Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985), страница 7

Пусть система описывается уравнением (Тр+ !) у=Ад или у(0= я с( и = — д (0, где р = — . Тогда передаточная фуннпия Н (р) .—. —,, р=с+/оь (+тр ' и( ' Тр' и О (р) =.-. = я ( — — — ) . я ! Т или (1. 24) ш (1) = 1"(1) 1 (1), где 1(1) — единичная ступенчатая функция. Таким образом, на весовую функцию физически возможной динамической системы принудительно накладывается ограничение (1.22), Иапример, весовая функция автоматической системы, описываемой уравнением Ту(1)+у(1) =Фа(1), формируется иа функции 1(1)= — е и имеет вид й -пг Т ~ й -ттт -~,<т — е нри 1гвО, 0 при 1<0, так как 1(1) =- — е ~ 0 при 1 < О. -пг Т Использование интеграла свертки. Если известна весовая функция ш(1) динамической системы, то процесс на выходе этой системы при произвольном входном воздействии х,(1) определится интегралом Дюамеля, или интегралом свертки х,(1) = ~ ит(( — 1')х,(1')Л', (1.25) о где 1' — переменная интегрирования.

Учитывая, что ш( )=О при отрицательных значениях своего аргумента и соответственно ш(1 — 1')= — О при р)й иногда (1.25) записывают в виде (1.25) Подчеркнем, что эта форма записи интеграла свертки для реальных (физически возможных) систем является формальной, так как для 1')1 в соответствии с (1.22) подынтегральное выражение в (1.26) следует положить равным нулю, т.

е, выполнять интегрирование в пределах О(('(й Процесс на выходе системы, определяемый (1.25), содержит переходную и установившуюся составляющие. Установившаяся составляющая может быть выделена из (1.25), если нижний предел интегрирования положить равным — о Действительно, в этом случае от момента приложения г'= — оо внешнего воздействия х,(1') к входу системы до текущего момента времени г'=а процесс в системе будет длиться бесконечно долго и переходная составляющая процесса полностью затухнет. Тогда х, (1) = ~ то (1 — 1 ) х, (1 ) ~(1 .

(1.27)~ Выражение (1.27) часто записывают в несколько ином виде. Сделаеи замену переменных, положив ( — 1'=1". Тогда 1'=1 — 1", Л'= — Л" 1' =-0 при 1'=1, 1" — «+со при 1'-« — оо. Учитывая, что при перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования знак интеграла изменяется, из (1.27) получим х,т (1) = 1 1п (Г) х, (1 — 1") с(1". е Здесь, в отличие от (1.2б)„интегрирование выполняется в пределах 0(1''(+со, чему соответствует изменение переменной 1' в выражении (1.27) в пределах ( — со, 1). Весовая функция динамической системы связана парой преобразований Лапласа с передаточной функцией этой системы.

Действительно, из (1.21) имеем щ(1)=(е'(р) 6(1), откуда в соответствии с правилом перехода от дифференциального уравнения в форме (1.5) к передаточной функции, полагая р =с+1 от, получаем Ь Ь (1)!) = =(Р'(р) Е (б(1))= Ф'(р), так как В 16(1)1=1. Соответственно ю(1) =7. '())У (,оН. (1.29у Пример 1.3. Пусть дифференциальное уравнение системы имеет внд Тхе (1) + ха (1) =- ах, (1) или ха (1) = — х, (1), р = —.

й б Тогда передаточнан функции етой системы й В'(р)=, я=с+/сь =!+Т По таблице изображений Лапласа находим весовую функцию ю(1)=Е т[ — ~ —.с '[ ~ = — е 1(1). Использование векторно-матричных уравнений. В ряде случаев процессы, протекающие в управляемом объекте, характеризуются не одной, а несколькими изменяющимися во времени взаимозависимыми величинами у, (1), у,(1),..., у (1). Такой объект управления называют многомерным. Управление многомерным объектом осуществляется посредством многомерной системы управления с несколькими задающими воздействиями д;(1), 1=1, т, и несколькими управляемыми величинами уь(1), (с=1, лт.

Процессы в такой системе управления описываются не одним, а совокупностью дифференциальных уравпеннй. Примером многомерной системы управления может служить система управления самолетом, управляемыми величинами которой являются высота и скорость полета, курсовой угол, угол тангажа, угол крена. Указанные величины являются взаимозависимыми, т.

е. изменение одной из названных величин влечет за собой изменение других. Вследствие этого система управления самолетом является лтногомерной и ее нельзя рассматривать как простую совокупность одномерных систем. Часто для удобства исследования многомерных (а иногда и одномерных) систем управления дифференциальные уравнения этих систем путем формальных преобразований приводят к системе дифференциальных уравнений первого порядка и записывают в матричноз форме в виде дх!й! = Ах -,'- Ви, (1.30) х,=х„ х,=х„ Х„, =Хгв а~ а, х = — — х — — х л а л ао а — 1 ч .— — х+ — и+ — и +...+ а„ Ь, Ь, а, ' ар " ао + — им Ьг а, или х, = Ох„-[- 1х, -[- Ох, -,' ...

+ Ох„-+ Ои, + Ои, -+... + Ои„, х, = Ох, -1- Ох, + 1х, +... + Ох„+ Ои, + Ои, +... + Ои„, где х=[х„х„..., х„)' - матрица-столбец размера (и Х 1), содержащая н переменных, элементами которой являются управляемые величины у,(() и их производные; и=[и„и„..., и„)' — матрица-столбец размера (гХ!), содержащая г переменных, элементами которой являются задающие воздействия д;(!) и их производные: А=[ась[ — квадратная матрица коэффициентов размера (лхп); В=[Ь,ь) — прямоугольная матрица коэффициентов размера (аХг).

Переменные х; (!) называют переменными состояния, а всю их совокупность — пространством состояний, переменные и, (т) — переменными управления, а матричное дифференциальное уравнение (1.30)— уравнением состояния. $Решение уравнения состояния получают также в матричной форме. Матрицы-столбцы переменных состояния х и переменных управления и называют также векторами: х — вектор состояния, и — вектор управления. При этом уравнение состояния (!.30) называют векторно- матричным уравнением. Строго говоря, такое наименование для матрицы-столбца правомерно только тогда, когда ее элементы имеют одинаковую физическую размерность.

В противном случае матрицу- столбец можно называть вектором лишь условно. При этом образование линейной формы из элементов этой матрицы (например, при составлении векторно-матричного дифференциального уравнения) осуществляется с использованием размерных коэффициентов„уравнивающих размерности слагаемых в полученной линейной форме. йРассмотрим процедуру составления уравнения состояния для одномерной автоматической системы, описываемой уравнением (1.7). Обозначим в (1.7) хь=ум и(!), у=1, в, и,.=ди "(!), 1=1, г, где г=т+1.

Тогда хь — — у'м=х„,. При этом дифференциальное уравнение и-го порядка (1.7) преобразуется к системе н уравнений первого порядка вида х„,=Ох,+Охо+Охо+ . +1х„+Ои,+Ои,+... +Ои„, х„=агх,-)-аох,+а,х,+... -Ва„х„-1-(),и,+р,и,+... +р„и„, где а„= — а,о, о1ао, я=1, и, ()г — Ь, г/ао, г=~, г. Введем обозначения: х=(х„х„..., х„)' — матрица-столбец размера (пХ1) переменных состояния, или п-вектор соппояния; и=(и„ и„..., и„)' — матрица-столбец размера (гХ1) переменных управления, или г — вектор управления, 0 ! 0 ... 0" 0 0 ! ... 0 — матрица коэффициентов размера (пХгг); 0 0 0 ...

! а,а,а,... а„) 0 0 0 ... 0 ~о о о ... о~ В= .. ~ †матри коэффициентов размера (и Хг). 0 0 0 ... 0 .ккрм к~ Тогда полученную систему уравнений первого порядка запишем в виде одного векторно-матричного уравнения первого порядка, т. е. в виде уравнения состояния, аналогичного (!.30).

Общее решение уравнения (1.30) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения х=.Ах и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид х(1)=Я(с) х(0), где Я(!) — матрица размера (пХп), удовлетворяющая уравнению Я=АЯ при начальных условиях Я(0)=г' (здесь! — единичная матрица). Матригсу !1(С) называют фундалгенпгальной матрицей уравнения (!.30). Она имеет вид Я(!)=елг, где е" = 1+А!+...+ —,А со+...— матричная экспонента. Частное решение неоднородного уравнения (!.30) может быть выражено через фундаментальную матрицу и представлено в виде многомерной (матричной) свертки: х(!) =Я (г) ~ Я '(т) Ви(т) ггт= 1 9(с) Я ' (т) Ви(с)с(т= о о г =~ е" иэп Ви(т) г(т= ~ )г(! — т) и(с) Ус, о о где )г(!)=-елг — матрица весовых функций размера (пхг) автоматической системы, описываемой уравнением (1.30).

где х, — амплитуда гармонических колебаний; а — круговая частота колебаний; ф,— начальная фаза колебаний; х, =х, 'е!е — комплексная амплитуда колебаний. Будем искать частное решение неоднородного уравнения (1.3) при нулевых начальных условиях в виде х,(1) =х„„е!'""+'~и=к, е!"'. Подставляя (1.31) и (1.32) в (1.3) и учитывая, что ея — е!"" = (1н)ье/"', дшя (1.32) получим х = Ф'(1ы)х,„, где )р ( ° о ь, (!м)м+ ь1 ((оэ)и-1+... + ьи ни ()м) ао(/м)к+а,(уа)н-'+...+ан Вн((в) (1.331 частотная передаточная функция динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением (1.3). Как следует из (1.33), частотная передаточная функция являет'я дробно-рациональной функцией переменной 1в.