Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 82

П сгь У(я) = ~Р, где !р(зе) ф О, а д(») имеет простой нуль ддри » = зз (т. е. д(зо) = О,д'(яз) ф О). Тогда, применяя Формулу (77.3), — — — = = те имеем: ВезУ(хз) = йсш (я — хз) = йдп в() в, =,, т. е. ь — Ме (77.4) Пусть точка яз является полюсом пд-го порядка функции У(з). . Тогда лорановское разложение функции У(я) в окрестности точки яе имед.'ю с! сз с,„ е видУ( ) = 2 с ( — о)" + ' + — — 'з — ~+...+ — ("=) —. Отсюда -в (» — зо)'"У(я) = ~ св(я — зо)"д +с- +с- +д(» — »з)+"-+с-д(» — »е) и=о ДиФФеренцируя последнее равенство (сп — 1) раз„получимд дддд — д ((к †. )'"У( )) = ( т — д ц! .,+~ с„,(и+!в)(п+т — 1)("+"! я=о Переходя здесь к пределу при» вЂ” > хз, получаем (77.5) Суд!с сспвеиио особам !почка Если точка яз с!пдественно особ точка функции У(я), то для вычислония вычета функции в этой точке 2! р-)о) в 4 -3+ Л~в 2 з+ ул + Ыв~в)' 5Л Следовательно, Е = —.

2)гл ' д = Рис. 301 ото обычно непосредственно определяют когоффициент с ) в разложении функции в ряд Лорана. Пример 77.1. Найти вычеты функции 7(2) — 2+ 2 в ее особых точках. О Решение) Особыми точками функции Дх) являются: 21 — — 1 — простой полкю, 22 = 0 - полюс третьего порядка (рп = 3). Следовательно у по формуле (77.4) имеем Вев(~(2); 1) = 2+ 2, ) = 1+ 2 = — 3. (Р— )) ) — 3 — 4 Используя формулу (77.5), находим: 1 Пример 77.2. Найти вычет функции 1(х) = е' в особой точке 2 = О. (,1 Решение: Лорановское разложение данной функции в окрестности точки * = 0 было найдено в примере 76.4.

Из него находим с 1 — — 1, т. е. Вев(ДХ); 0) = 1. Теорема о вычетах часто используется для вычисления интеграла от функции комплексного переменного по замкнутому контуру. вр р 77.р. В р ~, ь-- ру (2 — Ц (2 + 1)' 1, )2 — 1 — $~ = чу, о р '. эу ° л*) = = )* — 1) ), р 1) в круге 12 — 1 — 1~ С ъ)2 (см. рис. 301) простой полюс х) — — 1 и полюс второго порядка 22 = 1. Прилленяя формулы (77.2), (77.3) и (77.5), получаем: ~ (.-1) (2 +1) гЬ 1<В (х(х);1)+В а )'ц) = 2 — 1 1, ( 1 1щ, +; ((, ц (х — 1)2(г+ 1)(2 — 1) Г1 — 1)л (2 — 1)2(вв+ Ц 11ш 2 + 11ш 2 2 — 2ял — — — = — —.

° ( — 1)2( +') ° ( 2+1)2( Л,4 2/ 2 р О, п) й еграл вида ~ д(вшх совх) о ны 2 = е" в некоторых случаях удается преобразовать в интеграл по замкнутому контуру ))2)) = ру ))2)) = 1 от функции комплексного переменного, к которому уже применима основная теорема о вычетах. Пример 77.4. Вычислить с помощью вычетов интеграл 2я l (3+ 2 сов х) о О Решение: Произведем замену переменного, положив 2 = е . То1да 4р — ы х+ — 2~ 1 4Ь вЂ” ыыгЬ = Ыг(х совх = е + е = — ' = — . При изменен~~ х от 0 но 271 точка 2 опишет в положительном направлении окружность 12~ = 1. Следовательно, 2р )12 1 г н)Ь (3+ 2совх)2 7 2<»+ 2ррт1)2 2 7 (22 + 3з+ 1)2 о И=1 2' ~ ~=-1 р «ру' )*) ' Фу~ ))*) = — ю-ду,— —; порядка 21 =:-» + з —. По р)юрмуле (77.5) находим РЯД 1 2 в ' )) Рис. 302 572 Глава ХЧ1И. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Операционное исчисление играет важную, роль при репгеиии прикладных задач, особенно в совремешюй автоматике и телемеханике.

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение у авур' пений, содержащих зти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач. Методы операционного исчисления предполагашт реализацию следующей условной схемы решения задачи. 1. От искомых функций переходят к некоторым другим функциям — их изображениям. 2. Н изоб ад ражениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями. 3. Получив некоторый результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям.

В ка качестве преобразования, позволшощего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа. 3 гВ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА У8.1. Оригиналы и их изображения Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения. Пусть у'(г) — действительная функция действительного переменного ! (под 1 будем понимать время или координату). Я Фч ия Функция г(г) называется оригтааьаом, если она удовлетворяет следующим условиям: 1. Дг) =0 при!< О. 2. 1(1) - — кусочно-непрерывная при ! > О, т. е..она непрерывна или имеет точки разрыва 1 рода, причем на каждом конечном промежутке оси ! таких точек лишь конечное число.

уществуют такие числа М > 0 и во > О, что для всех 1 выпол- 3. С няется неравенагво ~ Д1) ~ < М ево г, т. е. при возрастании ! функция 1(г) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число во называется покавагпелем росггнг 1(г). Условия 1 — 3 выпслнякзтся для большинства функций, описываю'й(их различные физические процессы. Первое условие овна гает, что процесс начинается с некоторого момента времени; удобнее считать, что в момент 1 = О.

Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно полозкить во = 0), степенные 1" (и > 0) и другие (для фу1псций вида 1(г) = пег )~словно 3 не выполняется). Не являотся оригиналом, например, функ",ция !(1) = — (не удовлетворяет второму условшо). 1 Замечание. Функция 7(1) может быть и комплексной функцией действительно переменного, т. е.

иметь вид 7(г) = 1з(1)+ гЯ1); она считается оригиналом, если действительные функции 1г(1) и 1з(1) являются оригиналами. Ивобраззсениелг оривинала г(1) называется функция Г(р) комплексного переменного р = в + иг, определяемая интегралом '4! Г(1,) — ~ 1(!) . е" И ° Ж. (73.1) о '1$$ Операцию перехода от оригинала 7(1) к изображению Г(р) назы- вают преобразованием Лапласа.

Соответствие между оригина(,лом 7(!) и изображением Г(р) записывается в виде Г(х) Ф Г(р) или 1 Г(р) Ф 1(х) (принято оригиналы обозначагь малыми буквами, а их ( изображения — соответствующими большими буквами). Теорема 78.1 (существование изображения). Для всякого ориги- нала !(1) изображение Г(р) существует (определено) в полуплоскосгк Вер = в > во, где во — показатель роста функции !'(г), причем функ- ция Г(р) является аналитической в этой полуплоскости (в > во).

( ::'( Докажем первую часть теоремы. Пусть р = * + га произвольная точка полуплоскости Ввр = в > во (см. рис. 302). Учитывая, что ~У(1)~ < М, вн ! 1гп в~~/гп'-зва о о < М в~о~~а в~~ г!1 = М / е"ге ма! — М 1г в-1в — 'орг!!— / в — во' о о о УИ) при Ь>0, 0 при 1 < О. Цр — а) Ь Р вЂ” а р — а' (78.3) 1 2 Р пичной функции Хевисайда (1 при 1 > О, ць) = (О при1<0 (78.4) Рис.

303 (см. рис. 303). 575 574 (Примем без доказательства.) Пример 78.с. Найти изображение еди- По )юрмуле (78.1) при о = ЕеР > 0 (ео = ) ь 1 — рсщ — 1)ш е с' сй = 1пп ' Р' — — — — ° е ° е Ь вЂ” саа Р о 1 1 1 или, в символической запсссн, 1(1 — Р ' Р' ание. дальн ш ейшем функцию-оригинал будем кржско запиде у(6), подразумевая, что 78.3. Найти изображение функции и 1 =е"„гдеа— ло.

о м ле 78.1) е: Данная ункция яас являетсяоригнналом. Поф р у ( ь е"'е гсср = )псс 1 е "' а)ссй = — Ысп Ь-ьаа о а) > О. Таким образом, еа 1 (Пер > Веа). ' Р— а ии )ои:.мер 78.Я. Найти изображение функции у( ) = . е: В этом случае преобразование Лапласа имеет вид ь ~ и =1 сси = с(с -рс 1 — рс е Мй = 1пп ье Р сй=,1,-рс,й ь = -(-' -~ --"".) ( )- т.

к. 11ш е ) — ° 6 ° е р~ —— ь-сса Р з +сс 1 сЬар1 =: р Р— ар (78.7) Аналогично получаем формулу (78.8) Линейность По формуле (784) имеем е 2 2 2 — )2 2+ 2 Смещение (затухание) т. е. З1ПМ1 =; Р' + а1' (78.5) (.3 В силу формулы (78.1) имеем (78.6) Далее, с = с. 1 Ф с. 1, т. е. ''Р' (хке(р — а) > йо). 19 Комок ект ее и рой рм ермо ей моте метеке. Поеной крее 577 57б Замечание.

Функция г'(р) = 1 явля [е Р— а только в полуплоскости ххер > Не а, где инч а на всей комплексной плоскости Р, кроме точ ность наблюдается и для многих других изобр будет более важным, как правило, само изобр область, в которой оно выражается интегралом У8.2. Свойства преобразования Лапл Находить изображения, пользуясь только ния, не всегда прхкто и удобно. Свойства прео щественно сблегчыот задачу нахождения изоб числа разнообразных функций, а также задачу по их изображениям.

Линейной комбинации оригиналов соотвех ная комбинация изображений, х. е. если 11(1) =' и сй — постояннью числар хо с1 У1(1) + с2 .6(1 1 й Используя свойства интеграла, находим / [с1 . 11(1) + с2,12(1)) . е ~ хй = о = сх . / ~1(1) е "' хй+ сй / 'Ь(Х) . е хй = сх Рх (Р) + сй ° Р2(Р). ° о о йхрнмер 78.4.

Найти изображения функций з1па11, сових (и— любое число), с (сопзс)„сЬохх, зЬарс (,У Решение: Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), нахо- дим: ею' — е™, 1( 1 ар зшарх = 22' 21'1,Р— хор р+йар/ урй+аз Аналогично получаем формулу р 2 2. Р +м рох -орй н ~,ее — е Мм — 1. Р т1. Р— 1 2 ' 2 р — ар 2 р+ар р Подобие Если 1(1) =: Г(Р), Л > О, то 1(Л1) Ф вЂ” Р(РЛ), т. е. умножение ргумен"ха оригинала на положительное число Л приводит к делению зображения и его аргумента на зто число. у(Л1) Ф [ ('(Лх) е "1 сй = [псло>кив Л1 = 1 ) = о / 1(11),е й ',1111 =, / ~(1),е й .,й Е( ) о о (так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегриро- вания).

Например, пусть сов 1 =; — — РР—. Тогда . р+1' Если у'(1) =: Г(р), а = совах, то сох °,7($) =' Г(р — а), т. е. умножение оригинала на функцию е'1 влечет за собой смещение переменной Р. Е"1 ° уЯ ф / Е'1 1(1)Е 1" 1й = / Х(1)Е т" рйй = р(Р— а) о о за 1 . з1п ы1 =' ' (р — а)'+ Р' р — а е" - ссеы1 =' (р- и)'+ ы" е"-зйсЛ Ф )4 21 еа сьа4 . р — а (р — а) — м (78.9) (78.10) Пример 7В.Ю. Найти оригинал по его изображению 2р — 5 р' - бр+11' О Решение: Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было вос- пользоваться свойством смещения: 2р — 5 2(р — 3)+1 р~ — бр+ 11 (р — 3)з + 2 р — 3 1 ~/2 =2. ° + (р-3)'+(Л)' Л (р-3)'+(Л)з ' =; 2 ° ез' ссн ъЪ + — ез' з1п ъ~21 = у(1) .

Л (См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.) Запаздывание Если У(4) =: Р(р), т > О, то У(1 — т) Ф е г'Г(р), т. е. запаздывание оригинала на положительную величину т приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на е "'. ( 1 Положив 1 — т =1ы получим У(1 — т) =; ~ У(1 — т) е май= / Щ)е "О'+ 1й1 —— е у У(1г)е "'-е "" В11 = е " (Р У(1)е жгй = е " Р(р). ° Поясним термин «запаздываниеэ.