Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985), страница 9

Значения функции !' (в) откладывают по оси ординат в децибелах в линейном масштабе. Логарифмическую фазовую характеристику строят в соответствии с (1,36). При этом частоту в также откладывают по оси абсцисс в логарифмическом масштабе, а значения фазы ф(в) — по оси ординат в градусах в линейном масштабе. Способ построения асимптотической ЛАХ рассмотрим на конкретном примере. Пусть передаточная функция динамической системы имеет вид небрегают вторым слагаемым по сравнению с единицей, а для значений е а„пренебрегают единицей по сравнению со вторым слагаемым. Возникающая при этом ошибка не превышает нескольких децибел. Если в выражении частотной передаточной функции содержится и сопрягающих частот, то аснмптотическая ЛАХ состоит из т+! асимптот.

Каждую л-ю асимптоту строят в диапазоне частот аа,(ы(в„. При этом первую асимптоту строят для 0(а(мо а последшою'— для «Фмт. В рассматриваемом примере т=З и ЛАХ состоит из четырех асимптот. Первая асимптота соответствует изменению частоты в пределах 0(со а,. В соответствии с правилом построения ЛАХ для первой асимптоты из (1,43) получас Ь (а) = 20)п — ' = — 20!и —, в (в,. (1.44) М К~ Для удобства построения первой асимптоты будем формально раесматривать (1 44) при изменении частоты в пределах 0 -ы«-со.

Поскольку при построении ЛАХ переменную в откладывают по оси частот в логарифмическом масштабе, то (1.44) есть уравнение прямой, ю,с' Рис. О!а проходящей через точку с координатами (а=А'„О=О) и имеющей наклон — 20 дБ/дек (децибел на декаду), так как при изменении и на одну декаду, т. е. в 1О раз, Ь (а) изменяется на 20 дБ и, как следует из (1.44), с ростом ы функция ~(а) убывает. На рис. 1.15 эта прямая изображена сплошной линией для а(эт и пунктирной для ы) а,.

Сплошная линия есть первая асимптота ЛАХ рассматриваемой системы. Конец этой асимптоты, как следует из (1.44), находится в точке (а„Е,), где Е,=/. (ы,)=20 1й(К,са,'). Вторая асимптота соответствует изменению частоты в пределах а,(м со,. При этом из (1.43) получаем Е (ы) = 20 1н — ' — 20 !й — = 20 1я — ' — 40 1д — = = Е, — 40 1д —, ы, ( м ( со,, (1.45) и, Выражение (1.45) — уравнение отрезка прямой, проходящей через точки (ао Е,) и (ы,, Е,), где в соответствии с (!.45) Е.,=Е(в,)= =20 1пК,а,ы,-'.

Очевидно, наклон этого отрезка составляет — 40 дБ/дек. Из (1.44) и (1 45) видно, что конец первой асимптоты и начало второй совпадают, т. е. в точке с абсциссой о= в, происходит сопряжение первой и второй асимптот ЛАХ. Третью асимптоту строят в диапазоне частот м, ы~ы,. В этом случае из (1.43) следует Е(н) = 201н — ' — 20 !н — + 20 !п — = и в1 В~ = 20 1д — ',"' — 20!д — = Е,— 20!й —, ы, ( м (о,. (1.46) 3 ~2 м2 Это уравнение огрезка прямой, проходящей с наклоном — 20 дБ/дек через точки (оз„Е,) и (со„Е,), где в соответствии с (1.45) Е; — Е (н,) = =20!д (К,са,/ю,а,), Здесь также имеет место сопряжение второй и третьей асимптот в точке (м.„Е,).

Четвертая асимптота соответствует диапазону частот ы)в,. Из (1.43) получаем Е!(а) = 201п — ' — 201п — + 201н — — 20!й — = (м со~ <~г мв = 20!я — 40 1я — = Еъ — 401ц —, ы )~ о)з (1,47) ма~>в ~м ам Из (1.47) следует, что четвертая, последняя асимптота ЛАХ рассматриваемой системы представляет собой полупрямую, выходящую из точки (ы„Е,) и имеющую наклон — 40 дБ/дек. В точке (вм Е,) происходит сопряжение третьей и четвертой асимптот ЛАХ.

Таким образом, ЛАХ системы с передаточной функцией (1,40) полностью построена. Сопоставлял смежные асимптоты ЛАХ рассматриваемой системы, первую — со второй, вторую — с третьей, третью — с четвертой, можно сделать общий вывод о том, что при переходе ы, в процессе ее изменения, через значение очередной сопрягающей частоты в„наклон асимптоты ЛАХ изменяется: а) на — 20 дБ/дек, если вь принадлежит множителю (1+/а/аа), стоящему в знаменателе передаточной функции системы; б) на +20 дБ/дек, если ыа принадлежит множителю (1+/в/ыа), стоящему в числителе передаточной функции системы. 88 Отсюда также следует, что значение наклона каждой асимптоты ЛАХ кратно значению — 20 дБ)дек.

Покажем, что по ЛАХ рассмотренной системы может быть восстановлена передаточная функция системы, а следовательно, и фазовая частотная характеристика этой системы. Обратимся к рис. !.15. Мы видели при построении ЛАХ, что первая асимптота с наклоном — 20 дБ/дек соответствует множителю в составе передаточной функции системы вида К,//ы. Запишем этот множитель. При переходе переменной ы через точку ы=ы, наклон асимптоты становится равным — 40 дБ/дек, т. е. изменяется на — 20 дБ/дек. Это означает, что в знаменатель передаточной функции мы должны включить множитель (1+/ы/о,). Таким образом, на втором шаге получим выражение К //ы(1+/го/о,).

Лалее, с ростом ы переходим через точку го=в,. При этом наклон асимптоты изменяется на +20 дБ/дек, чему соответствует множитель (1+/в/ы,) в числителе передаточной функции. , м~ К1~ ! +/— ОЧ Следовательно, на третьем шаге получаем выражение /м~!+/— кч Наконец, при ы)ы, наклон асимптоты ЛАХ изменяется на — 20 дБ/дек и, следовательно, в знаменатель передаточной функции лаписываем множитель (1+/ы/ы,), т. е.

после четвертого и последнего шага получаем выражение для искомой передаточной функции: что совпадает с (1.40). Таким образом, по ЛАХ динамической системы полностью восстановлена передаточная функция этой системы. Поэтому для рассматриваемой системы построения ЛФЧХ можно не производить. $ Т.4 «ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ Соединение звеньев систем радиоавтоматики. Как отмечалось, всякая автоматическая система состоит из отдельных элементов, соединенных между собой определенным образом. При исследовании автоматической системы составляют ее схему, в которой указывают все функциональные элементы системы и связи между этими элементами. Такую схему называют функциональной (см. рис. 1.2). Однако при математическом анализе процессов управления имеет значение ие функциональное назначение элементов системы, а их динамические характеристики, заданные в виде дифференциальных уравнений, а для линейных систем — в виде передаточных функций этих элементов.

Поэтому составляют схему автоматической системы, в ко- 39 торой указывают динамические звенья системы и связи между ними. Такую схему называют структурной схемой автоматической системы. Структурную схему получают из функциональной, замещая обозначения функциональных элементов системы обозначениями или явными выражениями передаточных функций этих элементов. Так, на рис. 1.16 представлена структурная схема, составленная на основании функциональной схемы рис. 1.2. Рис. 1.!6 Структурная схема автоматической системы позволяет получить передаточную функцию или дифференциальное уравнение этой системы при известных динамических характеристиках ее звеньев, как это было показано па примере простейшей в структурном отношении системы (э 1.3).

При определении передаточной функции достаточно сложной автоматической системы ее структурную схему упрощают, пользуясь методами преобразования структурных схем, позволяющими перейти от сложных перекрестных соединений звеньев в системе к некоторым простейшим, типовым соединениям. Существует три вида таких соединений: последовательное, параллельное и встречно-параллельное, или охват обратной связью одного звена посредством другого.

Рис. 1.17 Лоследввательное соединение звеньев. Последовательным называют такое соединение звеньев, при котором, как показано на рис. 1.17, выходная величина одного звена является входной величиной другого. В соответствии с рис. 1.17 имеем х„„, (1) = В" (р) х,(1) = %'„(р) х„(1) = йхи (р) Ф'„, (р) х„, (() = =... =%'„(Р) й7„1(р)...

йг,(Р) (У/,(р)х,(г), откуда й7 (р) = %, (р) Ю, (р)... Ф „ , (р) Ч7„(р). ( 1.48) Таким образом, при последовательном соединении звеньев передаточная функция такого соединения равна произведению передаточных функций отдельных звеньев. Выражение (1.48) справедливо при условии, что соединение выхода каждого й-го звена со входом следующего, (й+1)-го звена не изменяет 4О « и х,(1)= Яг(р)х,(1)= ~~р„)ь'ь(р)х,(1) = ~ ~~, и'»(р) х,(1), откуда » (р'М) = „Х, "'ь(р).

(1.49) Таким образом, передаточная функция «сложного» звена, состоящего из и параллельно соединенных звеньев, равна сумме передаточных функций отдельных звеньев. — — — — — — — 1 Г. 1«М ! И1!'Р) ! ! Рис. 1.!9 Рис. 1.!8 Охват звена обрашной связью (встречно-параллельное соединение двух звеньев). Схема звена, охваченного обратной связью, показана на рис. 1.19. Как видно из схемы, на вход звена с передаточной функцией 1Р',(р), охваченного обратной связью посредством звена с передаточной функцией )р'»(р), поступает сумма нли разность (в зависимости от характера обратной связи) двух величин — входной х,(1) и выходной х,(1), прошедшей через звено обратной связи.

В обозначениях рис. 1.19 имеем х, (1) = х, (1) -~ х, (1), х, (1) = Ю', (р) х, (1), откуда х, (1) = К (р) х, (1) = Ч7, (р) х, (1) = )Г~, (р) [х, (1) ~- йг» (р) х, (1)) . Окончательно получаем )У1 (Р) (Р) где знак минус соответствует положительной обратной связи, а знак плюс — отрицательной. (1.50) 41 передаточную функцию гс-го звена. Б противном случае передаточную функцию ага(р) в-го звена нужно составлять с учетом влияния следующего звена. Параллельное соединение звеньев. При параллельном соединении звеньев, как показано на рис. 1.18, входная величина х,(1) поступает на входы всех звеньев, входящих в это соединение, а выходная величина х,(1) равна сумме выходных величин отдельных звеньев, т.

е. Преобразования структурных схем линейных систем. Рассматривая структурные схемы линейных автоматических систем, видим, что любая структурная схема состоит из элементов трех типов: звеньев, узлов и сумматоров, соединенных между собой связями, как показано, например, на рис. 1.20 и !.21. Элемент сравнения, имеющийся в составе структурной схемы рис. 1.21, является частным случаем сумматора, на выходе которого образуется разность двух его входных величин.