° е ° ; те можно заменить на г; получим формулу сЬ~ е — в1Р е = 1. Приведем 4«рще Ряд Формул: 1- сЬ 2е = с1Р е + е1Р е, сЬ( — г) = сЬе, ф4 ;М вЬ2е = 2вЬ»сЬе, вЬ( — е) = — вЬ», сЬ(е1+вг) =сЬх1 сЬ»е+еЬе1еЬаг, еЬ»+сЬе = е, Обратные тригонометрические и гиперболические функции Число и называется арксмнрсоги числа е, если вй»ю = е, и обозначаегся ю =- Аггвгпю Используя определение синуса имеем е = е1пю = е .е, или 21 — 2'* ' — 2=».О ' = '*+ /2т*21 ~ь2ь ., =2*»Л — г (перед корнем можно не писать знак х, так как 41 — ве имеет два 531 .,' и т.д.

Из определения гиперболических Функций следует, что функции : вЬ» и сЬ » периодические с периодом 2яе; функции СЬе и сСЬе имеют ,, ПЕРИОД Я1. ( на) Аналогично определяются другие обратные тригопомет показать, что рические ф н фу кпии. Можно ' Агссов э = — 1Еп(э + ь/ез — 1) )1 4 Агс$8е = — — Рн —.— (э ф хг) 2 4+э 4 з — г Лгсс1кх = — Рн — (х ф х(). 2 э+1 Функции, обратные гиперболическим обоз ю = Агв1ш (а еаепн , о начаются соответственно ю = гв и (ареаепнус), ю = Агспх (ареакесинус), ю = Агйш (ареатангенс), ю = Агс111е (ареакотанеенс). Обратные гиперболические ф функции имеют следующие выраже- ренцируемости функции 7(х) в некоторой точке е слеывность в этой точке (отношение — ю р — п и Ле -+ О моя к конечному пределу 7'(х) лишь при условии, что н тиос утверждение не имеет места.

р условиях функция ю = у(х) будет дифференцируемой 9 данной точке? у) +,-„(х. у) определена в "е й точке ействикоторои окрес н ресг ости точки х = х+гу, причем в этой т к д " тельные функции н(х; у) и п(х; у) дифференцируемы, то для дифференцируемости функции ю = ф и ю = у(х) в точке э необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства ди дп ди дг (74.5) дх ду' ду дх' Агвйе =- Ьп(х + / и + 1) Агг11э = — 1 и —, Агсг11х = — Ег1— Пс е эти функции бесконечнозначны. 74.4.

Диффе .. Д фференцирование функции комплексного переменного. Условия Эйлера — Даламбера Пусть однозначная ф н я фу кция ю = у(з) определена в некоторой окрестности точки з включая и саму . Т точку. огда предел а — о Ы пг-+е (74.4) Р если он существует, называется производной ~~ж ингчме е. э„а функция Дэ) называется дифференчируе г2 Подчеркнем, что в равенстве (74.4) Ьэ любым образом стремится к нулю, т. е. точка е + Ьэ может приближаться к точке х по любому нз бесконечного множества различных направлений (см. рис. 283) (в аналогичной ситуации для функции одного действительного переменного точка х + Ь иб х пр лижается к точке х лишь по двум направлениям: слева и справа).

Рис. 283 533 Равенства (74.5) назывшотся усааеиамп Эйлера — Даламбера (или условиями Кошн- г+ Ьг Римана). (Д Необходимосгпь Ье=гЬу Пусть функция 7(г) дифференцирусма в почке х, тогда предел (74.4) существует н не зависит от пути, по которому Ьэ = Ах+гну -э О. Можно считать, что точ- а ках + Ьг приближается к точке х по прямой, оси Ох Рис.